《拋物線的標準方程》教學設(shè)計一

高中數(shù)學精選資源3/3《拋物線的標準方程》教學設(shè)計一教學設(shè)計教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖情境導入我們知道，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，一個向上斜拋的乒乓球的運動軌跡是拋物線的一部分……那什么是拋物線呢？拋物線有沒有一個類似于圓、橢圓、雙曲線的定義呢？教師提問，學生思考.開門見山，拋出問題，引入拋物線的概念.知識形成1.拋物線的定義.一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線.2.拋物線的畫法.如圖所示，在畫板上畫一條直線l，使l與畫板左側(cè)的邊線平行；再在直線l外畫一個定點F取個丁字尺靠緊畫板左側(cè)外沿，丁字尺和直線l垂直且相交于點P，在丁字尺的另一端取一點Q，將條長度等于PQ的細繩，一端固定在點Q，另一端固定在點F，用筆尖靠著丁字尺邊緣并扣緊細繩，然后上下平移丁字尺，筆尖作出的曲線是拋物線的部分.3.焦點位于x軸，開口向右的拋物線的標準方程的推導.為了方便,過拋物線的焦點作其準線的垂線,記垂足為,設(shè)(即到準線的距離為),因為直線不過點,所以.如圖所示,以直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系.此時,拋物線的焦點為,準線為.設(shè)是拋物線上一點,則到的距離為，到直線的距離為,所以.上式兩邊平方,整理可得.=1\*GB3①該方程就是拋物線的方程,通常稱為焦點在軸正半軸上的拋物線的標準方程.4.嘗試與發(fā)現(xiàn).如果建立的平面直角坐標系分別如下圖的（1）（2）（3）所示,其他條件不變,則拋物線的焦點坐標和準線方程有變化嗎?此時能否通過=1\*GB3①式得到拋物線的標準方程具有的形式呢?5.拋物線的標準方程由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形（列表如下）：教師給出拋物線的定義，讓學生理解概念.然后，教師再出示下列判斷題，讓學生思考、回答，其他同學進行補充發(fā)言.（1）拋物線是雙曲線的一支（）（2）平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡一定是拋物線.（）提示：兩個命題都不正確.教師先通過提問的形式幫助學生回憶畫雙曲線的方法，然后引導學生獨立嘗試畫出拋物線的圖像.教師巡視，了解學生存在的問題，并適時給予指導.學生嘗試自己完成畫圖，并展示答案.教師通過多媒體展示畫法并指出學生在作圖過程中存在的問題.教師指出作拋物線的方法實際上驗證了拋物線定義中的P點一定存在而且有無數(shù)多個那么，如何從數(shù)學上進行證明呢？學生思考，類比雙曲線的標準方程的學習過程，通過建系設(shè)點P，尋找等量關(guān)系，化簡得到拋物線的方程.考慮到學生建系方式不唯，可能會給出以下幾種建系方式：（1）以l為y軸，過點F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標系；（2）以定點F為原點，平行于l的直線為y軸建立直角坐標系；（3）取過點F且垂直于直線L的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.教師讓學生展示這三種不同建系方式后得出的結(jié)果，引導學生比較所得的各個方程，讓學生選擇：應(yīng)該選擇哪些方程作為拋物線的標準方程呢？學生思考、交流、對比得出：方式（3）中得出的方程作為拋物線的標準方程更簡潔教師肯定學生答案，并指出拋物線上的點是存在的，而且有無數(shù)多個，從而證明了前面提出的問題.教師出示教材第151頁下面的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”欄目，引導學生結(jié)合圖像特征，從代換的角度得出另外三種不同情形下的標準方程.學生動手嘗試，得出焦點分別位于x軸負半軸、y軸正半軸、y軸負半軸上的拋物線的標準方程.教師展示四個不同情形對應(yīng)的標準方程、焦點坐標、準線方程及圖形，師生共同得出規(guī)律：（1）方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項系數(shù)是焦點到準線距離的2倍.（2）當焦點在x軸上時，方程等號右端為，相應(yīng)地，左端為；當焦點在y軸上時，方程等號的右端為士，相應(yīng)地，左端為.（3）當焦點在正半軸上時，一次項系數(shù)取正號；當焦點在負半軸上時，一次項系數(shù)取負號.拋物線的定義由教師直接給出，通過兩道判斷題幫助學生加深理解拋物線的定義，理清雙曲線與拋物線不是一個概念，體會定義中易忽略的條件“定點不在定直線上”.通過學生獨立完成，培養(yǎng)學生的動手能力，提升學生的直觀想象核心素養(yǎng).學生動手操作得出拋物線的方程，并對比三個不同建系方式得出的方程，選出最優(yōu)建系方式，突破標準方程中的“標準”二字，同時提升學生的數(shù)學運算等核心素養(yǎng).在教師指導下，學生通過合作交流，探究問題，多角度理解拋物線的標準方程，提升學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng).應(yīng)用舉例例1分別根據(jù)下列條件,求拋物線的標準方程和準線方程;（1）拋物線的焦點到準線的距離是3,而且焦點在軸的正半軸上;（2）拋物線的焦點是.解（1）根據(jù)題意可知,拋物線的標準方程具有的形式,而且,因此所求標準方程為.準線方程為.（2）因為拋物線的焦點坐標是,所以拋物線的標準方程具有的形式,而且,因此,從而所求拋物線的標準方程是.準線方程為.例2分別根據(jù)下列條件,求拋物線的焦點坐標和標準方程：（1）拋物線的焦點到軸的距離是2,而且焦點在軸的正半軸上;（2）拋物線的焦點是雙曲線的焦點之一.解（1）由已知可得焦點坐標為,因此拋物線的標準方程具有的形式,且,從而所求拋物線的標準方程是.（2）因為雙曲線中,5,又因為雙曲線的焦點在軸上,所以焦點坐標為或.如果拋物線的焦點坐標為,則拋物線的標準方程具有的形式,且,此時拋物線的標準方程是；如果拋物線的焦點坐標為,則拋物線的標準方程具有的形式,且,此時拋物線的標準方程是例3已知平面直角坐標系中,動點到的距離比到軸的距離大2,求的軌跡方程,并在平面直角坐標系中作出軌跡曲線.解設(shè)的坐標是,則根據(jù)題意可知，化簡得.當時,方程可變?yōu)?這表示的是端點在原點、方向為軸正方向的射線,且不包括端點,如圖所示;當時,方程可變?yōu)?這表示的是焦點為的拋物線,如圖所示.對于例1，交給學生獨立完成，可請2~3位學生進行板演，教師請其他學生進行補充.教師邀請2~3位學生進行板演例2，根據(jù)具體情況適時點撥，明確求拋物線標準方程的關(guān)鍵——確定焦點位置.教師請3~4位優(yōu)等生板演例3，并適時指導有困難的學生，重點討論、交流，然后畫出標準方程下的軌跡曲線.通過例題，鞏固所學，使學生學會拋物線的標準方程的求法，發(fā)展數(shù)學運算核心素養(yǎng).固化概念，提升學生的數(shù)學運算與邏輯推理核心素養(yǎng).歸納小結(jié)1.拋物線的定義.2.拋物線的標準方程.教師引導學生分組回答，小組評價.鍛煉學生歸納總結(jié)、合作學習的能力.布置作業(yè)教材第153頁練習A第1，2，3題.生課后完成.鞏固所學知識.板書設(shè)計2.7.1拋物線的標準方程1.拋物線的定義一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個定點，是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到