寒假作業(yè)02有理數(shù)的運(yùn)算-2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：30min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)02有理數(shù)的運(yùn)算一、有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法法則（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；（4）一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)．2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律（1）加法交換律：a+b=b+a；（2）加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；法則三：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；法則四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.2.倒數(shù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a·=1（a≠0），就是說a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)．3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律（1）乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等．即ab=ba；（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等．即(ab)c=a(bc)；（3）乘法分配律：一般地，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．即a(b+c)=ab+ac．4.有理數(shù)的除法法則（1）除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；（2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0．5.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算（1）乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果；（2）有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行．三、有理數(shù)的乘方1.乘方的概念求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．2.乘方的性質(zhì)（1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)；（2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0．3.有理數(shù)的混合運(yùn)算做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；（3）如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行．4.科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式（其中，n是正整數(shù)），這種記數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法．1．被譽(yù)為“中國天眼”的世界上最大的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡FAST的反射面總面積約為，將250000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】250000用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選A．2．把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)，沿?cái)?shù)軸先向左（負(fù)方向）移動(dòng)6個(gè)單位長度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，用算式表示上述過程與結(jié)果，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，列出算式為．故選D．3．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】A．，故A正確；B．，故B錯(cuò)誤；C．，故C錯(cuò)誤；D．，故D錯(cuò)誤．故選A．4．下列變形中正確使用加法交換律的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，利用的加括號(hào)法則，故選項(xiàng)A不符合題意；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；，利用的是加法的交換律，故選項(xiàng)C符合題意；，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意．故選C．5．已知三數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由數(shù)軸可知：，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選D．6．下列各組運(yùn)算，結(jié)果符號(hào)為負(fù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】，是負(fù)數(shù)；，既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；，是負(fù)數(shù)；，是正數(shù)；所以，結(jié)果為負(fù)數(shù)的有2個(gè)，故選B．7．“點(diǎn)”的游戲規(guī)則是：用“，，，”四種運(yùn)算符號(hào)把給出的四個(gè)數(shù)字連接起來進(jìn)行計(jì)算，要求最終算出的結(jié)果是．例如：給出，，，這四個(gè)數(shù)，可以列式．以，，，這四個(gè)數(shù)用“，，，”四種運(yùn)算符號(hào)列出算式為__________．（列出一種情況即可）【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，，故答案為：（答案不唯一）．8．計(jì)算：．【解析】原式．9．足球比賽中，根據(jù)場上攻守形勢，守門員會(huì)在門前來回跑動(dòng)，如果以球門線為基準(zhǔn)，向前跑記作正數(shù)，返回則記作負(fù)數(shù)，一段時(shí)間內(nèi)，某守門員的跑動(dòng)情況記錄如下（單位：）：，，，，，，，．（假定開始計(jì)時(shí)時(shí)，守門員正好在球門線上）(1)守門員最后是否回到球門線上？(2)如果守門員離開球門線的距離超過（不包括），則對(duì)方球員挑射極可能造成破門．問：在這一時(shí)間段內(nèi)，對(duì)方球員有幾次挑射破門的機(jī)會(huì)？簡述理由．【解析】（1）解：，答：守門員最后正好回到球門線上；（2）解：第一次；第二次；第三次；第四次；第五次；第六次；第七次；第八次．答：對(duì)方球員有四次挑射破門的機(jī)會(huì)．10．在學(xué)校組織的一分鐘單人跳繩比賽中，成績記錄規(guī)則如下：以一分鐘150次為標(biāo)準(zhǔn)，超過150次的記作正數(shù)，不足150次的記作負(fù)數(shù)．七（1）班8名同學(xué)的跳繩成績?nèi)缦拢?，，，?，，，．(1)跳的最多的同學(xué)比最少的同學(xué)一分鐘多跳__________次；(2)一分鐘超過180次的同學(xué)被評(píng)為“超級(jí)繩王”，則這8名同學(xué)中有__________人被評(píng)為“超級(jí)繩王”；(3)求這8名同學(xué)平均一分鐘跳多少次？【解析】（1）跳的最多的同學(xué)比最少的同學(xué)一分鐘多跳（次），故答案為85；（2），，，，，，所以被評(píng)為“超級(jí)繩王”的有2人，故答案為：2；（3）這8名同學(xué)平均一分鐘跳（次）．答：這8名同學(xué)平均一分鐘跳154次．11．如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a，b，下列各式：①；②；③．其中正確式子的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【解析】①，，則，故該項(xiàng)不正確；②，，則，故該項(xiàng)正確；③，，則，，即，故該項(xiàng)正確；則只有②③正確．故選B．12．如圖所示是計(jì)算機(jī)某計(jì)算程序，若開始輸入，則最后輸出的結(jié)果是__________．【答案】//【解析】輸入，，此時(shí)輸入，，此時(shí)輸入，，輸出，故答案為：．13．已知m，n互為相反數(shù)，a，b互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于3，求的值．【解析】因?yàn)閙，n互為相反數(shù)，a，b互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于3，所以，，，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．綜上所述：的值為或．14．計(jì)算下列各式．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．15．利用運(yùn)算律有時(shí)能進(jìn)行簡便計(jì)算例1

例2

請你參考黑板中老師的講解，用運(yùn)算律簡便計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）．；（2）；（3）．16．嘉淇在電腦上設(shè)計(jì)了一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算程序：輸入a，加*鍵，再輸入b，得到運(yùn)算：．(1)求的值；(2)小華在運(yùn)用此程序輸入有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，屏幕顯示“該程序無法操作”，你猜小華在輸入數(shù)據(jù)時(shí)，出現(xiàn)了什么情況？為什么？【解析】（1）；（2）小華輸入的數(shù)據(jù)可能是，從而產(chǎn)生除數(shù)為0的情況．因?yàn)?不能作除數(shù)，所以顯示“該程序無法操作”．17．如圖是一個(gè)數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)，A，B，C，D分別代表一種運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果隨著運(yùn)算順序的變化而變化．（每次游戲都涉及A，B，C，D四種運(yùn)算各一次）（1）4經(jīng)過的順序運(yùn)算后，結(jié)果是__________；（2）經(jīng)過→D的順序運(yùn)算后，結(jié)果是，則被遮擋部分的運(yùn)算順序應(yīng)是__________．【解析】（1），，，；故答案為：23；（2）因?yàn)榻?jīng)過→D的順序運(yùn)算后，結(jié)果是，所以經(jīng)過的順序運(yùn)算后，結(jié)果為；因?yàn)?，所以被遮擋部分的運(yùn)算順序應(yīng)是；故答案為：．18．對(duì)于四個(gè)數(shù)“，，1，4”，列算式解決下列問題：(1)求這四個(gè)數(shù)的和；(2)在這四個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)，并分別滿足下列要求；①這兩個(gè)數(shù)相減的結(jié)果最小；②這兩個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果最大．【解析】（1）根據(jù)題意得：；（2）①根據(jù)最小有理數(shù)減去最大有理數(shù)，結(jié)果最小得：，此時(shí)結(jié)果最?。赃x，4；②因?yàn)?，，，，，，又因?yàn)椋赃x，兩個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果最大．19．【思考】定義一種新運(yùn)算“※”，觀察下面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?【歸納】（1）兩數(shù)進(jìn)行“※”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把__________．任何數(shù)同0進(jìn)行“※”運(yùn)算，都得__________．【運(yùn)用】（2）計(jì)算：；（3）化簡：．（提示：對(duì)于運(yùn)算“※”，如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算）【解析】（1）兩數(shù)進(jìn)行“※”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加，任何數(shù)同0進(jìn)行“※”運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；故答案為：絕對(duì)值相加；這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；（2）=；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．20．某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)自行車100輛，由于各種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃每天生產(chǎn)量相比有出入．下表是某周的自行車生產(chǎn)情況（超過計(jì)劃生產(chǎn)量為正，不足計(jì)劃生產(chǎn)量為負(fù)，單位：輛）：星期一二三四五六日增減(1)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)__________輛；(2)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)自行車__________輛；(3)若該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一輛自行車可得60元，一天中生產(chǎn)超過計(jì)劃生產(chǎn)量的，每超一輛獎(jiǎng)15元；一天中生產(chǎn)不足計(jì)劃生產(chǎn)量的，每少一輛扣20元，求該廠工人這一周的工資總額是多少．【解析】（1）產(chǎn)量最多的一天為（輛），產(chǎn)量最少的一天為（輛），所以產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)（輛）．故答案為：27．（2）（輛）．故答案為：303．（3）（輛），（元）．答:該廠工人這一周的工資總額是42550元．21．（2023上·河北廊坊·七年級(jí)廊坊市第七中學(xué)?？计谥校?duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N，若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和m整除，則稱N是m的“和倍數(shù)”．對(duì)下列三個(gè)人的說法判斷正確的是（）小嘉說：247是13的“和倍數(shù)”；小淇說：441是9的“和倍數(shù)”；小華說：214、357均不是“和倍數(shù)”．A．三人說法都對(duì) B．只有一人說法不對(duì) C．小華說的不對(duì) D．只有一人說法對(duì)【答案】A【解析】解∶因?yàn)椋?47是13的“和倍數(shù)”，故小嘉的說法正確；因?yàn)椋?41是9的“和倍數(shù)”，故小淇的說法正確；因?yàn)?，所?14不是“和倍數(shù)”，因?yàn)?，所?57不是“和倍數(shù)”，故小華的說法正確；故選A．22．（2023上·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題．【提出問題】已知有理數(shù)，，滿足，求＋＋的值．【解決問題】解：由題意，得，，三個(gè)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)，，都為正數(shù)，即時(shí)，＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3；②當(dāng)，，中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則＋＋＝＋＋．綜上所述，＋＋的值為3或．【探究拓展】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)已知，是不為0的有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，＋＝__________；(2)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，求＋＋的值；(3)已知，，是有理數(shù)，，，求＋＋的值．【解析】（1）因?yàn)?，且是不?的有理數(shù)，所以，即異號(hào)，不妨設(shè),原式,故答案為：0；（2）因?yàn)椋沂怯欣頂?shù)，所以三個(gè)有理數(shù)均為負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)．①當(dāng)三個(gè)有理數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)，即，所以原式＝；②當(dāng)中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，所以原式＝．綜上，的值為1或；（3）因?yàn)椋沂怯欣頂?shù)，所以中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以原式＝，所以＋＋的值?．23．（2023上·吉林長春·七年級(jí)?？计谥校╅喿x下面內(nèi)容，解決問題：【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把記作，讀作“2的3次商”，記作，讀作“的4次商”．一般地，我們把n個(gè)有理數(shù)相除記作，讀作“a的n次商”．【初步探究】(1)直接寫出結(jié)果：__________，__________；(2)關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．任何非零有理數(shù)的2次商都等于1B．負(fù)數(shù)的奇數(shù)次商結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次商結(jié)果是正數(shù)C．除零外兩個(gè)相反數(shù)的偶數(shù)次商都相等，奇數(shù)次商還是互為相反數(shù)D．（a是有理數(shù)，，n是正整數(shù)）【深入思考】除法運(yùn)算能夠轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算，如：.(3)將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成乘方（冪）的形式：__________，__________．(4)想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的n次商寫成冪的形式等于__________（n是整數(shù)且）．(5)算一算：．【解析】（1）解：，，故答案為：，4；（2）A．任何非零有理數(shù)的2次商都等于1，該說法正確，不符合題意；B．負(fù)數(shù)的奇數(shù)次商結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次商結(jié)果是正數(shù)，該說法正確，不符合題意；C．除零外的互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的偶數(shù)次商都相等，奇數(shù)次商互為相反數(shù)，該說法正確，不符合題意；D．（a是有理數(shù)，，n是正整數(shù)），該說法錯(cuò)誤，例如：，符合題意．故選D；（3）；；故答案為：，；（4）由（3）得到規(guī)律：，所以，將一個(gè)非零有理數(shù)的次商寫成乘方（冪）的形式等于，故答案為：；（5）．24．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）國家互聯(lián)網(wǎng)信息辦公室2023年5月23日發(fā)布的《數(shù)字中國發(fā)展報(bào)告（2022年）》顯示，2022年我國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模達(dá)502000億元．用科學(xué)記數(shù)法表示502000，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用科學(xué)記數(shù)法表示502000為．故選C．25．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）下面算法正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選C．26．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，比數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)大3的數(shù)是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由數(shù)軸可知點(diǎn)A表示的數(shù)是，所以比大3的數(shù)是；故選D．27．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題