第七章第六節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用

第六節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的綜合問題(規(guī)范答題)[例1](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1,令bn=n2+nan,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99T99=99,求d.審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明(1)思路:根據(jù)等差數(shù)列的定義,靈活運(yùn)用給定的條件,即可得到所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;同時(shí)幫助學(xué)生理解題設(shè)條件,以順利進(jìn)入第(2)問的情境.(2)思路:所給題設(shè)條件“{bn}為等差數(shù)列”要求學(xué)生能夠靈活轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列{an}中公差與首項(xiàng)的關(guān)系,可以采用通性通法來解答.規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成【解析】(1)因?yàn)?a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d, [1分]關(guān)鍵點(diǎn)根據(jù)已知條件,列方程求出首項(xiàng)a1和公差d的關(guān)系.所以S3=3a2=3(a1+d)=6d,又T3=b1+b2+b3=2d+3d+4d所以S3+T3=6d+9d即2d27d+3=0,解得d=3或d=12(舍去), [3分所以an=a1+(n1)d=3n,所以an的通項(xiàng)公式為an=3n. [4分閱卷現(xiàn)場(chǎng)(1)沒有過程,只有an=3n得1分;(2)結(jié)果正確時(shí)漏寫a1=d不扣分;(3)d=12漏舍只得1分(2)因?yàn)閎n=n2+nan所以2b2=b1+b3,即12a2=2a1+12所以6a1+d所以a123a1d+2d解得a1=d或a1=2d. [8分]傳技巧取bn的前3項(xiàng),利用等差中項(xiàng)2b2=b1+b3,得到首項(xiàng)a1和公差d之間的關(guān)系解法一:①當(dāng)a1=d時(shí),an=nd,所以bn=n2+nanS99=99a1+a99T99=99b1+b99因?yàn)镾99T99=99,所以99×50d99×51d關(guān)鍵點(diǎn)利用S99T99=99,列出關(guān)于d的方程,結(jié)果注意d>1.即50d2d51=0,解得d=5150或d=1(舍去). [10分②當(dāng)a1=2d時(shí),an=(n+1)d,所以bn=n2+nan避易錯(cuò)討論另一種情況,不可遺漏.S99=99a1+a99T99=99b1+b99因?yàn)镾99T99=99,所以99×51d99×50d即51d2d50=0,解得d=5051(舍去)或d=1(舍去).[11分綜上,d=5150. [12分解法二:因?yàn)镾99T99=99,由等差數(shù)列的性質(zhì)知,且99a5099b50=99,即a50b50=1,傳技巧利用等差數(shù)列的性質(zhì),可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.列方程求出a50,注意由d>1可知an>0.所以a502550a50=1,即a50解得a50=51或a50=50(舍去). [10分]①當(dāng)a1=d時(shí),a50=a1+49d=50d=51,解得d=5150②當(dāng)a1=2d時(shí),a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,與d>1矛盾,應(yīng)舍去. [11分]綜上,d=5150. [12分解法三:因?yàn)閍n,bn都是等差數(shù)列anbn=n(n+1),所以可設(shè)an=1k(n敲黑板構(gòu)造新數(shù)列要考慮全面,少寫一組不得分.(i)當(dāng)an=1k(n+1),bn=kn時(shí)S99T99=1k(2+3+…+100)k(1+2+…+99)=99,即50k2+k解得k=5150或k=1,因?yàn)閐=k>1,所以均不合題意. [10分(ii)當(dāng)an=kn,bn=1k(n+1)時(shí)S99T99=k(1+2+…+99)1k(2+3+…+100)=99,即50k2k解得k=5150或k=1因?yàn)閐=k>1,所以k=5150所以d=5150. [12分拓思維高考命題強(qiáng)調(diào)“多思考,少運(yùn)算”的理念,試題面向全體學(xué)生,為考生搭建展示數(shù)學(xué)能力的平臺(tái).本解法根據(jù)給出的條件,巧妙的構(gòu)造新的數(shù)列,突破常規(guī)解法,靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí),解題方法“高人一招”,解題速度“快人一步”.【解題技法】等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略1.基本方法:求解等差、等比數(shù)列組成的綜合問題,首先要根據(jù)數(shù)列的特征設(shè)出基本量,然后根據(jù)題目特征使用通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等建立方程(組),確定基本量;2.基本思路:注意按照順序使用基本公式、等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)以及證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列的方法確定解題思路.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2022·全國(guó)甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知2Snn+n=2a(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.【解析】(1)由2Snn+n=2得2Sn+n2=2ann+n①,所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1)②,②①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)2ann+1,化簡(jiǎn)得an+1an=1,所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.由a4,a7,a9成等比數(shù)列,得a72=a4a即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=12,所以Sn=12n+n(n-1)2=n2-25所以,當(dāng)n=12或n=13時(shí),(Sn)min=78.考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合[例2](1)(2023·龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)=13x3+4x,記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若f(a1+2)=100,f(a2022+2)=100,則S2022等于(A.4044 B.2022C.2022 D.4044【解析】選A.因?yàn)閒(x)=13x34x=f(x所以f(x)是奇函數(shù),因?yàn)閒(a1+2)=100,f(a2022+2)=100,所以f(a1+2)=f(a2022+2),所以a1+2+a2022+2=0,所以a1+a2022=4,所以S2022=2022((2)數(shù)列an滿足a1=1,a2=5,若m=1,an+1+1,n=an+an【解析】由已知m·n=0,得1×an+a即an+2則an+1-an是首項(xiàng)為a2a1則an+1an=a2-a1+于是an=an-an-1+an=2n+2n-1+=2n+n-1+…+2答案:an=n2+n1【解題技法】數(shù)列與函數(shù)、向量的綜合問題的求解策略(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題;(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形;(3)涉及數(shù)列與三角函數(shù)有關(guān)的問題,常利用三角函數(shù)的周期性等特征,尋找規(guī)律后求解;(4)涉及數(shù)列與向量有關(guān)的綜合問題,應(yīng)根據(jù)條件將向量式轉(zhuǎn)化為與數(shù)列有關(guān)的代數(shù)式求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知數(shù)列{an}滿足an+2an+1=an+1an,n∈N*,且a5=π2,若函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x2,記yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為(A.0 B.9 C.9 D.1【解析】選C.由題意知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.因?yàn)閍5=π2,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=πf(x)=sin2x+2cos2x2,所以f(x)=sin2x+cosx所以f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2.同理f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2.因?yàn)閒(a5)=1,所以數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為9.2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實(shí)數(shù)λ的最大值為________.

【解析】因?yàn)閍4+λa10+a16=15,所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=151+9d2,因?yàn)閐所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=15t2當(dāng)t∈[10,19]時(shí),函數(shù)λ=f(t)是減函數(shù),故當(dāng)t=10時(shí),實(shí)數(shù)λ有最大值,最大值為f(10)=12答案:1考點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合【考情提示】數(shù)列不等式作為考查數(shù)列綜合知識(shí)的載體,因其全面考查數(shù)列的性質(zhì)、遞推公式、求和等知識(shí)而成為高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查不等式的證明、參數(shù)范圍、最值等.角度1數(shù)列中的最值[例3]公比為2的等比數(shù)列{an}中存在兩項(xiàng)am,an滿足aman=16a12,則1m+4nA.32 B.53 C.43 【解析】選A.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知am=a1×2m1,an=a1×2n1,由aman=16a1可得a12×2m+n2=16a12,故2m+n2=16,解得m+n=6,則1m+4n=16(m+n)·(1m+4n)=16(1+4mn(當(dāng)且僅當(dāng)m=2,n=4時(shí)取等號(hào)).角度2數(shù)列中的不等式證明[例4](2023·寧德模擬)已知數(shù)列an,bn滿足bn=an+n2,a1+b1=3,a2+b2=8,且數(shù)列a(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(2)記數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和為Sn,求證:12≤S【解析】(1)由bn=an+n2得b1=a1+1,b2=a2+4,代入a1+b1=3,a2+b2=8得2a1+1=3,2a2+4=8,解得a1=1,a2=2.又因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列故公差為d=a2a1=1,因此an=n,bn=n+n2.(2)由(1)可得bn=n+n2,所以1bn=1n+所以Sn=1b1+1b2+1=(112)+(1213)+(1314)+…+(1n1n+1)=1所以0<1n+1≤12(n所以12≤11n+1<1,即12≤角度3數(shù)列中的不等式恒成立[例5]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5n,其前n項(xiàng)和為Sn,將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng),記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若存在m∈N*,使對(duì)任意n∈N*,Sn≤Tm+λ恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A.[2,+∞) B.(3,+∞)C.[3,+∞) D.(2,+∞)【解析】選D.依題意得Sn=(4+5-n)n2=n(9-n)2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)n=4,5時(shí),Sn取得最大值為10.另外,根據(jù)通項(xiàng)公式得數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,觀察易知抽掉第二項(xiàng)后,余下的三項(xiàng)可組成等比數(shù)列,所以數(shù)列{bn}中,b1=4,公比q=12,所以Tn=4(1-12n)1-12=8(112n),所以4≤Tn<8.因?yàn)榇嬖趍∈N*【解題技法】數(shù)列與不等式交匯問題的解題策略(1)判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題,此類問題一般采用放縮法進(jìn)行證明,有時(shí)也可通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.(3)數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題,常轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題;求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·重慶模擬)設(shè)a>0,b>0,若3是3a與9b的等比中項(xiàng),則1a+2b的最小值為(A.92 B.3 C.32+2 D【解析】選A.因?yàn)?是3a與9b的等比中項(xiàng),所以32=3a·9b=3a+2b,所以a+2b=2,所以1a+2b=12·(1a+2b)·(a+2b)=12(5+2ab+2ba)≥12·(5+222.數(shù)列{an}滿足a1=14,an+1=14-4an,若不等式a2a1+a3a2+…+an+2A.74 B.34 C.78 【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1=14,an+1=14-4an,所以反復(fù)代入計(jì)算可得a2=26,a3=38,a4=410,a5=512,…,由此可歸納出通項(xiàng)公式an=n2(n+1),經(jīng)驗(yàn)證,成立,所以an+1an=1+1n(n+2)12(1n+2+1n+3).因?yàn)橐骯2a1+a3a2+…+a3.(2023·南京模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,(n2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)求證:1a12+1a22+【解析】(1)(n2)Sn+1+2an+1=nSn,則(n2)Sn+1+2(Sn+1Sn)=nSn,整理得到nSn+1=(n+2)Sn,故Sn+1(故Snn(n+1)是常數(shù)列即Sn=n(n+1).當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=n(n+1)n(n1)=2n,驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)滿足,故an=2n,n∈N*.(2)1an2=14n2故1a12+1a22+…+1an2<14+12(1315+1517+…+1考點(diǎn)四數(shù)列在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA',BB',CC',DD'是桁,相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉,圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖,其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3.已知k1,k2,kA.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9【解析】選D.設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1,則CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,依題意,有k30.2=k1,k30.1=k2,且DD1+所以0.5+3k3-0.34=0(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)測(cè)量,已知某養(yǎng)魚場(chǎng),第一年魚的質(zhì)量增長(zhǎng)率為200%,以后每年的增長(zhǎng)率為前一年的一半.若飼養(yǎng)5年后,魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的t倍.下列選項(xiàng)中,與t值最接近的是()A.11 B.13 C.15 D.17【解析】選B.設(shè)魚原來的質(zhì)量為a,飼養(yǎng)n年后魚的質(zhì)量為an,q=200%=2,則a1=a(1+q),a2=a1(1+q2)=a(1+q)(1+q2),…,a5=a(1+2)×(1+1)×(1+12)×(1+122)=40532a≈12.7a,即5年后,魚的質(zhì)量預(yù)計(jì)為原來的13倍【解題技法】數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的常見模型等差模型如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù),則該模型是等差模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公差等比模型如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的非零常數(shù),則該模型是等比模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比遞推數(shù)列模型如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定,隨項(xiàng)的變化而變化,則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第(n+1)項(xiàng)an+1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前(n+1)項(xiàng)和Sn+1之間的遞推關(guān)系【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·武漢模擬)南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn),他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章