2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例了解一元二次不等式.2.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系.3.駕馭一元二次不等式的解法.規(guī)范數(shù)形結(jié)合精確分類探討提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第54頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一一元二次不等式的概念預(yù)習(xí)教材P75－81，思索并完成以下問(wèn)題從未知數(shù)的個(gè)數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看，不等式x2－2x－3＞0，x2＋5x≤0，－3x2－6x＋1＜0，4x2－1≥0等有什么共同特點(diǎn)？提示：它們只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.學(xué)問(wèn)梳理一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)解集：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的全部解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二一元二次不等式的解法思索并完成以下問(wèn)題1．方程x2－2x－3＝0的根是什么？提示：由x2－2x－3＝0，得(x－3)(x＋1)＝0，所以x＝3或x＝－1，所以方程x2－2x－3＝0的根為3或－1.2．畫(huà)出函數(shù)y＝x2－2x－3的圖像，并指出函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．提示：函數(shù)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4的圖像如圖所示，由圖可知函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)和(3，0)．3．視察圖像，試寫(xiě)出不等式x2－2x－3＞0和x2－2x－3＜0的解集．提示：通過(guò)圖像可知，x2－2x－3＞0的解集為{x|x＞3或x＜－1}；x2－2x－3＜0的解集為{x|－1＜x＜3}．學(xué)問(wèn)梳理二次函數(shù)的圖像、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之間的關(guān)系Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解x1，x2(x1＜x2)x0＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}{x|x≠x0}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0的解集){x|x1＜x＜x2}??思索：1．若不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是(－4，3)，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？提示：(－4，0)和(3，0)．2．若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是(－∞，－4)∪(3，＋∞)，則由此能確定a的正負(fù)嗎？提示：能，a＞0.3．不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集能只有一個(gè)實(shí)數(shù)嗎？提示：不能．[自我檢測(cè)]1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1＞0；②x2－y＞0；③－x2－3x＜0；④eq\f(x,x2－3)＞0.其中是一元二次不等式的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中當(dāng)a＝0時(shí)，它不是一元二次不等式；②中有兩個(gè)未知數(shù)，它不是一元二次不等式；③是一元二次不等式；④是分式不等式．故選A.答案：A2．不等式2x2－x＋1＜0的解集為()A．? B．RC.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜1)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,4)))))解析：因?yàn)棣ぃ?－8＝－7＜0，且對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的開(kāi)口向上，所以不等式的解集為?.故選A.答案：A3．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________．解析：因?yàn)椋?x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，即(2x－1)(3x＋2)≥0，故x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第55頁(yè)探究一解不含參數(shù)的一元二次不等式[閱讀教材P76－77例1，2，3，4，5及解答]題型：解不含參數(shù)的一元二次不等式方法步驟：①確定對(duì)應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的解；②畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像簡(jiǎn)圖；③由圖像得出不等式的解集．[例1]解下列不等式(1)2x2－3x－2＞0.(2)－3x2＋6x＞2.(3)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0.[解題指南]eq\x(二次項(xiàng)系數(shù)化正)→eq\x(看判別式的符號(hào))→eq\x(求根)→eq\x(寫(xiě)解集)[解析](1)因?yàn)棣ぃ?5＞0，且方程2x2－3x－2＝0的兩根分別為x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，又a＝2＞0，所以函數(shù)y＝2x2－3x－2的圖像開(kāi)口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖)．視察圖像得不等式2x2－3x－2＞0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,2)或x＞2)).(2)不等式化為3x2－6x＋2＜0，因?yàn)棣ぃ?，方程3x2－6x＋2＝0的兩根是x1＝1－eq\f(\r(3),3)，x2＝1＋eq\f(\r(3),3)，又a＝3＞0，所以函數(shù)y＝3x2－6x＋2的圖像開(kāi)口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖)．視察圖像得不等式3x2－6x＋2＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1－\f(\r(3),3)＜x＜1＋\f(\r(3),3)))，即為原不等式的解集．(3)因?yàn)棣ぃ?82－4×(－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(81,4)))＝0.所以方程－4x2＋18x－eq\f(81,4)＝0，兩相等實(shí)根是x1＝x2＝eq\f(9,4)，又a＝－4＜0，所以函數(shù)y＝－4x2＋18x－eq\f(81,4)的圖像開(kāi)口向下，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(如圖)．視察圖像得不等式－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(9,4))).方法技巧解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：(1)化標(biāo)準(zhǔn)．通過(guò)對(duì)不等式的變形，使不等式的右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．(2)判別式．對(duì)不等式的左側(cè)進(jìn)行因式分解，若不能分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．(3)求實(shí)根．求出相應(yīng)的一元二次方程的根或依據(jù)判別式說(shuō)明方程無(wú)實(shí)根．(4)畫(huà)草圖．依據(jù)一元二次方程根的狀況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．(5)寫(xiě)解集．依據(jù)圖像寫(xiě)出不等式的解集．跟蹤探究1.解下列不等式：(1)4x2－20x＜－25；(2)(x－3)(x－7)＜0；(3)－3x2＋5x－4＜0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.解析：(1)不等式可化為4x2－20x＋25＜0，由于Δ＝0，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上的拋物線，所以不等式的解集是?.(2)由題意知不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根是3和7，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上的拋物線，故不等式的解集是{x|3＜x＜7}．(3)不等式－3x2＋5x－4＜0可化為3x2－5x＋4＞0，由于判別式Δ＝25－48＝－23＜0，函數(shù)y＝3x2－5x＋4的圖像開(kāi)口向上，所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化為3x2－4x＋1≤0.因?yàn)榉匠?x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根是eq\f(1,3)，1，函數(shù)y＝3x2－4x＋1的圖像開(kāi)口向上，所以不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤1)))).探究二解含參數(shù)的一元二次不等式[閱讀教材P87例7、8及解答]題型：解含參數(shù)的一元二次不等式．方法步驟：①確定對(duì)應(yīng)方程的解．②探討方程解的大?。劢Y(jié)合圖像寫(xiě)出解集．[例2]解關(guān)于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a[解題指南]將原不等式左端因式分解求出相應(yīng)的一元二次方程的兩根，然后對(duì)a進(jìn)行分類探討確定兩根的大小進(jìn)而求出原不等式的解集．[解析]不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化為(ax－1)(x－2)＜0，由于a＞0，故不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0.①若0＜a＜eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＞2，此時(shí)不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).②若a＝eq\f(1,2)，則不等式為(x－2)2＜0，此時(shí)不等式的解集為?.③若a＞eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＜2，此時(shí)不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).綜上可知：當(dāng)0＜a＜eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解集為?.當(dāng)a＞eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).延長(zhǎng)探究1.若將不等式“ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a＞0)”改為“ax2－(2a＋1)x＋2＞0(a＜0)”，又如何求解？解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＞0可化為(ax－1)(x－2)＞0，由于a＜0，故不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0，則不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0對(duì)應(yīng)的方程的兩個(gè)根分別為x1＝eq\f(1,a)，x2＝2，由于a＜0，故2＞eq\f(1,a)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).2．若將本題中的條件“(a＞0)”去掉，又如何求解關(guān)于x的不等式ax2－(2a＋1)x解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化為(ax－1)(x－2)＜0.(1)當(dāng)a＞0時(shí)，不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0.①若0＜a＜eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＞2，此時(shí)不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).②若a＝eq\f(1,2)，則不等式為(x－2)2＜0，此時(shí)不等式的解集為?.③若a＞eq\f(1,2)，則eq\f(1,a)＜2，此時(shí)不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).(2)當(dāng)a＝0時(shí)，不等式化為－x＋2＜0，此時(shí)不等式的解集為{x|x＞2}．(3)當(dāng)a＜0時(shí)，不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＞0，由于eq\f(1,a)＜2，故不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞2)))).綜上所述：當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)))或x＞2)).當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞2}．當(dāng)0＜a＜eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解集為?.當(dāng)a＞eq\f(1,2)時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).方法技巧解含參數(shù)的一元二次不等式的方法在解答含有參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類探討，為了做到分類“不重不漏”，一般從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮：(1)關(guān)于不等式類型的探討：二次項(xiàng)的系數(shù)a＞0，a＝0，a＜0；(2)關(guān)于不等式所對(duì)應(yīng)的方程的根的探討：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無(wú)根(Δ＜0)；(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程的大小的探討：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.跟蹤探究2.解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.解析：①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式即為－x＋1＜0，解得x＞1.②當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，解得x＜eq\f(1,a)或x＞1.③當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.若a＝1，即eq\f(1,a)＝1時(shí)，不等式無(wú)解；若a＞1，即eq\f(1,a)＜1時(shí)，解得eq\f(1,a)＜x＜1；若0＜a＜1，即eq\f(1,a)＞1時(shí)，解得1＜x＜eq\f(1,a).綜上可知，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞1))))；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞1}；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a))))).當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?.當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).探究三一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系[例3]已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．[解題指南]先推斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，再依據(jù)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系得到字母之間的關(guān)系，即可求解不等式的解集．[解析]法一：由已知不等式的解集為(α，β)可得a＜0，∵α，β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－（α＋β）＜0①,\f(c,a)＝αβ＞0②)).∵a＜0，∴由②得c＜0，則cx2＋bx＋a＜0可化為x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)＞0，①÷②得eq\f(b,c)＝eq\f(－（α＋β）,αβ)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)＋\f(1,β)))＜0，由②得eq\f(a,c)＝eq\f(1,αβ)＝eq\f(1,α)·eq\f(1,β)＞0，∴eq\f(1,α)、eq\f(1,β)為方程x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)＝0的兩根．∵0＜α＜β，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,β)或x＞\f(1,α))))).法二：由已知不等式解集為(α，β)，得a＜0，且α，β是ax2＋bx＋c＝0的兩根，∴α＋β＝－eq\f(b,a)，αβ＝eq\f(c,a)，∴cx2＋bx＋a＜0eq\f(c,a)x2＋eq\f(b,a)x＋1＞0(αβ)x2－(α＋β)x＋1＞0(αx－1)(βx－1)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,β)))＞0.∵0＜α＜β，∴eq\f(1,α)＞eq\f(1,β)，∴x＜eq\f(1,β)或x＞eq\f(1,α)，∴cx2＋bx＋a＜0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,β)或x＞\f(1,α))))).方法技巧已知不等式的解集求參數(shù)的解題思路已知不等式的解集求參數(shù)的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是考查三個(gè)“二次”間的關(guān)系．其解題的一般思路為：(1)依據(jù)所給解集確定相應(yīng)方程的根和二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；(2)由根與系數(shù)的關(guān)系，或?qū)⒏纱鄮敕匠?，求出參?shù)的值或參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求解．跟蹤探究3.已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(1，2)，求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．解析：∵關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(1，2)，∴1，2是關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2.))將其代入所求不等式bx2＋ax＋1＞0，得2x2－3x＋1＞0.由2x2－3x＋1＞0，得(2x－1)(x－1)