高考數(shù)學(xué)選填壓軸題型第2講辨析函數(shù)與方程的根的情況專題練習(xí)(原卷版+解析)

5/5第2講辨析函數(shù)與方程的根的情況一、方法綜述確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程f(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法：(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)＝0的判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0來(lái)完成；對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷．(2)對(duì)于一般函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，不僅要用到零點(diǎn)存在性定理，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能確定，如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又f(a)·f(b)＜0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點(diǎn)．二、解題策略類型一求方程解的個(gè)數(shù)例1．已知函數(shù)函數(shù)滿足以下三點(diǎn)條件：①定義域?yàn)椋虎趯?duì)任意，有；③當(dāng)時(shí)，．則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【舉一反三】【2020南昌一?！慷x在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4熱點(diǎn)題型二已知方程的根求參數(shù)的值或取值范圍例2．【2020煙臺(tái)一?！恳阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【舉一反三】【2020?？谝荒！恳阎?，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．三、強(qiáng)化訓(xùn)練1．【2020三明聯(lián)考】設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．42．若圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)稱為函數(shù)的“友情點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”）若恰有兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【來(lái)源】河北省石家莊市2021屆高三下學(xué)期質(zhì)檢一數(shù)學(xué)試題3．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰好有4個(gè)不相等的實(shí)根，則m取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且存在唯一的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【來(lái)源】江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2021屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題6．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【來(lái)源】天津市和平區(qū)2021屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題7．已知.是函數(shù)()在上的兩個(gè)零點(diǎn)，則.滿足（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰好有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么的值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)的圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．10．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有6個(gè)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來(lái)源】2021年浙江省新高考測(cè)評(píng)卷數(shù)學(xué)（第六模擬）11．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來(lái)源】河南省金太陽(yáng)2021屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考（I卷）理數(shù)試題12．已知，，，若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．13．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．14．已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【來(lái)源】云南省昆明市2021屆高三上學(xué)期”三診一?！懊自\斷測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題15．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來(lái)源】天津市部分區(qū)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題16．已知函數(shù)，如果關(guān)于的方程()有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍（）A． B．C． D．【來(lái)源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高三1月線上學(xué)習(xí)階段性考試數(shù)學(xué)（文）試題第2講辨析函數(shù)與方程的根的情況一、方法綜述確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程f(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù))的方法：(1)判斷二次函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般由對(duì)應(yīng)的二次方程f(x)＝0的判別式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0來(lái)完成；對(duì)于一些不便用判別式判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的二次函數(shù)，則要結(jié)合二次函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷．(2)對(duì)于一般函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，不僅要用到零點(diǎn)存在性定理，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能確定，如三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且是單調(diào)函數(shù)，又f(a)·f(b)＜0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一零點(diǎn)．二、解題策略類型一求方程解的個(gè)數(shù)例1．已知函數(shù)函數(shù)滿足以下三點(diǎn)條件：①定義域?yàn)椋虎趯?duì)任意，有；③當(dāng)時(shí)，．則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，故，同理可得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故在無(wú)零點(diǎn)，同理在也無(wú)零點(diǎn).因?yàn)?，故將上的圖象向右平移個(gè)單位后，圖象伸長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍，在平面直角坐標(biāo)系，、在上的圖象如圖所示：因?yàn)?，故、在上的圖象共有5個(gè)不同交點(diǎn)，下證：當(dāng)，有且只有一個(gè)零點(diǎn).此時(shí)，而，故在上為減函數(shù)，故當(dāng)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故、在上的圖象共有6個(gè)不同交點(diǎn)，即在有6個(gè)不同的零點(diǎn)，故選：A.【名師點(diǎn)睛】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，有兩種做法：一是代數(shù)法，解代數(shù)方程；二是圖象法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，在畫函數(shù)的圖象是，要注意函數(shù)的各種性質(zhì)，如周期性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)的體現(xiàn)?！九e一反三】【2020南昌一?！慷x在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：定義在R的奇函數(shù)滿足：，且，又時(shí)，，即，，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，又，是偶函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，可得函數(shù)與的大致圖象如圖所示，由圖象知，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．熱點(diǎn)題型二已知方程的根求參數(shù)的值或取值范圍例2．【2020煙臺(tái)一?！恳阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與有6個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，的極大值為：，作出函數(shù)的圖象如下圖，與的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，須，表示為區(qū)間形式即.故選C.【舉一反三】【2020海口一?！恳阎艉瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】有三個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)，故，有兩個(gè)零點(diǎn)，代入的解析式，得到，構(gòu)造新函數(shù)，繪制這兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖可知因而介于A,O之間，建立不等關(guān)系，解得a的范圍為，故選A。三、強(qiáng)化訓(xùn)練1．【2020三明聯(lián)考】設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】時(shí)，由數(shù)形結(jié)合知，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．依據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性知，時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)槠婧瘮?shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，所以，即過(guò)原點(diǎn)．因此共有3個(gè)零點(diǎn)．選C．2．若圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)稱為函數(shù)的“友情點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”）若恰有兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【來(lái)源】河北省石家莊市2021屆高三下學(xué)期質(zhì)檢一數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】根據(jù)題意，若要求“友情點(diǎn)對(duì)”，可把時(shí)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，研究對(duì)稱過(guò)去的圖像和時(shí)的圖像有兩交點(diǎn)即可，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的解析式為，考查的圖像和的交點(diǎn)，可得，，令，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，其圖象為，故若要有兩解，只要即可，故選：A3．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作函數(shù)的大致圖象如下，結(jié)合圖象易知，使得，，，故，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，故選：D.4．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰好有4個(gè)不相等的實(shí)根，則m取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)，所以的極大值為，設(shè)，則關(guān)于x的方程可化為，設(shè)關(guān)于t的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則關(guān)于x的方程恰好有4個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)為：函數(shù)的圖象與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，函數(shù)的圖象與的圖象如下所示：所以關(guān)于t的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，則有，解得.故選：C5．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且存在唯一的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【來(lái)源】江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2021屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題【答案】B【解析】由題意，得，設(shè)，求導(dǎo)令，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且又時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故；作出函數(shù)大致圖像，如圖所示：又，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，使得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知：，即故選：B.6．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【來(lái)源】天津市和平區(qū)2021屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，故有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且無(wú)實(shí)根或、各有一個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)根且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.若有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根不成立.若、各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，先考慮有一個(gè)實(shí)數(shù)根即有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故，故.再考慮有一個(gè)實(shí)數(shù)根即有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，因?yàn)?，故有一個(gè)實(shí)數(shù)根.故時(shí)，、各有一個(gè)實(shí)數(shù)根.若有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且無(wú)實(shí)根，因?yàn)闊o(wú)實(shí)根，則由前述討論可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，解得，綜上，，故選：D.7．已知.是函數(shù)()在上的兩個(gè)零點(diǎn)，則.滿足（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知，，故，即，設(shè)，，則，，∴，由得，∴，令()，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，即，∴，∴，∴，故選：B.8．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰好有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，故圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，作出圖像如圖，令，則原方程可化為，根據(jù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有6個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；原方程恰好有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，只需有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?，由韋達(dá)定理得，，解得，，于是，故選：D.9．已知函數(shù)的圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵的最大值為，最小值為，其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為，∴，解得，∴，∴∴，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同實(shí)根，∴，∴，故選B.10．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有6個(gè)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來(lái)源】2021年浙江省新高考測(cè)評(píng)卷數(shù)學(xué)（第六模擬）【答案】B【解析】

作出函數(shù)的圖象如圖所示．令，則可化為，要使關(guān)于的方程有6個(gè)根，數(shù)形結(jié)合知需方程在上有2個(gè)不相等的實(shí)根，，不妨設(shè)，，則解得，故的取值范圍為，故選B．11．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來(lái)源】河南省金太陽(yáng)2021屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考（I卷）理數(shù)試題【答案】D【解析】如圖，因?yàn)榈膬筛鶠?，所以，，，從而．令，，則，．因?yàn)?，所以，，，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增．又，，所以，即的取值范圍是．故選：D12．已知，，，若函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，令，則.令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值為.因?yàn)楹瘮?shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程和共有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.又，所以或或，解得或.故選：A.13．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，它與圖象的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，，即，且，顯然，不等式變形為，，，所以，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在時(shí)是增函數(shù)，所以，令，則，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值是．故選：A．14．已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【來(lái)源】云南省昆明市2021屆高三上學(xué)期”三診一?！懊自\斷測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題【答案】A【解析】由題意知：有四個(gè)不同的零點(diǎn)，∴，則有四個(gè)不同的解，當(dāng)時(shí)，，其零點(diǎn)情況如下：1）當(dāng)或時(shí)，有；2）當(dāng)或時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，，則有如下情況：1）當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，不可能出現(xiàn)兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；2）當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，而有，有，所以只需，得時(shí)，必有兩個(gè)零點(diǎn).∴綜