2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)日壇中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市朝陽區(qū)日壇中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=x|1≤x≤4,B=x|x>2A.(2,4) B.(2,4] C.[1,+∞) D.(2,+∞)2.復(fù)數(shù)1?2+i+11?2iA.15i B.15 C.?3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減的是(

)A.y=?lnx B.y=x3 C.4.函數(shù)y=3sin2x+π4A.2π B.π C.π2 D.5.在?ABC中，若b=3，c=6，C=π4，則角BA.π6 B.π3 C.2π3 D.6.聲音的等級fx(單位：dB)與聲音強(qiáng)度x(單位：W/m2)滿足fx=10×lgA.106倍 B.108倍 C.1010倍 7.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若x1，x2∈R，則“x1+xA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知公差不為0的等差數(shù)列an，前n項(xiàng)和為Sn，滿足S3?S1=10，且a1，A.2 B.6 C.5或6 D.129.已知函數(shù)fx=x2+5x,x≥0,?exA.?∞,0 B.?∞,5 C.0,5 D.0,510.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx，對x0∈R，若存在δ>0，對任意的x∈x0?δ,x0∪x0,“特異點(diǎn)”個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3+a4+12.已知a,b,c分別為?ABC內(nèi)角A,B,C的對邊，c2=2ab且sinA=12sinC13.已知平面內(nèi)四個不同的點(diǎn)A，B，C，D滿足BA=2DB?2DC，則ACBC14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長的160作為單位來度量弦長.將圓心角α所對的弦長記為crdα.如圖，在圓O中，60°的圓心角所對的弦長恰好等于圓O的半徑，因此60°的圓心角所對的弦長為60個單位，即crd60°=60.若θ為圓心角，cosθ=1415.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=AD=2，O為線段AC，BD交點(diǎn)，T為線段BP上的動點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是

．①當(dāng)PT=BT時，PD//平面ACT；②當(dāng)PT=2BT時，PO⊥平面ACT；③線段OT的最小值為6④直線AP，CT所成角取值范圍為π4,三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=3cosωx，g(x)=sin(Ⅰ)若f(α)=62，α∈[?π,π](Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)+g(x)的單調(diào)增區(qū)間．17.(本小題12分)在①BD=CD且AD=2，②AD平分∠BAC且AD=32，是否存在?ABC，其中角A?,?B?,?C的對邊分別是a?,?b?,?c，若A=π3，a=3，點(diǎn)D在線段注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．18.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD/?/BC，CD⊥AP，?PCD為等腰直角三角形，PD=CD=2，平面PBC交平面PAD于直線l，E，F(xiàn)分別為棱PD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：BC/?/l；(2)設(shè)PA=AD=2BC=2，則：①求平面AEF與平面PAD夾角的余弦值；②在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得DG//平面AEF？若存在，求PGPC的值，若不存在，說明理由．19.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a<1時，試確定函數(shù)g(x)=f(x?a)?x220.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)存在極大值M和極小值N，且M+N>a?1，求a的取值范圍．21.(本小題12分)定義：如果數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數(shù)列，對于“三角形”數(shù)列{an}，如果函數(shù)y=f(x)(1)已知{an}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若f(x)=kx(2)已知數(shù)列cn的首項(xiàng)為2010，Sn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，且滿足4(3)根據(jù)“保三角形函數(shù)的定義，對函數(shù)?(x)=?x2+2x,x∈[1,A]，和數(shù)列1，1+d,1+2d,(d>0)參考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.D

6.B

7.A

8.B

9.D

10.A

11.98

12.7813.3

14.3015.①③④

16.(Ⅰ)解：因?yàn)間(x)=sin(ωx?π3)(ω>0)的最小正周期為π由f(α)=62，得3cos2α=62所以α∈?(Ⅱ)解：函數(shù)y=f(x)+g(x)==12sin2x+所以函數(shù)y=f(x)+g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ?5π

17.解：因?yàn)锳=π3，由余弦定理可得a2選①時，因?yàn)锽D=CD，所以AD=平方可得2=14(所以c2+b2=所以?ABC的周長為42選②時，因?yàn)锳D平分∠BAC，所以SΔABC即12bcsin又因?yàn)閏2+b所以(b+c)2?所以?ABC的周長為3選③時，因?yàn)锳D⊥BC，所以12bcsinπ3因?yàn)閏2所以不存在?ABC．

18.(1)因?yàn)锳D//BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC//平面PAD，又BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，所以BC//l．(2)①取AD的中點(diǎn)O，連接OP,OB，由題意可得：BC//OD，且BC=OD，則四邊形OBCD為平行四邊形，可得OB//CD，由?PCD為等腰直角三角形，PD=CD可知CD⊥PD，又CD⊥AP，AP∩PD=P，AP,PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，則OB⊥平面PAD，由OP,AD?平面PAD，則OP⊥OB，AD⊥OP，又因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，則O為AB的中點(diǎn)，可得OP⊥AD，OB∩AD=O，OB,AD?平面ABCD，則OP⊥平面ABCD，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0可得AE=設(shè)平面AEF的法向量n=x,y,z令x=2，則y=?1,z=23，即由題意可知：平面PAD的法向量m=可得cosn所以平面AEF與平面PAD夾角的余弦值17

②由①可得：PC=設(shè)PG=λPC，Ga,b,c可得a=?λb=2λc?即G?λ,2λ,3若DG//平面AEF，則n⊥可得n?DG=2所以存在點(diǎn)G，使得DG//平面AEF，此時PGPC

19.(1)因?yàn)閒(x)=(x+a)ex，x∈R，所以令f′(x)=0，得x=?a?1．當(dāng)x變化時，f(x)和f′(x)的變化情況如下：x(?∞,?a?1)?a?1(?a?1,+∞)f′(x)?0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,?a?1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(?a?1,+∞)．(2)結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個零點(diǎn)．理由如下：由g(x)=f(x?a)?x2=0顯然x=0為此方程的一個實(shí)數(shù)解，所以x=0是函數(shù)g(x)的一個零點(diǎn)．當(dāng)x≠0時，方程可化簡為ex?a設(shè)函數(shù)F(x)=ex?a?x，則F′(x)=ex?a當(dāng)x變化時，F(xiàn)(x)和F′x(?∞,a)a(a,+∞)F?0+F(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增即F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,a)．所以F(x)的最小值F(x)min=F(a)=1?a.所以F(x)所以對于任意x∈R，F(xiàn)(x)>0，因此方程ex?a所以當(dāng)x≠0時，函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn)．綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個零點(diǎn)．

20.(1)因?yàn)閒x=a+1又f′當(dāng)a=0時，f′故當(dāng)x>1時，f′(x)>0，fx當(dāng)a≠0時，令f′(x)=0，解得x=1或則當(dāng)a=1時，f′(x)=?x?12當(dāng)a<0時，則當(dāng)x∈0,1，f′(x)<0，fx單調(diào)遞減；當(dāng)x>當(dāng)a>1時，則當(dāng)x∈0,1a,1,+∞，f′(x)<0，f當(dāng)0<a<1時，則當(dāng)x∈0,1,1a,+∞，f綜上所述，當(dāng)a≤0時，fx在0,1單調(diào)遞減，在1,+∞當(dāng)0<a<1時，fx當(dāng)a=1時，fx在0,+∞當(dāng)a>1時，fx在0,1a(2)因?yàn)閒(x)存在極大值M和極小值N，顯然a∈0,1或1,+∞由(1)可知，M+N=f1因?yàn)镸+N>a?1，即a+1ln當(dāng)a∈0,1，a+1ln1a>0當(dāng)a>1時，a+1ln1a<0，綜上所述：a的取值范圍時0,1．

21.(1)顯然an即{an}因?yàn)閗>1，函數(shù)f(x)=kx,(k>1)由fan+fan+1>fa所以當(dāng)k∈1,1+52(2)當(dāng)n≥2時，由4Sn+1?3兩式相減，得4cn+1?3又c1=2010也滿足上式，所