高考真題與模擬訓(xùn)練專題練習(xí)專題11等比數(shù)列(原卷版+解析)

專題11等比數(shù)列第一部分真題部分一、選擇題1．（2021·浙江高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線2．（2021·全國高考真題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A． B．C． D．3．（2020·全國高考真題（文））設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A．12 B．24 C．30 D．324．（2020·全國高考真題（理））數(shù)列中，，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2019·全國高考真題（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2二、填空題6．（2021·江蘇高考真題）已知等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則的值是___________.7．（2019·全國高考真題（理））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=____________．8．（2020·江蘇高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．三、解答題9．（2021·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明10．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求的范圍.11．（2021·全國高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．12．（2021·江蘇高考真題）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.13．（2020·山東高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．14．（2020·全國高考真題（文））設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．15．（2020·全國高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．16．（2020·全國高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．（2019·上海高考真題）已知等差數(shù)列的公差，數(shù)列滿足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有兩個元素；（3）若集合恰好有三個元素：，是不超過7的正整數(shù)，求的所有可能的值.18．（2020·天津高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．第二部分模擬訓(xùn)練1．已知函數(shù)，給出三個條件：①；②；③.從中選出一個能使數(shù)列成等比數(shù)列的條件，在這個條件下，數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．2．若數(shù)列滿足，則稱為“夢想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且，則（）A． B． C． D．3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，.數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，下列命題中錯誤的是（）A．是等差數(shù)列 B． C． D．是等比數(shù)列5．?dāng)?shù)列中，，若，則_______________．6．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)的和為7，若存在，使得，則的最小值為__________.7．定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有的零點(diǎn)之和為_______.8．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求的通項(xiàng)公式．9．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)列都在函數(shù)的圖象上，若所在直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.10．對于數(shù)列，若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的所有項(xiàng)的和，則稱為數(shù)列.（1）若數(shù)列1，2，，8是數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)數(shù)列，，，，是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，若該數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍；（3）設(shè)無窮數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，有窮數(shù)列、是從中取出部分項(xiàng)按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項(xiàng)和分別記為、，求證：當(dāng)且時，數(shù)列不是數(shù)列.專題11等比數(shù)列第一部分真題部分一、選擇題1．（2021·浙江高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是（）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【解析】由題意得，即，對其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.2．（2021·全國高考真題）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.3．（2020·全國高考真題（文））設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.4．（2020·全國高考真題（理））數(shù)列中，，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.5．（2019·全國高考真題（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．二、填空題6．（2021·江蘇高考真題）已知等比數(shù)列的公比為，且，，成等差數(shù)列，則的值是___________.【答案】4【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且公比為，所以，且，.因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，有，，解得.故答案為：.7．（2019·全國高考真題（理））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=____________．【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．8．（2020·江蘇高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.故答案為：三、解答題9．（2021·天津高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.10．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求的范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.11．（2021·全國高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.12．（2021·江蘇高考真題）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】（1）由，得，∴，又，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2），∴.（3）.13．（2020·山東高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由于，所以對應(yīng)的區(qū)間為：，則；對應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應(yīng)的區(qū)間分別為：，則，即有個.所以.14．（2020·全國高考真題（文））設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因?yàn)?，所以?5．（2020·全國高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.16．（2020·全國高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.17．（2019·上海高考真題）已知等差數(shù)列的公差，數(shù)列滿足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有兩個元素；（3）若集合恰好有三個元素：，是不超過7的正整數(shù)，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（1），，，，，，由周期性可知，以為周期進(jìn)行循環(huán)（2），，恰好有兩個元素或即或或（3）由恰好有個元素可知：當(dāng)時，，集合，符合題意；當(dāng)時，，或因?yàn)闉楣畹牡炔顢?shù)列，故又，故當(dāng)時，如圖取，，符合條件當(dāng)時，，或因?yàn)闉楣畹牡炔顢?shù)列，故又，故當(dāng)時，如圖取，，符合條件當(dāng)時，，或因?yàn)闉楣畹牡炔顢?shù)列，故又，故當(dāng)時，如圖取時，，符合條件當(dāng)時，，或因?yàn)闉楣畹牡炔顢?shù)列，故又，故當(dāng)時，因?yàn)閷?yīng)個正弦值，故必有一個正弦值對應(yīng)三個點(diǎn)，必然有，即，即，,不符合條件；當(dāng)時，因?yàn)閷?yīng)個正弦值，故必有一個正弦值對應(yīng)三個點(diǎn)，必然有，即，即，不是整數(shù)，故不符合條件；

當(dāng)時，因?yàn)閷?yīng)個正弦值，故必有一個正弦值對應(yīng)三個點(diǎn)，必然有或若，即，不是整數(shù)，若，即，不是整數(shù)，故不符合條件；綜上：18．（2020·天津高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.第二部分模擬訓(xùn)練1．已知函數(shù)，給出三個條件：①；②；③.從中選出一個能使數(shù)列成等比數(shù)列的條件，在這個條件下，數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知函數(shù)，定義域?yàn)?若選①，則，，不是常數(shù)，則不是等比數(shù)列；若選②，則，，不是常數(shù)，則不是等比數(shù)列；若選③，則，，是常數(shù)，則是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，則.故選：D.2．若數(shù)列滿足，則稱為“夢想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，若數(shù)列為“夢想數(shù)列”，則，可得，所以，“夢想數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，若正項(xiàng)數(shù)列為“夢想數(shù)列”，則，所以，，即正項(xiàng)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因?yàn)椋虼耍?故選：D.3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，.數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由數(shù)列滿足，當(dāng)，，即所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，，由知函數(shù)對稱軸為，又是奇函數(shù)，所以函數(shù)周期為..故選：D.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，下列命題中錯誤的是（）A．是等差數(shù)列 B． C． D．是等比數(shù)列【答案】C【解析】時，因?yàn)?，所以，所以，所以是等差?shù)列，A正確；，，公差，所以，所以，B正確；不適合，C錯誤；，數(shù)列是等比數(shù)列，D正確．故選：C．5．?dāng)?shù)列中，，若，則_______________．【答案】3【解析】因?yàn)椋?，所以，是等比?shù)列，公比為2．所以．因?yàn)?，所以．故答案為?．6．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)的和為7，若存在，使得，則的最小值為__________.【答案】【解析】依題意，依題意存在，使得，即，即，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最小值為.故答案為：7．定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有的零點(diǎn)之和為_______.【答案】【解析】當(dāng)1≤x時，f（x）＝12x﹣12，所以，此時當(dāng)x時，g（x）max＝0；當(dāng)x≤2時，f（x）＝24﹣12x，所以＜0；由此可得1≤x≤2時，g（x）max＝0．下面考慮2n﹣1<x≤2n且n≥2時，g（x）的最大值的情況．當(dāng)2n﹣1<x≤3?2n﹣2且n≥2時，由函數(shù)f（x）的定義知f（x）f（）f（），因?yàn)?，所以，此時當(dāng)x＝3?2n﹣2時，g（x）max＝0；當(dāng)3?2n﹣2<x≤2n時，同理可知，<0．由此可得2n﹣1<x≤2n且n≥2時，g（x）max＝0．綜上可得：對于一切的n∈N*，函數(shù)g（x）在區(qū)間(2n﹣1，2n]上有1個零點(diǎn)，從而g（x）在區(qū)間[1，2n]上有n個零點(diǎn)，且這些零點(diǎn)為xn＝3?2n﹣2，因此，所有這些零點(diǎn)成等比數(shù)列，所有零點(diǎn)的和為．故答案為：．8．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）（）【解析】（1）由可得：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)，所以，所以是