北京市第一零一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)統(tǒng)練三 含解析

北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練三班級：＿＿＿＿學(xué)號：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿成績：＿＿＿＿一、選擇題共10小題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B.C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由，化簡得到求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)滿足，所以，所以的虛部為-3，故選：D2.已知是等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.9 B. C. D.81【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題得，而，則，故選：A.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的極小值點為（）A.和 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像，確定導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得選項.【詳解】因為當(dāng)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值點為.故選：D.4.在同一個坐標(biāo)系中，函數(shù)，，的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)的單調(diào)性相反排除AD，然后根據(jù)冪函數(shù)圖象判斷出的范圍，由此可得答案.【詳解】因為在同一坐標(biāo)系中，所以函數(shù)，的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過原點，故排除AD；在BC選項中，過原點的圖象為冪函數(shù)的圖象，且由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，所以C正確.故選：C.5.已知實數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】解：由題可知，，A項中，若，則，故A項錯誤；B項中，若，則，故，故B項錯誤；C項中，若，則，故C項錯誤；D項中，，因為，則，故正確，故D項正確.故選：D.6.設(shè)是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用平面向量的三角不等式可得結(jié)論.【詳解】對于充分性，易知成立的條件是方向相反，且，所以由可得，所以充分性成立；對于必要性，若，的方向也可以相同，此時滿足，因此必要性不成立，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換計算即可.【詳解】由題意可知，，所以或，由因為，所以，即，故.故選：A.8.荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點點，前進(jìn)不止一小點.若甲、乙兩同學(xué)當(dāng)下的知識儲備量均為a，甲同學(xué)每天的“進(jìn)步”率和乙同學(xué)每天的“退步”率均為2%.n天后，甲同學(xué)的知識儲備量為，乙同學(xué)的知識儲備量為，則甲、乙的知識儲備量之比為2時，需要經(jīng)過的天數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.15 B.18 C.30 D.35【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列式，結(jié)合對數(shù)運算，即可求得答案.【詳解】由題意可設(shè)經(jīng)過n天后甲、乙知識儲備量之比為2，則，則（天），故選：B9.若數(shù)列滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由與的關(guān)系求得，從而為常數(shù)列，得到，即可求的值.【詳解】由及得，即，即，所以，即常數(shù)列，又，所以，即，所以，所以.故選：B10.2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運飛船在發(fā)射3小時后成功對接于空間站天和核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動交會對接的記錄.某學(xué)校的航天科技活動小組為了探索運動物體追蹤技術(shù)，設(shè)計了如下實驗：目標(biāo)P在地面軌道上做勻速直線運動；在地面上相距的A，B兩點各放置一個傳感器，分別實時記錄A，B兩點與物體P的距離.科技小組的同學(xué)根據(jù)傳感器的數(shù)據(jù)，繪制了“距離-時間”函數(shù)圖像，分別如曲線a，b所示.和分別是兩個函數(shù)的極小值點.曲線a經(jīng)過和，曲線b經(jīng)過.已知，并且從時刻到時刻P的運動軌跡與線段AB相交.分析曲線數(shù)據(jù)可知，P的運動軌跡與直線AB所成夾角的正弦值以及P的速度大小分別為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建系，設(shè)點，作相應(yīng)的輔助線，分析可知，結(jié)合分析求解即可.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動點P的軌跡與y軸重合，其在時刻對應(yīng)的點分別為（坐標(biāo)原點），，P的速度為，因為，可得，由題意可知：均與y軸垂直，且，作垂足為，則，因為，即，解得；又因為∥y軸，可知P的運動軌跡與直線AB所成夾角即為，所以P的運動軌跡與直線AB所成夾角的正弦值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：建系，設(shè)動點P的軌跡與y軸重合，以坐標(biāo)系為依托，把對應(yīng)的量轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的長度，進(jìn)而分析求解.二、填空題共5小題.11.已知集合A={﹣1，1，3}，B={2，2a﹣1}，A∩B={1}，則實數(shù)a的值是________．【答案】1【解析】【詳解】由A∩B={1}知，即2a﹣1=1，解之得a=1，故填112.函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)底數(shù)不為0以及二次根式的被開方數(shù)大于等于0，列式可求定義域.【詳解】由題意可知，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.13.已知命題p：，，若命題p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知中“，”為假命題，可以得到否定命題:“，”為真命題，則問題可轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)恒成立問題，對二次項系數(shù)a分類討論后，綜合討論結(jié)果，即可得到答案．【詳解】解：“，”為假命題，其否定“，”為真命題，當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，恒成立可化為：解得綜上實數(shù)a的取值范圍是.故答案為.【點睛】本題考查的知識點是命題真假判斷與應(yīng)用，其中根據(jù)原命題與其否定命題之間真假性相反，寫出原命題的否定命題，并將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵．14.已知等邊的邊長為，分別是的中點，則_______；若是線段上的動點，且，則的最小值為_______．【答案】①.②.##【解析】分析】第一空：通過展開整理，帶入數(shù)據(jù)計算即可；第二空：設(shè)，通過展開整理，帶入數(shù)據(jù)然后配方求最值.【詳解】;若是線段上的動點，且，不妨設(shè)點相對更靠近點，設(shè)，，當(dāng)時，取最小值，且為.故答案為：；.15.已知函數(shù)其中表示不超過x的最大整數(shù).例如：給出以下四個結(jié)論：①②集合的元素個數(shù)為;③存在，對任意的，有;④對任意都成立，則實數(shù)的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①④【解析】【分析】利用給定定義直接判斷①，卡出，求出每個元素判斷②，舉反例判斷③，利用題意分離參數(shù)，得到，再結(jié)合給定定義求解，最后得到參數(shù)范圍即可.【詳解】對于①，由知，，故①正確，對于②，由周期性可知，的周期為，故討論即可，易得當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故該集合元素個數(shù)為6，故②錯誤，對于③，顯然在時，的值域不關(guān)于對稱，故不關(guān)于對稱，即，故③錯誤，對于④，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，而對任意都成立，故恒成立，令，即，而顯然，可得恒成立，即，故④正確.故答案為：①④【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)新定義，解題關(guān)鍵是找合理分離參數(shù)，然后利用給定定義求解函數(shù)最值，最后得到所要求的參數(shù)范圍即可．三、解答題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.等差數(shù)列中，首項，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)而得出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)裂項相消求和法得出前項和為和.【小問1詳解】因為成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；【小問2詳解】因為，，，．17.已知函數(shù)．（1）求f(π（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及對稱軸方程．【答案】（1）0；（2），．【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡得，把代入函數(shù)解析式中，即可f(π3)（2）由正弦函數(shù)單調(diào)性和對稱性，由整體代入法求解可得.【小問1詳解】由得所以.【小問2詳解】令，得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是令，得即函數(shù)的對稱軸方程18.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求A的大??；（2）若D是邊AB的中點，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可以求解；（2）令，利用正弦定理，把邊長都用表示，最后用三角函數(shù)知識解得取值范圍.【小問1詳解】因為所以，所以，又因為，所以；【小問2詳解】令,因為，所以由正弦定理可得：,所以，所以，又因為，所以所以19.已知函數(shù)（1）求的圖象在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；（2）先將f′x整理為，只需考慮的符號即可，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)對參數(shù)分類討論可得結(jié)果.【小問1詳解】.故的圖象在點1,f1處的切線方程為.【小問2詳解】.①當(dāng)時，令，解得，有0,111,+f+0-極大值故單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,+∞②當(dāng)時，令，解得或.當(dāng)時，11,+f-0+0-極小值極大值故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞，無單調(diào)遞增區(qū)間.當(dāng)時，0,11f-0+0-極小值極大值單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1,+∞；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為0,+∞，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.20.已知在處的切線方程為．（1）求實數(shù)的值；（2）證明：僅有一個極值點，且．（3）若，是否存在使得恒成立，存在請求出的取值范圍，不存在請說明理由．【答案】（1）（2）證明見詳解（3）不存在，理由見詳解【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程求出，的值即可；（2）求導(dǎo)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理可得在上存在唯一零點，且，進(jìn)而可得的單調(diào)性，可判斷極值情況；結(jié)合代入化簡，運算得證；（3）問題轉(zhuǎn)化為，對恒成立，當(dāng)時，顯然上式不成立；當(dāng)時，令，利用導(dǎo)數(shù)可得存在，使得，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，此時，上式不能恒成立，得解.【小問1詳解】由題意，，則，解得，又，可得切點為，代入，得.所以實數(shù).【小問2詳解】由（1）得，則，令，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時，，，，所以在上存在唯一零點，使得即，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，所以僅存在一個極值點，，，又函數(shù)，，而，所以在上單調(diào)遞減，則，所以.【小問3詳解】若存在，使得恒成立，即，對恒成立，當(dāng)時，當(dāng)時，則，顯然上式不成立；當(dāng)時，令，，則，令，則在上恒成立，所以即在上單調(diào)遞增，又，，所以存，使得，所以當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，此時，所以不恒成立，故當(dāng)時，不存在滿足條件.綜上，不存在，使得恒成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第三問，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為，對恒成立，分和討論，其中時，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷求解找出矛盾.21.有窮數(shù)列中，令，當(dāng)p=q時，規(guī)定.（1）已知數(shù)列，寫出所有的有序數(shù)對，且，使得；（2）已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿足：當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.求的最小值；（3）已知數(shù)列滿足，定義集合.若且為非空集合，求證：.【答案】（1）、、、（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，逐個計算即可得；（2）由題意可得，，可得當(dāng)時，有，當(dāng)時，，結(jié)合，即可得解；（3）將展開，從而得到證明與之間的項之和，，都為正數(shù)，即可得證.【小問1詳解】為時，，為時，，為時，，為時，，故，且使得的有序數(shù)對有、、、；【小問2詳解】由題意