云南省云大附中星耀校區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

云南省云大附中星耀校區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點B是A（3，4，5）在坐標平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A. B.C.5 D.52．某班進行了一次數(shù)學(xué)測試，全班學(xué)生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)的估計值為，則的值為（）A. B.C. D.3．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.44．在四面體中，點G是的重心，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.5．記不超過x的最大整數(shù)為，如，.已知數(shù)列的通項公式，則使的正整數(shù)n的最大值為（）A.5 B.6C.15 D.166．袋子中有四個小球，分別寫有“文、明、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用0，1，2，3代表“文、明、中、國”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（）A. B.C. D.7．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形8．已知等差數(shù)列的公差，若，，則該數(shù)列的前項和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.459．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數(shù)為（）A.45 B.55C.90 D.11010．已知，則點關(guān)于平面的對稱點的坐標是（）A. B.C. D.11．已知經(jīng)過兩點（5，m）和（m，8）的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.5 B.8C. D.712．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列中，.若為等差數(shù)列，則______.14．已知函數(shù)，，對一切，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.15．與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點的雙曲線方程是______16．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為___________尺.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：的焦點到頂點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過點的直線交拋物線于不同的兩點，，為坐標原點，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.18．（12分）已知數(shù)列的首項為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求，并證明：.19．（12分）已知，，分別是銳角內(nèi)角，，對邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.20．（12分）已知的展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大.（1）求該展開式中有理項的項數(shù)；（2）求該展開式中系數(shù)最大的項.21．（12分）設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點.過作的平行線交于點P.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點，C在線段上運動，原點O關(guān)于C的對稱點為Q，求四邊形面積的取值范圍；22．（10分）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點的橫坐標為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點，求四邊形面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||【詳解】解：∵點B是點A（3，4，5）在坐標平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5故選：C2、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.3、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B4、B【解析】結(jié)合重心的知識以及空間向量運算求得正確答案.【詳解】設(shè)是中點，.故選：B5、C【解析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，可求出的值，即可得到答案；【詳解】，，，，，，當時，，使的正整數(shù)n的最大值為，故選：C6、A【解析】利用古典概型的概率公式求解.【詳解】因為隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：，其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3個，所以由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為，故選：A7、B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B8、D【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差以及首項，再由等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】等差數(shù)列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當或10時，最大，，故選：D9、B【解析】根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并將規(guī)律表達出來，第層有個球.【詳解】根據(jù)規(guī)律，可以得知：第一層有個球；第二層有個球；第三層有個球，則根據(jù)規(guī)律可知：第層有個球設(shè)第層的小球個數(shù)為，則有：故第十層球的個數(shù)為：故選：10、C【解析】根據(jù)對稱性求得坐標即可.【詳解】點關(guān)于平面的對稱點的坐標是，故選：C11、C【解析】根據(jù)斜率的公式直接求解即可.【詳解】由題可知,,解得.故選：C【點睛】本題主要考查了兩點間斜率的計算公式,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】先通過誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，進而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差中項求解即可【詳解】由為等差數(shù)列，則，解得故答案為：14、【解析】通過分離參數(shù)，得到關(guān)于x的不等式；再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進而求得a的取值范圍【詳解】因為，代入解析式可得分離參數(shù)a可得令（）則，令解得所以當0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減當1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）在x=1時取得極小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因為對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范圍為【點睛】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題15、【解析】設(shè)雙曲線的方程為，將點代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.16、【解析】利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.【詳解】解：由題意得從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，解得故立夏的日影子長為尺.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)有焦點到頂點的距離為，從而即可求解；（2）當直線的斜率不存在時，不符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達定理及兩點間的斜率公式即可求解.【小問1詳解】解：依題意，，解得，∴拋物線的方程為；【小問2詳解】解：當直線的斜率不存在時，直線與拋物線僅有一個交點，不符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，，，由消去可得，∵直線交拋物線于不同的兩點，∴，由韋達定理得，∴.18、（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯位相減法求得和，再由的單調(diào)性可證得不等式成立【小問1詳解】由得又，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）的結(jié)論有①②①②得：又為遞增數(shù)列，19、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根據(jù)題意得到，再由關(guān)于角的余弦定理和整理化簡得，再由的面積，即可求出的值.【小問1詳解】由及正弦定理可得.小問2詳解】由銳角中得，根據(jù)余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.20、（1）；（2）和【解析】（1）先求出，再寫出二項式展開式的通項，令即可求解；（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，即可解得的值，進而可得展開式中系數(shù)最大的項.【詳解】（1）由題意可得：，得，的展開式通項為，，要求展開式中有理項，只需令，所以所以有理項有5項，（2）設(shè)第項系數(shù)最大，則，即，即，解得：，因為，所以或所以，所以展開式中系數(shù)最大的項為和.【點睛】解二項式的題關(guān)鍵是求二項式展開式的通項，求有理項需要讓的指數(shù)位置是整數(shù)，求展開式中系數(shù)最大的項需要滿足第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù)，第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù)，屬于中檔題21、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設(shè)四邊形的面積為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理代入，整理后再利用函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】（1）圓的圓心為，因為，所以，因為，所以，又，且，，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)四邊形面積為，則，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，>0恒成立.設(shè)，則，=，令，則，在上單調(diào)遞增，，即四邊形面積的取值范圍.22、（1）（2）2