信號(hào)與系統(tǒng)（MATLAB版 微課視頻版 第2版） 課件 2-4 卷積積分

2.4.1卷積積分的定義

設(shè)和是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)，將積分

定義為和的卷積，簡記為即*號(hào)為卷積積分的運(yùn)算符號(hào)，卷積的結(jié)果是產(chǎn)生一個(gè)新的時(shí)間信號(hào)。卷積積分簡稱卷積，是兩函數(shù)間的一種數(shù)學(xué)運(yùn)算。2.4卷積積分

2.4.2卷積的圖示當(dāng)兩個(gè)信號(hào)僅以波形的形式給出時(shí)，用圖解的方法求解卷積非常方便。根據(jù)卷積的定義式，信號(hào)和的卷積圖形運(yùn)算步驟如下:（1）畫出和的波形，將波形中的自變量t改為τ，分別得到和的波形。（2）把信號(hào)的波形反折，得到的波形。此時(shí)為了后面計(jì)算時(shí)確定積分限方便，要標(biāo)出的邊界點(diǎn)的坐標(biāo)。

⑶把的波形從-∞經(jīng)的橫軸向+∞作移位，移位量是從-∞到+∞的變化量，用參變量t來表示，這樣就得到了和在同一個(gè)坐標(biāo)平面上的波形。標(biāo)出的邊界點(diǎn)的坐標(biāo)，即原邊界點(diǎn)的坐標(biāo)值加移位量t。⑷分段對(duì)，即對(duì)和的重疊部分的乘積進(jìn)行積分，不同的積分段配合不同的移位量t的波形圖來表示，積分限的確定取決于兩個(gè)圖形交疊部分的范圍。特別要注意積分限的確定。⑸完成積分運(yùn)算，把卷積積分的結(jié)果用分段函數(shù)表示，得到一個(gè)新的時(shí)間信號(hào)，這個(gè)信號(hào)所占有的時(shí)間寬度等于兩個(gè)函數(shù)各自占有的時(shí)間寬度的總和。例

給定信號(hào)求解：⑴畫出和的波形。⑵畫和的波形⑶把的波形從-∞經(jīng)的橫軸向+∞作移位，分三段對(duì)和的重疊部分的乘積進(jìn)行積分

⑷卷積結(jié)果用分段函數(shù)表示用開關(guān)函數(shù)表示1.卷積的代數(shù)運(yùn)算

交換律用于系統(tǒng)分析表明：（1）.交換律2.4.3卷積積分的性質(zhì)

不論和哪一個(gè)作為輸入信號(hào)，另一個(gè)作為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，結(jié)果相同。①

②當(dāng)單位沖激信號(hào)作為輸入信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)滿足交換律。

（2）.分配律分配律用于系統(tǒng)分析表明：若干個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)的復(fù)合系統(tǒng)，其總的單位沖激響應(yīng)是各個(gè)子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和。

（3）.結(jié)合律結(jié)合律用于系統(tǒng)分析表明：若干個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的復(fù)合系統(tǒng)，其總的單位沖激響應(yīng)是各個(gè)子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積2.函數(shù)與奇異函數(shù)的卷積

（1）.與沖激函數(shù)的卷積

函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積是函數(shù)本身。如果把沖激函數(shù)看作激勵(lì)，函數(shù)作為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，也有此結(jié)論。推廣函數(shù)與延時(shí)的沖激函數(shù)的卷積相當(dāng)于把函數(shù)本身作相同的延時(shí)。（2）.與沖激偶函數(shù)的卷積函數(shù)與沖激偶函數(shù)的卷積相當(dāng)于求函數(shù)本身的一階微分。（3）.與單位階躍函數(shù)的卷積函數(shù)與單位階躍函數(shù)的卷積相當(dāng)于求函數(shù)本身的積分。（4）.推廣到一般情況K表示求導(dǎo)或重積分的次數(shù)，當(dāng)k取正整數(shù)時(shí)表示導(dǎo)數(shù)階次，k取負(fù)整數(shù)時(shí)表示重積分的次數(shù)。例

已知求解：圖解過程如下

3.卷積的微分與積分

（1）.卷積的微分

兩個(gè)函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)，等于先對(duì)其中一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)后再與另一個(gè)函數(shù)求卷積。（2）.卷積的積分兩個(gè)函數(shù)卷積后的積分，等于先對(duì)其中一個(gè)函數(shù)積分以后再與另一個(gè)函數(shù)求卷積。卷積的微分與積分特性可以推廣用于卷積的高階微分或多重積分的運(yùn)算，運(yùn)算規(guī)則為

則

其中，當(dāng)n、k、(n-k)取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次，取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。

（3）.推論設(shè)例

計(jì)算下列卷積積分解：例

計(jì)算卷積積分解：2.4.4求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分法在信號(hào)分析與系統(tǒng)分析時(shí)，常常需要將信號(hào)分解為基本信號(hào)的形式。單位沖激信號(hào)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)中最基本的信號(hào)之一，當(dāng)系統(tǒng)輸入單位沖激信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)定義為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。如果任意的連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以分解為許多沖激信號(hào)的疊加，將這些沖激信號(hào)輸入到線性時(shí)不變系統(tǒng)，那么它們各自在系統(tǒng)的輸出端產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)相疊加就是系統(tǒng)在輸入任意信號(hào)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)。一個(gè)信號(hào)可以近似分解為許多矩形脈沖分量之和，所取脈沖寬度越窄，近似程度越高，誤差越小，極限情況是信號(hào)可以用許多沖激信號(hào)的疊加來精確表示。τt將函數(shù)分解為許多等寬的矩形窄脈沖，設(shè)在τ時(shí)刻被分解的矩形脈沖高度為，寬度為，則此窄脈沖的表達(dá)式為取的極限，則約等號(hào)變等號(hào)

將從-∞到+∞所有的矩形脈沖疊加，得的近似表達(dá)式為

與沖激信號(hào)的抽樣特性完全一致。若將積分式中的變量t和τ互換來表示，并且利用沖激函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)，則

LTI(a)

(b)

(c)(d)

即系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：2.4.5MATLAB實(shí)現(xiàn)MATLAB中求解兩個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的卷積可以用conv()函數(shù)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式為:y=conv(f1,f2)例

已知兩個(gè)信號(hào)求解：MATLAB程序如下：t1=0:0.01:3;f1=ones(size(t1)).*(t1>0&t1<3);t2=0:0.01:6;f2=exp(-1*t2).*(t2>0);y=conv(f1,f2);t3=0:0.01:9;subplot(3,1,1),plot(t1,f1);subplot(3,1,2),plot(t2,f2);subplot(3,1,3),plot(t3,y);卷積結(jié)果如圖所示。解：MATLAB程序如下：例已知某LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的激勵(lì)為，單位沖激響應(yīng)為，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。t1=0.5:0.01:2.5;f=ones(size(t1)).*(t1>1&t1<2);t2=1.5:0