河南天一大聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

河南天一大聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（）A10100 B.-10100C.5052 D.-50522．方程所表示的曲線(xiàn)為（）A.射線(xiàn) B.直線(xiàn)C.射線(xiàn)或直線(xiàn) D.無(wú)法確定3．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.4．下列直線(xiàn)中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.5．如圖，在四面體中，，，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.6．如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱上有、兩點(diǎn)，、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都與垂直.已知，，則（）A. B.C. D.7．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，在拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則的中點(diǎn)到軸的距離為（）A. B.C. D.8．已知拋物線(xiàn)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.9．一個(gè)動(dòng)圓與定圓相外切，且與直線(xiàn)相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)稱(chēng)為歐拉線(xiàn)．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線(xiàn)的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．若，則（）A.1 B.2C.4 D.812．在等差數(shù)列中，已知，，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立時(shí)n的最小值為（）A.6 B.7C.9 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________.14．橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為M、N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4，則的周長(zhǎng)是_____15．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，公比，則的前2021項(xiàng)和______16．生活中有這樣的經(jīng)驗(yàn)：三腳架在不平的地面上也可以穩(wěn)固地支撐一部照相機(jī).這個(gè)經(jīng)驗(yàn)用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)公理可以表述為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式;（2）若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍18．（12分）已知點(diǎn)，圓（1）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與圓相交于A，兩點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為，求的值19．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD為BC邊上的中線(xiàn)，AE為∠BAC的角平分線(xiàn)（1）求及線(xiàn)段BC的長(zhǎng)；（2）求△ADE的面積21．（12分）已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值時(shí)兩圓外切？（2）m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？（3）當(dāng)m=45時(shí)，求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦的長(zhǎng)22．（10分）已知雙曲線(xiàn)與有相同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)已知條件，用并項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.【詳解】∵∴∴.故選：D.2、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線(xiàn).【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線(xiàn)為射線(xiàn)或直線(xiàn).故選：C.3、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問(wèn)題得解.【詳解】根據(jù)題意，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為，如下所示：因?yàn)?，?/，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線(xiàn)方程為：.故選：.4、A【解析】先由直線(xiàn)方程找到直線(xiàn)的斜率，再推導(dǎo)出直線(xiàn)的傾斜角即可.【詳解】選項(xiàng)A：直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項(xiàng)B：直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)傾斜角為鈍角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)傾斜角為0，不是銳角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：直線(xiàn)沒(méi)有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯(cuò)誤.故選：A5、D【解析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解【詳解】由已知，故選：D6、C【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計(jì)算出、的長(zhǎng)，證明出，利用勾股定理可求得的長(zhǎng).【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因?yàn)?，，則，又因?yàn)?，，，故二面角的平面角為，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t，，因?yàn)?，故為等邊三角形，則，，則，，，故平面，因?yàn)槠矫?，則，故.故選：C.7、A【解析】設(shè)點(diǎn)，利用拋物線(xiàn)的定義求出的值，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，易知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)的定義可得，得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)到軸的距離為.故選：A.8、B【解析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)弦的問(wèn)題得，進(jìn)而再求解準(zhǔn)線(xiàn)方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因?yàn)橹本€(xiàn)AB的斜率為1，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以?huà)佄锞€(xiàn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：B9、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)之間距離的關(guān)系化簡(jiǎn)即可.【詳解】定圓的圓心，半徑為2，設(shè)動(dòng)圓圓心P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），動(dòng)圓的半徑為r，d為動(dòng)圓圓心到直線(xiàn)的距離，即r，則根據(jù)兩圓相外切及直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)可得，所以，化簡(jiǎn)得：∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為故選：D10、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線(xiàn)方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線(xiàn)方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時(shí)，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.11、D【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.12、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差中項(xiàng)結(jié)合前項(xiàng)和公式求得，,從而得出結(jié)論.【詳解】，，，，，，,使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立時(shí)n的最小值為10，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，表示出，消去y，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，則.所以當(dāng)x=1時(shí)，最小.故答案為：.14、【解析】先證明則四邊形OMPN是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義求出a，再求出c，最后求出答案.【詳解】因?yàn)镸,O,N分別為的中點(diǎn)，所以，則四邊形OMPN是平行四邊形，所以，由四邊形OMPN的周長(zhǎng)為4可知，，即，則，于是的周長(zhǎng)是.故答案為：.15、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿(mǎn)足，，公比，所以，故答案為：16、不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面【解析】根據(jù)題意結(jié)合平面公理2即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知，三腳架與地面接觸的三個(gè)點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上，則為數(shù)學(xué)中的平面公理2：不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.故答案為：不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)移項(xiàng),兩邊平方即可獲解;(2)利用絕對(duì)值不等式即可.【小問(wèn)1詳解】即即,即即即或所以不等式的解集為【小問(wèn)2詳解】由題知對(duì)恒成立因?yàn)?所以,解得即或,所以實(shí)數(shù)的取值范為18、（1）或；（2）【解析】（1）分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況分析，當(dāng)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)存在斜率時(shí)，設(shè)方程為，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求得k，即可得出答案；（2）求出圓心到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，方程為，由圓心到直線(xiàn)的距離知，直線(xiàn)與圓相切，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)存在斜率時(shí)，設(shè)方程為，即由題意知，解得，直線(xiàn)的方程為故過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程為或（2）圓心到直線(xiàn)的距離為，，解得19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用分組求和法，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題知：所以又因?yàn)樗运詳?shù)列為以－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，所以，，記，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；記兩式相減得：，所以，所以，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.20、（1），BC＝6（2）【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化簡(jiǎn)已知條件，求得，結(jié)合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面積，結(jié)合角平分線(xiàn)、中線(xiàn)的性質(zhì)求得三角形的面積.小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（負(fù)值舍去），即BC＝6.【小問(wèn)2詳解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD為BC邊的中線(xiàn)，∴，∴.21、（1）（2）（3）直線(xiàn)方程為4x+3y-23=0，弦長(zhǎng)為【解析】（1）先把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，再根據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值；（2）由兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差為，求得m的值．（3）當(dāng)m=45時(shí)，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線(xiàn)方程．求出第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線(xiàn)的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)試題解析：（1）由已知可得兩個(gè)圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d==5，兩圓的半徑之和為+，由兩圓的半徑之和為+=5，可得m=（2）由兩圓的圓心距d=="5"等于兩圓的半徑之差為|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）當(dāng)m=45時(shí)，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線(xiàn)方程為4x+3y-23=0第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線(xiàn)的距離為d==2，可得弦長(zhǎng)為考點(diǎn)：1．兩圓相切的位置關(guān)系；2．兩圓相交的公共弦問(wèn)題22、（1）（2）【