2022-2024北京高一（上）期末匯編：函數(shù)的應(yīng)用（一）

第1頁/共1頁2022-2024北京高一（上）期末匯編函數(shù)的應(yīng)用（一）一、單選題1．（2024北京東城高一上期末）把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正方形，那么這兩個正方形面積之和的最小值是（）A． B． C． D．2．（2024北京東城高一上期末）某品牌可降解塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量y與時間t（單位：年）之間的關(guān)系為．其中為初始量，k為降解系數(shù)．已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的．若該品牌塑料袋需要經(jīng)過n年，使其殘留量為初始量的，則n的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．20 B．16 C．12 D．73．（2022北京平谷高一上期末）某人圍一個面積為32的矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建（其平面示意圖如下），墻高3，新墻的造價為1000元/，則當(dāng)x?。?/p>

）時，總造價最低？（假設(shè)舊墻足夠長）A．9 B．8 C．16 D．64二、填空題4．（2024北京平谷高一上期末）在早高峰，某路口通過的車輛與時間的關(guān)系近似地符合，在早高峰這段時間內(nèi)．給出下列四個結(jié)論：①通過該路口的車輛數(shù)隨著時間逐漸增多；②早上6時和早上7時通過該路口的車輛數(shù)相等；③在任意時刻，通過路口的車輛不會超過35輛；④在任意時刻，通過路口的車輛不會低于14輛．依據(jù)上述關(guān)系式，其中所有正確結(jié)論的序號是．5．（2023北京海淀高一上期末）請閱讀以下材料，并回答后面的問題：材料1：人體成分主要由骨骼?肌肉?脂肪等組織及內(nèi)臟組成，肌肉是最大的組織，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在體重中占比個體差異較大，脂肪占體重的百分比（稱為體脂率，記為）經(jīng)常作為反映肥胖程度的一個重要指標，但是不易于測量.材料2：體重指數(shù)BMI（BodyMassIndex的縮寫）計算公式為：體重指數(shù)BMI為體重，單位：千克；為身高，單位：米），是衡量人體整體胖瘦程度的一個簡單易得的重要指標.1997年，世界衛(wèi)生組織經(jīng)過大范圍的調(diào)查研究后公布：BMI值在為正常；為超重；為肥胖.由于亞洲人與歐美人的體質(zhì)有較大差異，國際肥胖特別工作組經(jīng)調(diào)查研究后，于2000年提出了亞洲成年人BMI值在為正常.中國肥胖問題工作組基于中國人體質(zhì)特征，于2003年提出中國成年人BMI值在為正常；為超重；為肥胖.30歲的小智在今年的體檢報告中，發(fā)現(xiàn)體質(zhì)指數(shù)BMI值為，依照標準屬于超重.因為小智平時還是很注意體育鍛煉的，正常作息，且每周去健身房有大約2小時的健身運動，周末還經(jīng)常會和朋友去打籃球，所以小智對自己超重感覺很困惑.請你結(jié)合上述材料，從數(shù)學(xué)模型的視角，幫小智做一下分析（包括：是否需要擔(dān)心？為什么？）：.三、解答題6．（2024北京昌平高一上期末）某旅行社不定期組成旅游團去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅游團人數(shù)在30或30以下（不低于20），則收取費用180元/人；若旅游團人數(shù)大于30，則給予如下優(yōu)惠：每多1人，費用每人減少3元，直到達到滿額50人為止（大客車限乘51人，含司機）．旅行社每次需支出成本費用3000元.(1)若旅游團人數(shù)為40，求每人應(yīng)交的費用；(2)設(shè)旅游團人數(shù)為x時每人應(yīng)交的費用為y元，求出y與x之間的關(guān)系式；(3)求旅游團人數(shù)x為多少時，旅行社可獲得的利潤L最大.7．（2024北京東城高一上期末）某地要建設(shè)一座購物中心，為了減少能源損耗，計劃對其外墻建造可使用30年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層的建造成本為9萬元．該建筑物每年的能源消耗費用P（單位：萬元）與隔熱層厚度工（單位：cm）滿足關(guān)系：（）．若不建隔熱層，每年能源消耗費用為6萬元．設(shè)S為隔熱層建造費用與30年的能源消耗費用之和．(1)求出S關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若使隔熱層建造費用與30年的能源消耗費用之和S控制在90萬元以內(nèi)，隔熱層的厚度不能超過多少厘米？隔熱層的厚度為整數(shù)）8．（2024北京豐臺高一上期末）2023年9月23日第十九屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會吉祥物是“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物掛件，通過對銷售情況統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：在某個月內(nèi)（按30天計），每套吉祥物掛件的日銷售價格（單位：元）與第x天的函數(shù)關(guān)系滿足（k為常數(shù)，且），日銷售量（單位：套）與第x天的部分數(shù)據(jù)如下表所示：x15202530650645650655設(shè)該月吉祥物掛件的日銷售收入為（單位：元），已知第15天的日銷售價格為32元.(1)求k的值；(2)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若用函數(shù)模型來描述該月日銷售量與第x天的變化關(guān)系，求函數(shù)的解析式；(3)利用（2）中的結(jié)論，求的最小值.9．（2023北京西城高一上期末）設(shè)函數(shù)的定義域為D，對于區(qū)間，若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱I為的一個“區(qū)間”．性質(zhì)1：對任意，有；性質(zhì)2：對任意，有．(1)分別判斷區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“區(qū)間”（直接寫出結(jié)論）；①；

②；(2)若是函數(shù)的“區(qū)間”，求m的取值范圍；(3)已知定義在上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)滿足：對任意，且，有．求證：存在“區(qū)間”，且存在，使得不屬于的所有“區(qū)間”．10．（2022北京石景山高一上期末）計劃建造一個室內(nèi)面積為1500平方米的矩形溫室大棚，并在溫室大棚內(nèi)建兩個大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚前、后、左、右內(nèi)墻各保留米寬的通道，兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道．設(shè)溫室的一邊長度為米，兩個養(yǎng)殖池的總面積為平方米，如圖所示：(1)將表示為的函數(shù)，并寫出定義域；(2)當(dāng)取何值時，取最大值？最大值是多少?11．（2022北京西城高一上期末）某漁業(yè)公司年初用98萬元購進一艘漁船，用于捕撈．已知該船使用中所需的各種費用e（單位：萬元）與使用時間n（，單位：年）之間的函數(shù)關(guān)系式為，該船每年捕撈的總收入為50萬元．(1)該漁船捕撈幾年開始盈利（即總收入減去成本及所有使用費用為正值）？(2)若當(dāng)年平均盈利額達到最大值時，漁船以30萬元賣出，則該船為漁業(yè)公司帶來的收益是多少萬元？

參考答案1．D【分析】設(shè)鐵絲的一段長度為，則另一段鐵絲長為，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)鐵絲的一段長度為，（其中），則另一段鐵絲長為，兩個正方形的面積之和為，根據(jù)題意，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故選：D.2．B【分析】由可得，再代入，求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，則，，則經(jīng)過n年時，有，即，則，所以，則.故選：B.3．B【分析】由題設(shè)總造價為，應(yīng)用基本不等式求最小值，并求出等號成立時的值即可.【詳解】由題設(shè)，總造價，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時總造價最低.故選：B.4．②③④【分析】因為分母是二次函數(shù)，通過分析二次函數(shù)的單調(diào)性來分析整個函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①②的正確性；通過自變量的范圍分析分母的范圍，從而得出整個函數(shù)的值域，可判斷③④的正確性.【詳解】對于①，因為，令；則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以先增后減，命題①錯誤；對于②，因為是二次函數(shù)，函數(shù)圖象的對稱軸是，所以，所以，命題②正確；對于③，因為的最小值是，所以的最大值是，即在任意時刻，通過路口的車輛不會超過35輛，命題③正確；對于④，因為，，且，所以的最小值為，即在任意時刻，通過路口的車輛不會低于14輛，命題④正確.綜上，所有正確結(jié)論的序號是②③④.故答案為：②③④.【點睛】結(jié)論點睛：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，并且在上函數(shù)值集合包含于區(qū)間，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)；（2）如果與單調(diào)性相同，那么是增函數(shù)，如果與單調(diào)性相反，那么是減函數(shù).5．答案見解析【分析】根據(jù)材料結(jié)合條件分析即得.【詳解】因為小智平時注意鍛煉，肌肉占比相對高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成正比（或者說，體重更大），所以他的BMI值就會偏高，如果小智體型基本正常（或者說身高遠高于中國人平均值），就不必擔(dān)心.故答案為：如果小智體型基本正常（或者說身高遠高于中國人平均值），他的BMI值就會偏高，就不必擔(dān)心，因為小智平時注意鍛煉，肌肉占比相對高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成正比（或者說，體重更大）.6．(1)150元；(2)；(3)45.【分析】（1）根據(jù)題意計算即可；（2）根據(jù)自變量的取值范圍，分或列出函數(shù)解析式即可；（3）利用題中的函數(shù)解析式，結(jié)合自變量的取值范圍和配方法，分段求最值，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）若旅游團人數(shù)為40，每人應(yīng)交的費用為：元；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，即；（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，，即.當(dāng)時，中隨的增大而增大，所以時，，當(dāng)時，，即時，.所以當(dāng)旅游團人數(shù)為時，旅行社可獲得的利潤L最大.7．(1),(2)6【分析】（1）利于給定條件，求出的值，進而可得能源消耗費用與隔熱層建造成本之和.（2）根據(jù)條件建立不等式，解出后進一步分析即可.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時，，所以，所以，，則（萬元），.（2）若，不等式化為，解得又，所以隔熱層的厚度不能超過6厘米.8．(1)(2)，，.(3)20280元【分析】（1）將代入，即可求得答案；（2）結(jié)合表格中數(shù)據(jù)確定m的值，再解方程，即可求得答案；（3）求出的表達式，討論x的取值范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及基本不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，所以，解得.（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)以及，可知a>0，當(dāng)時，取得最小值；根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，由，得，，，所以，其中，.（3）由（1）（2）可知，，，當(dāng)時，，可知在時隨著x的增大而減小，所以當(dāng)時的最小值為；當(dāng)時，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時的最小值為，綜上所述，當(dāng)時，該月日銷售收入的最小值為20280元.9．(1)①是，②不是；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)新定義直接判斷即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)是函數(shù)的“區(qū)間”確定其滿足性質(zhì)1，據(jù)此分類討論求二次函數(shù)值域，檢驗即可得解；（3）由所給函數(shù)性質(zhì)分析出滿足性質(zhì)2，轉(zhuǎn)化為不恒成立，存在“區(qū)間”，再構(gòu)造函數(shù)，證明有唯一零點，且.【詳解】（1）對①，當(dāng)，，滿足性質(zhì)1，是函數(shù)的“區(qū)間”，對②，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故不滿足性質(zhì)1,2，不是函數(shù)的“區(qū)間”.（2）記，，注意到，因此，若為函數(shù)的“區(qū)間”，則其不滿足性質(zhì)②，必滿足性質(zhì)①，即.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，所以不包含于，不合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，所以，不合題意.綜上，.（3）對于任意區(qū)間，記，依題意，在上單調(diào)遞減，則.因為，所以，即S的長度大于的長度，故不滿足性質(zhì)①.因此，如果為的“Q區(qū)間”，只能滿足性質(zhì)②，即，即只需存在使得，或存在使得.因為不恒成立，所以上述條件滿足，所以一定存在“Q區(qū)間".記，先證明函數(shù)有唯一零點；因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.若，則為的唯一零點；若，則，即，由零點存在定理，結(jié)合單調(diào)性，可知存在唯一，使得；若，則，即，由零點存在定理，結(jié)合單調(diào)性，可知存在唯一，使得；綜上，函數(shù)有唯一零點，即，已證的所有“Q區(qū)間”都滿足條件②，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)所給函數(shù)的新定義，理解應(yīng)用新定義，是解決問題的關(guān)鍵，其中注意分類討論思想、特殊化思想的應(yīng)用，屬于難題.10．(1)，定義域為；(2)當(dāng)取30時，取最大值，最大值是1215.【分析】（1）應(yīng)用矩形的面積公式寫出表示為的函數(shù)，并寫出定義域.（2）利用基本不等式求的最大值，并確定對應(yīng)值.【詳解】（1）依題意得：溫室的另一邊長為米，則養(yǎng)殖池的總面積，因為，解得