湖南省長沙市長沙縣九中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

湖南省長沙市長沙縣九中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，，公差為d，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.當(dāng)時，取得最大值C. D.使得成立的最大自然數(shù)n是152．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣23．已知函數(shù)在處取得極值，則（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A. B.C. D.5．直線l經(jīng)過兩條直線和的交點，且平行于直線，則直線l的方程為（）A. B.C. D.6．已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B.C. D.7．等差數(shù)列的首項為正數(shù)，其前n項和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數(shù)列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數(shù)列中的最小項是第9項8．一輛汽車做直線運動，位移與時間的關(guān)系為，若汽車在時的瞬時速度為12，則（）A. B.C.2 D.39．已知平面的一個法向量為，則x軸與平面所成角的大小為（）A. B.C. D.10．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.11．已知a，b為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)的值是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將車行的30輛大巴車編號為01，02，…，30，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為3的樣本，且在某組隨機(jī)抽得的一個號碼為08，則剩下的兩個號碼依次是__________（按號碼從小到大排列）14．某高中高二年級學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)學(xué)選擇性必修一后進(jìn)行了一次測試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣方法從學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的兩組學(xué)生成績樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個進(jìn)調(diào)查，求調(diào)查對象來自不同分組的概率.15．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是________16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB是圓O：x2＋y2＝1的直徑，且點A在第一象限；圓O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)與圓O外離，線段AO1與圓O1交于點M，線段BM與圓O交于點N，且，則a的取值范圍為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）求出方程的解的個數(shù)18．（12分）已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設(shè)平面與平面的交線為.（1）證明：；（2）已知，為直線上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.20．（12分）已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點、，點M滿足，記點M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過圓圓心D且與圓交于A，B兩點，點P為C上一個動點，求的最小值22．（10分）四棱錐，底面為矩形，面，且，點在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)，求和公式及單調(diào)性分別判斷.【詳解】因為，，所以，則，故A正確;當(dāng)時,取得最大值，故B正確;，故C正確;因為，，，所以使得成立的最大自然數(shù)是，故D錯誤.故選：D2、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得.故選：A.3、B【解析】根據(jù)極值點處導(dǎo)函數(shù)為零可求解.【詳解】因為，則，由題意可知.經(jīng)檢驗滿足題意故選：B4、C【解析】當(dāng)時，，函數(shù)有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C考點：1、函數(shù)的零點；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性5、B【解析】聯(lián)立已知兩條直線方程求出交點，再根據(jù)兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.【詳解】由得兩直線交點為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.6、D【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.7、B【解析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對于選項A，∵有最大值，∴等差數(shù)列一定有負(fù)數(shù)項，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項A正確；對于選項B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項B錯誤；對于選項C，∵，，∴，，故中最大，故選項C正確；對于選項D，∵，，∴，，故數(shù)列中的最小項是第9項，故選項D正確.故選：B.8、D【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因為，所以又汽車在時的瞬時速度為12，即即，解得故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】依題意可得軸的方向向量可以為，再利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解；【詳解】解：依題意軸的方向向量可以為，設(shè)x軸與平面所成角為，則，因為，所以，故選：C10、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設(shè)法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.11、A【解析】構(gòu)造新函數(shù)，以函數(shù)單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).由可得故選：A12、C【解析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，所以，即，所以故選C.考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18，28【解析】根據(jù)等距抽樣的性質(zhì)確定剩下的兩個號碼即可.【詳解】由于從30輛大巴車中抽取3輛車，故分組間距為10，又第一組的號碼為08，所以其它兩個號碼依次是18，28故答案為：18，28.14、（1）眾數(shù)；平均數(shù)，中位數(shù).（2）.【解析】（1）按“眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對應(yīng)區(qū)間的中點75；平均數(shù)；因為，所以中位數(shù)在區(qū)間上，且中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結(jié)果，記事件A=“調(diào)查對象來自不同分組”，結(jié)果有所以.15、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關(guān)系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，16、【解析】根據(jù)判斷出四邊形為平行四邊形，由此求得圓的方程以及的長，進(jìn)而判斷出點在圓上，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，求得的取值范圍.【詳解】四邊形ONO1M為平行四邊形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圓的方程為，且ON為△ABM的中位線AM＝2ON＝2AO1＝3，故點A在以O(shè)1為圓心，3為半徑的圓上，該圓的方程為：，故與x2＋y2＝1在第一象限有交點，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范圍為(，4).故答案為：【點睛】本小題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(x)的最大值為7，最小值為－33；（2）見解析.【解析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，列表求其單調(diào)性即可；(2)求出函數(shù)f(x)的極值即可.【小問1詳解】023+-+f(－2)＝－33↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗f(3)＝7∴f(x)的最大值為7，最小值為－33；【小問2詳解】02+-+↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗當(dāng)a＜－1或a＞7時，方程有一個根；當(dāng)a＝－1或7時，方程有兩個根；當(dāng)－1＜a＜7時，方程有三個根.18、【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)兩點在圓上利用兩點的距離公式建立關(guān)于的方程，解出值．從而求出圓的圓心和半徑，可得圓的方程【詳解】解：∵圓心在直線，∴設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)點和在圓上，可得解之得.∴圓心坐標(biāo)為，半徑.因此，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由可證得平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面角的向量求法可表示出，分別在、和三種情況下，結(jié)合基本不等式求得所求最大值.【小問1詳解】四邊形為正方形，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由（1）知：，則可設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，；當(dāng)時，；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；當(dāng)時，；綜上所述：直線與平面所成角正弦值的最大值為.20、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設(shè)直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示弦長，將面積轉(zhuǎn)化為函數(shù)后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，，則由根與系數(shù)關(guān)系有，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．21、（1）（2）23【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運算計算，再由二次函數(shù)