專(zhuān)題03 三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用（四大類(lèi)型）（題型專(zhuān)練）（解析版）-A4

第頁(yè)專(zhuān)題03三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用（四大類(lèi)型）【題型1解直角三角形的應(yīng)用】【題型2解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角】【題型3解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題】【題型4解直角三角形應(yīng)用-方向角問(wèn)題】【題型1解直角三角形的應(yīng)用】1．如圖，一輛自行車(chē)豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，測(cè)得AB＝60cm，∠B＝50°，則點(diǎn)A到BC的距離為（）A．60sin50°cm B．60cos50°cm C． D．60tan50°cm【答案】A【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，∵sinB＝，∴AD＝sinB?AB＝60sin50°，即點(diǎn)A到BC的距離為60sin50°cm，故選：A．2．如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊，OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，則點(diǎn)A到OC的距離等于（）A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx【答案】D【解答】解：作AE⊥OC于點(diǎn)E，作AF⊥OB于點(diǎn)F，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝2，AD＝8，∴FO＝FB+BO＝2cosx+8sinx，故選：D．3．有一塊直角三角形空地（△ABC），政府為了加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，計(jì)劃把這塊空地規(guī)劃成綠化帶，已知∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝20m，≈1.7，若每平方米綠化帶的費(fèi)用為200元，則整塊空地規(guī)劃成綠化帶共需費(fèi)用（）A．17000元 B．17500元 C．34000元 D．36000元【答案】A【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝20m，∴△ABC是直角三角形，∴AB＝AC?sin30°＝20×＝10（m），BC＝AC?cos30°＝20×＝10（m），∴S△ABC＝BC?AB＝×10×10＝50（m），∵每平方米綠化帶的費(fèi)用為200元，∴整塊空地規(guī)劃成綠化帶共需費(fèi)用：200×50＝1000≈17000（元），故選：A．4．如圖，電線(xiàn)桿CD的高度為3米，兩根拉線(xiàn)AC與BC相互垂直，A、D、B在同一條線(xiàn)上，∠CAB＝α，則拉線(xiàn)BC的長(zhǎng)度為（）A． B． C．3cosα D．【答案】D【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵AC⊥BC，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD＝α，在Rt△BCD中，cos∠BCD＝，∵CD＝3，∴BC＝．故選：D．5．如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長(zhǎng)是6米．若梯子與地面的夾角為α，則梯子底端到墻面的距離AC的長(zhǎng)為（）米．A．6?cosα B．6?sinα C． D．【答案】A【解答】解：由題意得：BC⊥AC，在Rt△ABC中，∠BAC＝α，AB＝6米，∴AC＝AB?cosα＝6cosα（米），∴梯子底端到墻面的距離AC的長(zhǎng)為6cosα米，故選：A．6．如圖，小明利用一個(gè)銳角是30°的三角尺測(cè)操場(chǎng)旗桿的高度，已知他與旗桿之間的水平距離BC為15m，AB＝1.5m，則旗桿的高度為（）A．（15+）m B．（5+）m C．15m D．5m【答案】B【解答】解：由題知，AD＝BC＝15m，AB＝1.5m，∴DE＝AD?tan30°＝15×＝5，∴CE＝DE+CD＝（5+）m，即旗桿的高度為（5+）m，故選：B．7．如圖所示，號(hào)稱(chēng)“長(zhǎng)春眼”的摩天輪在摩天活力城的樓頂，其直徑約為70米，摩天活力城樓高約30米，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周大約需要10分鐘，乘坐摩天輪升到最高處，可俯瞰整座城市．小紅乘坐摩天輪游玩，4分鐘后她乘坐的轎廂升至點(diǎn)A處距地面的高度約為（）A．（70?sin36°+30）米 B．（70?sin54°+30）米 C．（35?sin36°+65）米 D．（35?sin54°+65）米【答案】D【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OB⊥水平面垂足為點(diǎn)B，作OC⊥OB垂足為點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)D，依題意，，∠AOD＝144°﹣90°＝54°，（米），∴AD＝AO?sin∠AOD＝35?sin54°，∴4分鐘后她乘坐的轎廂升至點(diǎn)A處距地面的高度約為：35?sin54°+35+30＝（35?sin54°+65）（米），故選：D．8．圖1是臨安區(qū)一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開(kāi)時(shí)示意圖如圖2所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，AC＝40cm，則雙翼邊緣端點(diǎn)C與D之間的距離為（60﹣80sinα）cm（用含α的三角函數(shù)表示）．【答案】（60﹣80sinα）cm【解答】解：如圖，作直線(xiàn)EF，交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)E、F，則CE⊥AE，DF⊥BF，由題意可得CE＝DF，EF＝60cm，在直角三角形ACE中，∵sinα＝＝，∴CE＝40sinα，∴CD＝EF﹣2CE＝（60﹣80sinα）cm；故答案為：（60﹣80sinα）cm．9．?dāng)?shù)學(xué)課題研究小組針對(duì)所在城市住房窗戶(hù)“如何設(shè)計(jì)遮陽(yáng)篷”這一課題進(jìn)行了探究，過(guò)程如下：【方案設(shè)計(jì)】要求設(shè)計(jì)的遮陽(yáng)篷既能最大限度地遮住夏天炎熱的陽(yáng)光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)．該數(shù)學(xué)課題研究小組通過(guò)調(diào)查研究，設(shè)計(jì)安裝了如圖1的遮陽(yáng)篷，其中垂直于墻面AC的遮陽(yáng)篷CD，AB表示窗戶(hù)，BCD表示直角遮陽(yáng)篷．【數(shù)據(jù)收集】如圖，通過(guò)查閱相關(guān)資料和實(shí)際測(cè)量：夏至日這一天的正午時(shí)刻太陽(yáng)光線(xiàn)DA與遮陽(yáng)篷CD的夾角∠ADC最大，且最大角∠ADC＝75°；冬至日這一天的正午時(shí)刻，太陽(yáng)光線(xiàn)DB與遮陽(yáng)篷CD的夾角∠BDC最小，且最小角∠BDC＝35°．【問(wèn)題提出】（1）如圖2，若只要求設(shè)計(jì)的遮陽(yáng)篷能最大限度地遮住夏天炎熱的陽(yáng)光，當(dāng)CD＝1m時(shí)，求AC的長(zhǎng)．（2）如圖3，要求設(shè)計(jì)的遮陽(yáng)篷能最大限度地遮住夏天炎熱的陽(yáng)光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)．當(dāng)AB＝1.5m時(shí)，根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽(yáng)篷CD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin35°≈0.57，cos35°≈0.83，tan35°≈0.7）【答案】（1）AC的長(zhǎng)為3.7m；（2）遮陽(yáng)篷CD的長(zhǎng)為0.5m．【解答】解：（1）如圖1，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝75°，CD＝1m，∴tan∠ADC＝≈3.73，∴AC≈3.7m，∴AC的長(zhǎng)為3.7m；（2）如圖2，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝35°，∴tan∠BDC＝≈0.7，∴BC＝0.7CD，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝75°，∴tan∠ADC＝≈3.73，∴AC＝3.73CD，∴AB＝AC﹣BC＝（3.73﹣0.7）CD＝1.5，∴CD≈0.5m，∴遮陽(yáng)篷CD的長(zhǎng)為0.5m．10．消防車(chē)是救援火災(zāi)的主要裝備．圖①是一輛登高云梯消防車(chē)的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)上下轉(zhuǎn)動(dòng)，張角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面的高度AE為3米．（1）當(dāng)起重臂AC的長(zhǎng)為24米，張角∠CAE＝120°時(shí)，求云梯消防車(chē)最高點(diǎn)C距離地面的高度CF．（2）某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點(diǎn)距離地面的高度為26米，問(wèn)該消防車(chē)在這棟樓下能否實(shí)施有效救援？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7）（提示：當(dāng)起重臂AC伸到最長(zhǎng)且張角∠CAE最大時(shí)，云梯頂端C可以達(dá)到最大高度．）【答案】（1）云梯消防梯最高點(diǎn)C距離地面的高度CF為15米；（2）該消防車(chē)在這棟樓下能實(shí)施有效救援，理由見(jiàn)解析．【解答】解：（1）作AG⊥CF于點(diǎn)G，由題意，得AE⊥BD，CF⊥BD，∴四邊形AEFG是矩形，∴AE＝FG＝3（米），∠GAE＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠GAE＝30°．在Rt△CAG中，，∴（米），∴CF＝CG+GF＝12+3＝15（米）．答：云梯消防梯最高點(diǎn)C距離地面的高度CF為15米（2）當(dāng)AC＝30米，∠CAE＝150°時(shí)，云梯頂端C可以達(dá)到最大高度則有GF＝AE＝3米，∠CAG＝∠CAE﹣∠GAE＝60°，在Rt△CAG中，，∴（米），∴（米）＞26（米）．答：該消防車(chē)在這棟樓下能實(shí)施有效救援．【題型2解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角】11．（2023?柳州一模）如圖，某商場(chǎng)一樓與二樓之間的電梯示意圖．∠ABC＝150°，BC的長(zhǎng)是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是（）A．m B．4m C．4m D．8m【答案】C【解答】解：作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴CE＝BC＝4m．故選：C．12．（2023?官渡區(qū)一模）“兒童放學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”，小明周末在龍?zhí)豆珗@草坪上放風(fēng)箏，已知風(fēng)箏拉線(xiàn)長(zhǎng)100米且拉線(xiàn)與地面夾角為65°（如圖所示，假設(shè)拉線(xiàn)是直的，小明身高忽略不計(jì)），則風(fēng)箏離地面的高度可以表示為（）A．100sin65° B．100cos65° C．100tan65° D．【答案】A【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BC于C，在Rt△ABC中，sinB＝，則AC＝AB?sinB＝100sin65°（米），故選：A．13．（2023?白城模擬）雪上項(xiàng)目占據(jù)了2022年北京冬奧會(huì)的大部分比賽項(xiàng)目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳臺(tái)滑雪、無(wú)舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如圖，某滑雪運(yùn)動(dòng)員在坡度為5：12的雪道上下滑65m，則該滑雪運(yùn)動(dòng)員沿豎直方向下降的高度為（）A．13m B．25m C．m D．156m【答案】B【解答】解：如圖，由題意得，AB＝65m，BC⊥AC于C，∵斜坡AB的坡比是5：12，∴設(shè)BC＝5a，則AC＝12a，由勾股定理可得AB＝＝13a，∴13a＝65，解得a＝5，∴BC＝5a＝25，故選：B．14．（2023?南崗區(qū)二模）如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡AB的坡角為α，堤壩高BC為50米，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度是（）A．50?tanα米 B．50?sinα米 C．米 D．米【答案】D【解答】解：∵＝sinα，∴AB＝＝．故選：D．15．（2022秋?德惠市期末）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75m B．50m C．30m D．12m【答案】A【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴BC：AC＝1：2.5，∵BC＝30m，∴AC＝30×2.5＝75（m），故選：A．16．（2023?惠山區(qū)三模）北京冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目競(jìng)賽場(chǎng)地“首鋼滑雪大跳臺(tái)”巧妙地融入了敦煌壁畫(huà)“飛天”元素．如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線(xiàn)段AB．已知坡AB的長(zhǎng)為30m，坡角∠ABH約為37°，則坡AB的鉛直高度AH約為18m．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】18．【解答】解：在Rt△ABH中，∠ABH＝37°，AB＝30m，∵sin∠ABH＝，∴AH＝AB?sin∠ABH≈30×0.60＝18（m），故答案為：18．17．（2023?開(kāi)封模擬）圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角∠EAD為22°，長(zhǎng)為3米的真空管AB與水平線(xiàn)AD的夾角為37°，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長(zhǎng)度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線(xiàn)AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1米）參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4．【答案】（1）真空管上端B到AD的距離約為1.8米；（2）安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度約為0.9米．【解答】解：（1）過(guò)B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，則BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距離約為1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，則AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四邊形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，則AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度約為0.9米．18．（2023?成都模擬）如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點(diǎn)8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車(chē)過(guò)天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．若新坡面底端A處與建筑物NM之間需要留下至少3米寬的人行道，那么該建筑物是否需要拆除？請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【答案】該建筑物不需要拆除，理由見(jiàn)解答．【解答】解：該建筑物不需要拆除，理由：∵∠CDB＝45°，∠CDB＝90°，CD＝6米，∴∠BCD＝∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝6（米），∵∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，∴AD＝＝＝6（米），∴AN＝BD+BN﹣AD＝6+8﹣6≈3.62（米），∵3.62＞3，∴該建筑物不需要拆除．19．（2023?興安盟模擬）2022年2月20日，舉世矚目的北京冬奧會(huì)圓滿(mǎn)落下帷幕．本次冬奧會(huì)的成功舉辦掀起了全民冰雪運(yùn)動(dòng)的熱潮．圖1、圖2分別是一名滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過(guò)程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖，已知運(yùn)動(dòng)員的小腿ED與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，G為頭部，假設(shè)G，E，D三點(diǎn)共線(xiàn)且頭部到斜坡的距離GD為1.04m，上身與大腿夾角∠GFE＝53°，膝蓋與滑雪板后端的距離EM長(zhǎng)為0.8m，∠EMD＝30°．（1）求此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長(zhǎng)度；（2）求此運(yùn)動(dòng)員的身高．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【答案】（1）0.4m．（2）1.68m．【解答】解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，sin30°＝＝，解得DE＝0.4，∴此滑雪運(yùn)動(dòng)員的小腿ED的長(zhǎng)度為0.4m．（2）由（1）得，DE＝0.4m，∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），∵EF∥AB，∴∠GEF＝∠EDB＝90°，在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，tan53°＝≈，sin53°＝≈，∴EF＝0.48，F(xiàn)G＝0.8，∴運(yùn)動(dòng)員的身高為GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．20．（2023春?金華月考）如圖，在河流兩邊有甲、乙兩座山，現(xiàn)在從甲山A處的位置向乙山B處拉電線(xiàn)．已知甲山上A點(diǎn)到河邊C的距離AC＝130米，點(diǎn)A到CD的垂直高度為120米；乙山BD的坡比為4：3，乙山上B點(diǎn)到河邊D的距離BD＝450米，從B處看A處的俯角為25°．（參考值：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（1）求乙山B處到河邊CD的垂直距離；（2）求河CD的寬度．（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）360米；（2）約為195米．【解答】解：（1）過(guò)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，如圖，∵乙山BD的坡比為4：3，∴＝，設(shè)BF＝4t米，則DF＝3t米，∴BD＝＝＝5t（米），∴5t＝450，解得：t＝90，∴BF＝360米，答：乙山B處到河邊CD的垂直距離為360米；（2）過(guò)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)A作AH⊥BF于點(diǎn)H，則四邊形AEFH為矩形，∴HF＝AE＝120米，AH＝EF，∴BH＝BF﹣HF＝360﹣120＝240（米），∵從B處看A處的俯角為25°，∴∠BAH＝25°，在Rt△ABH中，tan∠BAH＝，∴AH＝≈≈515.0（米），∴EF＝AH≈515.0（米），在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE＝＝＝50（米），由（1）可知，DF＝270米，∴CD＝EF﹣CE﹣DF≈515.0﹣50﹣270＝195（米），答：河CD的寬度約為195米．【題型3解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題】21．如圖，為測(cè)量一幢大樓的高度，在地面上與樓底點(diǎn)O相距30米的點(diǎn)A處，測(cè)得樓頂B點(diǎn)的仰角∠OAB＝65°，則這幢大樓的高度為（）A．米 B．30sin65°米 C．米 D．30?tan65°米【答案】D【解答】解：由題意得：BO⊥AO，AO＝30米，在Rt△ABO中，∠BAO＝65°，∴BO＝AO?tan65°＝30tan65°（米），故選：D．22.2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)收得圓滿(mǎn)成功，中國(guó)航天，又站在了一個(gè)新的起點(diǎn)．如圖2021年10月16日，神舟十三號(hào)載人飛船從地面O處成功發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測(cè)得AD＝4000米，仰角為30°，3秒后，飛船直線(xiàn)上升到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測(cè)得B處的仰角為45°．點(diǎn)O，C，D在同一直線(xiàn)上，已知C，D兩處相距460米，則飛船從A到B處的平均速度為多少米/秒．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，）（）A．336 B．335 C．334 D．333【答案】B【解答】解：由題意得：∠BOC＝90°，在Rt△AOD中，AD＝4000米，∠ADO＝30°，∴AO＝AD＝2000（米），DO＝AO＝2000（米），∵CD＝460米，∴OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC?tan45°＝（2000﹣460）米，∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000＝（2000﹣2460）米，∴飛船從A到B處的平均速度＝≈335（米/秒），故選：B．23．如圖，從航拍無(wú)人機(jī)A看一棟樓頂部B的仰角α為30°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，無(wú)人機(jī)與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：AD＝120m，在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝AD?tan30°＝120×＝40（m），在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD?tan60°＝120（m），∴BC＝BD+CD＝160（m），∴這棟樓的高度為160m，故選：B．24．如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方地面C處測(cè)得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為4m．則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD約為（）m（保留一位小數(shù)）A．3.9 B．3.7 C．3.5 D．3.3【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠CBA＝30°，∴AC＝BC，∵AC＝4m，∴BC＝4m，∴，∴，∵，∴，故選：C．25．如圖，湖的旁邊有一建筑物AD，某數(shù)學(xué)興趣小組決定測(cè)量它的高度．他們首先在點(diǎn)B處測(cè)得建筑物最高點(diǎn)A的仰角為30°，然后沿BD方向前進(jìn)12米到達(dá)C處，又測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°．請(qǐng)你幫助該小組同學(xué)，計(jì)算建筑物AD的高度約為16米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)）【答案】16．【解答】解：由題意得：AD⊥BD，BC＝12米，設(shè)CD＝x米，∴BD＝BC+CD＝（x+12）米，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝BD?tan30°＝（x+12）米，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴AD＝CD?tan45°＝x（米），∴x＝（x+12），解得：x＝6+6，∴AD＝6+6≈16（米），∴建筑物AD的高度約為16米，故答案為：16．26．如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度為i＝1：3，且O，A，B在同一條直線(xiàn)上，則此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度為（25﹣25）米．【答案】此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度（25﹣25）米．【解答】解：作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO?tan60°＝100（米）．設(shè)PE＝x米，∵tan∠PAB＝＝，∴AE＝3x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+3x，∵PF＝CF，∴100+3x＝100﹣x，解得x＝25﹣25．答：此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度（25﹣25）米，故答案為：（25﹣25）．27．我省某通信公司準(zhǔn)備逐步在浮山上建設(shè)5G基站．如圖，某處斜坡CB的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，通訊塔AB垂直于水平地面，在C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，在D處測(cè)得塔頂A的仰角為53°，斜坡路段CD長(zhǎng)26米．（1）求點(diǎn)D到水平地面CQ的距離．（2）求通訊塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【答案】（1）點(diǎn)D到水平地面CQ的距離為10米；（2）通訊塔AB的高度約為38.5米．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CQ，垂足為F，∵斜坡CB的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，∴＝＝，∴設(shè)DF＝5x米，則CF＝12x米，在Rt△CDF中，CD＝26米，∴CD2＝CF2+DF2，∴262＝（5x）2+（12x）2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），∴CF＝12x＝24（米），DF＝5x＝10（米），∴點(diǎn)D到水平地面CQ的距離為10米；（2）延長(zhǎng)AB交CQ于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE，垂足為H，由題意得：DF＝HE＝10米，DH＝FE，設(shè)DH＝FE＝y(tǒng)米，∵CF＝24米，∴CE＝CF+EF＝（24+y）米，在Rt△ADH中，∠ADH＝53°，∴AH＝DH?tan53°≈y（米），∴AE＝AH+HE＝（y+10）米，在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∴tan45°＝＝1，∴AE＝CE，∴y+10＝24+y，解得：y＝42，∴DH＝FE＝42米，AH＝y(tǒng)＝56（米），∵斜坡CB的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，∴＝＝，∴BH＝17.5米，∴AB＝AH﹣BH＝56﹣17.5＝38.5（米），∴通訊塔AB的高度約為38.5米．28．如圖，無(wú)人機(jī)在塔樹(shù)上方Q處懸停，測(cè)得塔頂A的俯角為37°，樹(shù)頂D的俯角為60°，樹(shù)高CD為12米，無(wú)人機(jī)豎直高度PQ為60米，B、P、C在一條直線(xiàn)上，且P點(diǎn)到塔底B的距離比到樹(shù)底C的距離多8米，求塔高AB的值．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】塔高AB的值為（54﹣12）米．【解答】解：如圖：延長(zhǎng)CD交GH于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BA交GH于點(diǎn)F，由題意得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE＝BF＝PQ＝60米，EQ＝CP，QF＝PB，∵CD＝12米，∴DE＝CE﹣CD＝48（米），在Rt△DEQ中，∠EQD＝60°，∴EQ＝＝＝16（米），∵PB﹣PC＝8，∴QF﹣QE＝8，∴QF＝QE+8＝（16+8）米，在Rt△QFA中，∠FQA＝37°，∴AF＝QF?tan37°≈0.75（16+8）米，∴AB＝BF﹣AF＝60﹣0.75（16+8）＝（54﹣12）米，∴塔高AB的值為（54﹣12）米．29．某學(xué)校興趣小組開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，并在活動(dòng)后實(shí)地測(cè)量了某建筑物的高度．方法如下：如圖，首先在測(cè)量點(diǎn)A處用高為1.5米的測(cè)角儀AC測(cè)得建筑物MN頂部M的仰角為35°，然后在測(cè)量點(diǎn)B處用同樣的測(cè)角儀BD測(cè)得建筑物MN頂部M的仰角為42°，最后測(cè)量出A，B兩點(diǎn)間的距離為12米，并且N，B，A三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，連接CD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)E，請(qǐng)你利用他們的測(cè)量結(jié)果，計(jì)算此建筑物MN的高度．（參考依據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【答案】建筑物MN的高度為39.3米．【解答】解：設(shè)ME＝x米，由題意知，CD⊥MN，AC⊥AN，MN⊥AN，∴四邊形ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5米；在Rt△MEB中，∠MDE＝42°，則DE＝ME÷tan∠MDE＝x÷tan42°；在Rt△MEC中，∠MCE＝35°，則CE＝ME÷tan∠MCE＝x÷tan35°；∵CE﹣DE＝CD，∴，即，解得：x≈37.8，∴建筑物MN的高度為：37.8+1.5＝39.3（米）；答：建筑物MN的高度為39.3米．【題型4解直角三角形應(yīng)用-方向角問(wèn)題】30．（2023?寧南縣校級(jí)模擬）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔45海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時(shí)與燈塔P的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．27海里 B．50海里 C．75海里 D．海里【答案】C【解答】解：如圖所示標(biāo)注字母，根據(jù)題意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△PAB中，sin37°＝，PB＝（海里），∴此時(shí)與燈塔P的距離約為75海里．故選：C．31．（2023春?大冶市期中）如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀(guān)測(cè)站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C，小島C在觀(guān)測(cè)站B的北偏西15°方向上，碼頭A到小島C的距離AC為（+1）海里．觀(guān)測(cè)站B到AC的距離BP是（）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解答】解：由題意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，∵BP⊥AC，∴∠BPA＝∠BPC＝90°，∵∠C＝45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP＝PC，∵∠BAC＝30°，∴PA＝BP，∵PA+PC＝AC，∴BP+BP＝+1，解得：BP＝1（海里），故選：B．32．（2023?柳南區(qū)二模）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向距離哨所米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時(shí)間后到達(dá)哨所北偏東60°方向的B處，則此時(shí)OB為800米．【答案】800．【解答】解：如圖，設(shè)線(xiàn)段AB交y軸于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，則AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA?cos45°＝400×＝400（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝400米，∴OB＝＝＝800（米），故答案為：800．33．（2023?龍鳳區(qū)校級(jí)模擬）如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則此時(shí)輪船所在位置B處于燈塔P之間的距離為30海里．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60（海里），則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為：BP＝＝＝30（海里）；故答案為：30海里．34．（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）在一次海上救援中，兩艘專(zhuān)業(yè)救助船A、B同時(shí)收到某事故漁船P的求救訊息，已知此時(shí)救助船B在A(yíng)的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距60海里．（1）求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求救助船A、B分別以20海里/小時(shí)，15海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線(xiàn)前往事故漁船P處搜救，試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．【答案】（1）30海里；（2）救助船B先到達(dá)．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如圖所示：則∠PCA＝∠PCB＝90°，由題意得：PA＝60海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，∴PC＝PA＝30海里，在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，∴PB＝＝＝30（海里），答：收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離為30海里；（2）∵PA＝60海里，PB＝30海里，救助船A，B分別以20海里/小時(shí)、15海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，∴救助船A所用的時(shí)間為＝3（小時(shí)），救助船B所用的時(shí)間為＝2（小時(shí)），∵3＞2，∴救助船B先到達(dá)．35．（2023?邵陽(yáng)模擬）如圖，某湖心島上有一亭子A，在亭子A的正東方向上的湖邊有一棵樹(shù)B，在這個(gè)湖心島的湖邊C處測(cè)得亭子A在北偏西45°方向上，測(cè)得樹(shù)B在北偏東36°方向上，又測(cè)得B、C之間的距離等于200米，求A、B之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，由題意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，在Rt△BHC中，，∴，∵sin36°≈0.588，∴BH≈117.6，又，∴．∵cos36°≈0.809，