122向量的線性相關性

第二節(jié)向量的線性相關性基本概念:

定義設是m個n元向量，k1,k2,…,km是任意m個數(shù)，稱下列向量是向量組的一個線性組合。此時，也稱向量

可由向量組

線性表出。例一個向量

的線性組合為______。例向量組能否線性表出？

例已知向量問

能否由線性表出？解設則有

由此得（存在使(1)成立它們使(2)成立。即β可由線性表出線性方程組(2)有解）結(jié)論：①線性表出非齊次方程組有解

②表示法唯一解唯一

定義設是m個n元向量。若存在m個不全為零的數(shù)，使經(jīng)驗證，(2)有解，故

可由線性表出。▌則稱向量組線性相關。不線性相關的向量組稱為線性無關。

例設與

是兩個2元實向量，則

線性相關與

共線。

例設

與

是兩個n元向量，則

,

線性相關

與

對應分量成比例。例一個向量

線性相關。例驗證向量組是否線性相關。解設則有（存在不全為零的使(1)成立它們也使(2)成立，即線性相關齊次線性方程組(2)有非零解）因為方程組(2)有非零解，故線性相關。▌線性無關的等價條件：(1)不存在不全為零的數(shù)，使(2)對任意不全為零的數(shù)，均有(3)由必可導出結(jié)論：①線性相關齊次線性方程組有非零解；②線性無關齊次線性方程組沒有非零解。

例指出向量組的線性相關性。解令則有因方程的個數(shù)<未知數(shù)的個數(shù)，故上述齊次線性方程組有非零解。于是，線性相關。▌

例已知向量組線性無關。令問是否線性相關？解令則有因線性無關，故又上述方程組沒有非零解，故。由此得線性無關。

例在一個向量組中，如果有一個部分組（即由其中一個部分向量構成的子向量組）線性相關，則整個向量組也線性相關。例包含零向量的向量組線性相關。▌例

m個n元向量（m>n）線性相關。例已知是三個4維向量，令證明：若線性無關，則也線性無關。證明令，則有（1）（2）

由式(1)得，（3）已知線性無關，故由式(3)得所以，線性無關。

▌問題：

(1)

由線性相關是否可得出也線性相關？

(2)

由的線性相關性能對的線性相關性做出那些判斷？

(3)

上述討論是否可在向量個數(shù)、向量維數(shù)等方面一般化？

定理向量組線性相關的充分必要條件是：其中至少存在一個向量

可由其余向量線性表出。

例設是n個n元向量，稱之為n元基本向量組，則線性無關；對任一n元向量

，均有線性相關，且

可由線性表出。

定理已知向量組線性無關，而向量組線性相關，則

可由線性表出且表示法唯一。證明

因為線性相關，所以存在不全為零的數(shù)，使若，則由可得且不全為零。由此得線性相關，與假設矛盾，故。于是，即

可由線性表出。設

則因線性無關，故即所以，表示法唯一。

例已知向量組線性無關，向量組線性相關。問能否由線性表出？

證明（法一）因為向量組線性無關，故其部分組也線性無關。又向量組線性相關，所以可由線性表出。

▌

（法二）因為向量組線性相關，故存在不全為零的三個數(shù)，使（1）若，則不全為零，并且由此得線性相關。這與已知條件“線性無關”相矛盾。所以，。于是由（1）式得即可由線性表出。

定義設與是兩組n元向量，若每個均可由線性表出，則稱向量組可由向量組

線性表出。▌若向量組與向量組可相可相互線性表出，則稱向量組與向量組

等價，記為例討論下列向量之間的關系：(1)與例一個向量組可線性表出它的任一個部分組。性質(zhì)向量組的等價具有(1)自反性：{}{}；{}{}；(2)與(2)對稱性：若{}{}，則若存在另一組n元向量，使(3)傳遞性：若

{}{}{}{}{}{}，則且定理設是一組n元向量。（1）可由線性表出；則向量組線性