2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.2.1實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義學(xué)案含解析北師大版選修1-1

PAGE§2導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用2．1實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第1頁(yè)實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義自變量x原函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)f′(x)時(shí)間路程速度長(zhǎng)度質(zhì)量線密度時(shí)間功功率時(shí)間降雨量降雨強(qiáng)度產(chǎn)量生產(chǎn)成本邊際成本[疑難提示]利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)留意的問(wèn)題(1)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，肯定要從問(wèn)題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去．(2)在實(shí)際問(wèn)題中，由f′(x)＝0經(jīng)常僅解到一個(gè)根，若能推斷函數(shù)的最大(小)值在x的變更區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值．[練一練]1．若一物體運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t之間的關(guān)系為s＝s(t)，當(dāng)s′(t)＝0時(shí)，則()A．物體做勻加速運(yùn)動(dòng) B．物體做勻減速運(yùn)動(dòng)C．物體做變速運(yùn)動(dòng) D．物體處于靜止?fàn)顟B(tài)解析：∵v＝s′(t)＝0，∴物體處于靜止?fàn)顟B(tài)．故選D.答案：D2．某收音機(jī)制造廠管理者通過(guò)對(duì)上午班工人工作效率的探討表明：一個(gè)中等技術(shù)水平的工人，從8：00起先工作，t小時(shí)后可裝配晶體管收音機(jī)的臺(tái)數(shù)為Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，則Q′(2)＝________，它的實(shí)際意義為_(kāi)_______________．解析：∵Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，∴Q′(2)＝36.答案：36臺(tái)/小時(shí)10：00時(shí)，工人裝配晶體管收音機(jī)的速度為36臺(tái)/小時(shí)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第4頁(yè)探究一導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用[典例1]一個(gè)電路中，流過(guò)的電荷量Q(單位：C)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)為Q(t)＝3t2－lnt.(1)求當(dāng)t從1變到2時(shí)，電荷量Q關(guān)于t的平均變更率，并說(shuō)明它的實(shí)際意義；(2)求Q′(2)，并說(shuō)明它的實(shí)際意義．[解析](1)當(dāng)t從1變到2時(shí)，電荷量從Q(1)變到Q(2)，此時(shí)電荷量關(guān)于時(shí)間t的平均變更率為eq\f(Q2－Q1,2－1)＝eq\f(3×22－ln2－3×12－ln1,1)≈8.31，它表示從t＝1s到t＝2s這段時(shí)間內(nèi)，平均每秒經(jīng)過(guò)該電路的電量為8.31C，也就是這段時(shí)間內(nèi)電路的平均電流為8.31A.(2)Q′(t)＝6t－eq\f(1,t)，Q′(2)＝11.5，它的實(shí)際意義是，在t＝2s這一時(shí)刻，每秒經(jīng)過(guò)該電路的電量為11.5C，也就是這一時(shí)刻內(nèi)電路的電流為11.5A.弄清平均變更率及導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，記準(zhǔn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵．1．某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(單位：m)，t是時(shí)間(單位：s)．(1)求t從1s變到3s時(shí)，位移s關(guān)于時(shí)間t的平均變更率，并說(shuō)明它的實(shí)際意義；(2)求s′(1)，s′(2)，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義．解析：(1)t從1s變到3s時(shí)，s關(guān)于t的平均變更率為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(27－5,3－1)＝11(m/s)．它表示從t＝1s到t＝3s這段時(shí)間內(nèi)，該質(zhì)點(diǎn)平均每秒的位移是11m.(2)依據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得s′(t)＝4t＋3，則s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s′(1)和s′(2)分別表示t＝1s和t＝2s時(shí)，位移s關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變更率，即t＝1s和t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度．探究二工作效率問(wèn)題[典例2]一名工人上班后起先連續(xù)工作，生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量y(單位：g)是工作時(shí)間x(單位：h)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)表示為y＝f(x)＝eq\f(x2,20)＋4eq\r(x).(1)求x從1h變到4h時(shí)，y關(guān)于時(shí)間x的平均變更率，并說(shuō)明它的實(shí)際意義；(2)求f′(1)，f′(4)，說(shuō)明它的意義．[解析](1)當(dāng)x從1h變到4h時(shí)，產(chǎn)量y從f(1)＝eq\f(81,20)g變到f(4)＝eq\f(176,20)g，此時(shí)平均變更率為eq\f(f4－f1,4－1)＝eq\f(\f(176,20)－\f(81,20),3)＝eq\f(19,12)(g/h)，它表示從x＝1h到x＝4h這段時(shí)間這個(gè)人平均每小時(shí)生產(chǎn)eq\f(19,12)g產(chǎn)品．(2)f′(x)＝eq\f(x,10)＋eq\f(2,\r(x))，于是f′(1)＝eq\f(21,10)g/h，f′(4)＝eq\f(7,5)g/h，f′(1)和f′(4)分別表示在第1h和第4h時(shí)刻這個(gè)人每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品eq\f(21,10)g和eq\f(7,5)g.1．工作效率即產(chǎn)量對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)．解決該類問(wèn)題時(shí)要正確表示出工作時(shí)間與產(chǎn)品數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用相應(yīng)的求導(dǎo)公式及法則解決．2．由平均變更率和瞬時(shí)變更率的計(jì)算公式可知它們有時(shí)為負(fù)值或零，這時(shí)表示函數(shù)值減小或不變，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義時(shí)要留意用詞的不同．2．某考生在參與2015年高考數(shù)學(xué)考試時(shí)，其解答完的題目數(shù)量y(單位：道)與所用時(shí)間x(單位：分鐘)近似地滿意函數(shù)關(guān)系y＝2eq\r(x).(1)求x從0分鐘變更到36分鐘時(shí)，y關(guān)于x的平均變更率；(2)求f′(64)，f′(100)，并說(shuō)明它的實(shí)際意義．解析：(1)x從0分鐘變更到36分鐘，y關(guān)于x的平均變更率為：eq\f(f36－f0,36－0)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答完eq\f(1,3)道題．(2)∵f′(x)＝eq\f(1,\r(x))，∴f′(64)＝eq\f(1,8)，f′(100)＝eq\f(1,10).它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時(shí)每分鐘可解答eq\f(1,8)和eq\f(1,10)道題．3．東方機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)械，已知生產(chǎn)總利潤(rùn)c元與生產(chǎn)量x臺(tái)之間的關(guān)系式為c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求產(chǎn)量為1000臺(tái)的總利潤(rùn)與平均利潤(rùn)；(2)求產(chǎn)量由1000臺(tái)提高到1500臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)的平均變更量；(3)求c′(1000)與c′(1500)，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義．解析：(1)產(chǎn)量為1000臺(tái)時(shí)的總利潤(rùn)為c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，平均利潤(rùn)為eq\f(c1000,1000)＝5000.6(元)．(2)當(dāng)產(chǎn)量由1000臺(tái)提高到1500臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)的平均變更量為eq\f(c1500－c1000,1500－1000)＝eq\f(6000600－5000600,500)＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)，c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)，它指的是當(dāng)產(chǎn)量為1000臺(tái)時(shí)，每多生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利3000元．而當(dāng)產(chǎn)量為1500臺(tái)時(shí)，每多生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利1000元．探究三導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用[典例3]某機(jī)械廠，生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)實(shí)力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)為C(x)＝eq\f(1,4)x2＋60x＋2050.(1)求日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本；(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí)，求總成本的平均變更量；(3)求C′(75)，并說(shuō)明它的意義．[解析](1)日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本為C(75)＝7956.25(元)，平均成本為C(75)/75≈106.08(元/件)．(2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí)，總成本的平均變更量eq\f(ΔC,Δx)＝eq\f(C90－C75,90－75)＝101.25(元/件)．(3)C′(x)＝eq\f(1,2)x＋60，∴當(dāng)x＝75時(shí)，C′(75)＝97.5(元)．實(shí)際意義為：當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)，再多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，成本增加97.5元，也就是日產(chǎn)量為75件時(shí)，成本增加的速度為97.5元/件．4．某食品廠生產(chǎn)某種食品的總成本C(單位：元)和總收入R(單位：元)都是日產(chǎn)量x(單位：kg)的函數(shù)，分別為C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，試求邊際利潤(rùn)函數(shù)以及當(dāng)日產(chǎn)量分別為200kg,250kg,300kg時(shí)的邊際利潤(rùn)，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義．解析：(1)依據(jù)定義知，總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，所以邊際利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)′(x)＝5－0.02x.(2)當(dāng)日產(chǎn)量分別為200kg,250kg,300kg時(shí)，邊際利潤(rùn)分別為L(zhǎng)′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1.其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)日產(chǎn)量為200kg時(shí)，每增加1kg，則總利潤(rùn)可增加1元；當(dāng)日產(chǎn)量為250kg時(shí)，每增加1kg，則總利潤(rùn)無(wú)變更；當(dāng)日產(chǎn)量為300kg時(shí)，每增加1kg，則總利潤(rùn)削減1元．由此可得：當(dāng)企業(yè)的某一產(chǎn)品的生產(chǎn)量超過(guò)了邊際利潤(rùn)的零點(diǎn)時(shí)，反而會(huì)使企業(yè)“無(wú)利可圖”．5．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)＝eq\f(5284,100－x)(80<x<100)．(1)求c′(x)；(2)求c′(90)，c′(98)，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義．解析：(1)c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5284,100－x)))′＝eq\f(5284′×100－x－5284×100－x′,100－x2)＝eq\f(0×100－x－5284×－1,100－x2)＝eq\f(5284,100－x2).(2)c′(90)＝eq\f(5284,100－902)＝52.84(元/噸)，c′(98)＝eq\f(5284,100－982)＝1321(元/噸)．因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)是凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變更率，所以純凈度為90%時(shí)，純凈度每提高1個(gè)百分點(diǎn)，每噸水的費(fèi)用就要增加52.84元．純凈度為98%時(shí)，純凈度每提高1個(gè)百分點(diǎn)，每噸水的費(fèi)用就要提高1321元．因物理意義理解不清致誤[典例]在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，ts時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(單位：m)，求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度，并說(shuō)明此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀況．[解析]h′(t