2020-2021學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末必修5 第3章不等式 綜合檢測題

大教A版必修5第三章不等式

綜合檢滿題

一、單選題

1.已知〃〈人且C￡R,則下列不等式正確的是()

11

A.a2>b2B.ac>bcC.—>—D.c-a>c-bf

ab

2.如果a>0,那么a+'+2的最小值是()

a

A.2B.272C.3D.4

3.不等式2/-x—14()的解集為()

{x|xW_；或￥21}

A.{x|Kx<l}B.

C.{x|-1x—}D.{x\x<-

1

4.已知y=3x9~+—-,則》的取值范圍為()

2x2

A.(-oo,-4][4,+00)B.(-°o,—2][2,C.(0,4-oo)

D.[-76,4-00)

5.已知點A(l,0),若A、3兩點在直線x+2y+3=0的同側(cè)，則加的取

值范圍是()

A.(-1,0)B.(--,+oo)C.(0,+8)D.(l,+oo)

2

6.制作一個面積為2m2,形狀為直角三角形的鐵支架框，有下列四種長度的鐵管供選

擇，較經(jīng)濟(夠用，又耗材最少)的是()

A.6.2mB.6.8m

C.7mD.7.2m

21

7.設(shè)a>0,h>\,若a+h=2,則一+——的最小值為（）

ab-\

A.4MB.6C.3+2拒D.2母

8.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處

理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，代數(shù)的很多公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，

稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形,點尸在半圓。上，點C在直徑AB上，且OFLAB,

設(shè)AC=a,=則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.>\[ab(a>0,ft>0)B.a2>2ab(a>0,b>0)

C.—^—<\lab(a>0,Z?>0)D.a>0,b>0)

a+b2.

9.設(shè)(a,/?)e{(x,y)|x-3y+120,且x+y-3WQx,yeR},則2Z?-a的取值范圍

是()

A.[0,+oo)B.(-oo,0]C.(-oo,3]D.(-oo,+oo)

10.若實數(shù)MN滿足/+；/+盯=i,則x+y的取值范圍是（）

2732g2M2疔

A.B.

2V22V2'2722夜、

C.D.

33)

x+y-2<0

x-y<0，則z=W■的最小值為()

u.若實數(shù)x、y滿足約束條件〈

x—2

x>0

3

A.-2B.--

2

1

C.-1D.--

2

ry.Qf

12.已知4>(),。>0且々2一匕+4<0，則-()

a+b

17

A.有最小值一B.有最大值一C.有最小值二-D.有最大值二

5566

二、填空題

13.已知正數(shù)%,y滿足1+>=盯一3,則x+y的取值范圍為.

14.函數(shù)/(x)=lnx+二一的值域為

Inx

15.已知集合4=｛》|(加—1)》2+(〃2-1)%+2<0,%6尺｝,

8=卜'>】"4’且A8=4則實數(shù)團的取值范圍是一

16.等式(分+3心2一沖40對*6(―00,())恒成立，其中a,bwZ,則a+h=.

三、解答題

17.己知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在區(qū)間［一

1,4］上的最大值是12.

(1)求f(x)的解析式.

(2)求f(x)在區(qū)間［-1,4］的值域.

18.已知不等式“a：-2x-冽+1<0

(1)若對于所有的實數(shù)X不等式恒成立，求物的取值范圍；

(2)設(shè)不等式對于滿足-2式次42的一切加的值都成立，求x的取值范圍.

19.已知函數(shù)丁=G：2-（Q+l）x+l,a￡R.

⑴若y<0的解集為求a的值；

（2）若“>0,求關(guān)于x的不等式y(tǒng)>0的解集.

20.已知尤>0,y>0,2x+8y-jy=0.

（1）求孫的最小值，并求取到最小值時x的值；

（2）求x+y的最小值，并求取到最小值時x的值.

9

21.已知函數(shù)丫=3*-?彳

（1）若y>8,求x的取值范圍；

（2）若3,+加），20對于［2,3］恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

22.某制造商為拓展業(yè)務(wù)，計劃引進一設(shè)備生產(chǎn)一種新型體育器材.通過市場分析，每

月需投入固定成本3000元，生產(chǎn)x臺需另投入成本。（力元，且

10x2+400x,0<x<30

C（x）=41000，若每臺售價800元，且當月生產(chǎn)的體育器材該

804x+--------9000,%>30

.x

月內(nèi)能全部售完.

（1）求制造商由該設(shè)備所獲的月利潤L（x）關(guān)于月產(chǎn)量x臺的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售

額-成本）

（2）當月產(chǎn)量為多少臺時，制造商由該設(shè)備所獲的月利潤最大？并求出最大月利潤.

參考答案

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷選項即可.

【詳解】

解：A選項：若0<a<。，則/〈乂，故A不正確;

B選項：若c<0,則ac<Z?c,故B不正確;

c選項：若則一<一,故c不正確;

ab

D選項：a<b,所以-。>一匕，兩邊同時加上c,有c-a>c—力，故D正確;

故選：D.

2.D

【分析】

利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】

所以。+工+222+2=4,即最小值為4,

a

故選：D

3.A

【分析】

利用一元二次不等式的解法求解即可.

【詳解】

由—x-1K0,

得（2x+l）（x-l）40,

得—<x<1,

2

所以不等式2X2—X_140的解集為

故選：A.

4.D

【分析】

直接利用基本不等式求解即可，解答過程注意等號成立的條件.

【詳解】

V%2>0，

皿+如2值$=6

當且僅當3x2=3,即爐=在時，等號成立，

2x26

丁的取值范圍為［遙,+oo）,

故選：D.

【點睛】

在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊''等技巧，使其滿足基本不等式中“正”

（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）

的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.

5.B

【分析】

將A(1,O)和8(-2,根)代入可得x+2y+3得(1+2x0+3)?(-2+2m+3)>0即可得解.

【詳解】

：A、3兩點在直線x+2y+3=0的同側(cè)，

，把點41,0)、B(—2,加)代入可得x+2)，+3的符號相同，

即(l+2x0+3)?(-2+2m+3)〉0,解得機〉一』，

2

故選:B.

6.C

【分析】

設(shè)兩直角邊為a,b,根據(jù)面積為2m2，得到時=4,然后由/=0+0+，。2+。2,利用基本

不等式求解.

【詳解】

設(shè)兩直角邊為a,b,則a氏4,

則/=4+6+7^7^22瘋+>&=4+2應(yīng)=6.828，

當且僅當。=。=2時，取等號，

故選：C

7.C

【分析】

2i

由已知可得a+（。-1）=1,將代數(shù)式a+0-1）與一+；—相乘，展開后利用基本不等式

ab-\

可求得所求代數(shù)式的最小值.

【詳解】

。＞0,方＞1,??2一1＞0,由。+方=2可得。+（。-1）=1,

所以,

21￡"—1）］=3+哼1aa

—+----但+H---------=3+2夜

ab-\b-\◎2尸

當且僅當a=2僅—1）時，等號成立.

21

因此，一+——的最小值為3+20.

ab-\

故選：C.

【點睛】

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大

值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

8.D

【分析】

設(shè)AC=a,BC=b,可表示出OF,0C的長，根據(jù)勾股定理得出。尸，根據(jù)CF20b可

得結(jié)論.

【詳解】

由圖形可知：。尸=，48=生心，0。=@心,

222

在RtOCF中，由勾股定理可得：

'：CF>OF,

(a,b>0)?

2

故選：D

9.D

【分析】

令z=?—。，畫出（a,b）滿足的可行域，將目標函數(shù)z=?—a轉(zhuǎn)化為b=ga+gz,平

移直線b='a求解.

2

【詳解】

令z=2Z?—a,畫出（47力）6｛（M?。?-3），+120,且》+尸主QwyeH｝可行域如圖所

示陰影部分:

將目標函數(shù)z=?—a轉(zhuǎn)化為：b^-a+-z,平移直線b

222

由圖象可知：z可取任意值，

所以目標函數(shù)的取值范圍是(《，”)

故選：D

10.A

【分析】

由題可得(x+y)2—1=孫4即可求出.

【詳解】

x2+y2+xy=1,

z、2

.?.(工+丁)2-1=封<土土￡,當且僅當x=y等號成立,

\2J

mi(\2/42>/32^3

則(x+y)<-,---------<%<-------.

V333

故選：A.

11.A

【分析】

x+y-2<Q

畫出約束條件x-y?O的可行域，再由z=專為點（x,y）與點網(wǎng)2,—1）確定的直

八X一2

x>0

線的斜率求解.

【詳解】

x+y-2<0

畫出約束條件的可行域如圖所示陰影部分：

x>0

結(jié)合圖像易知，當直線經(jīng)過點A（L1）時，斜率最小,

所以z=&W的最小值為工工=一2,

x-21-2

故選：A

12.A

【分析】

根據(jù)/一力+4<0,變形為儲+4,再利用不等式的基本性質(zhì)得到〃+人之〃2+。+4,

、在七,口云1a、a心匚」2。+3〃「a工」苗甘?丁化#—〃力

進而得到----->一一5-----7,然后由'-------=3-----利用基本不等式求解.

a+ha~+a+4a+ba+b

【詳解】

因為b+4<0，

所以bN°2+4,

所以a+/?2a2+。+4,

所以，一4a

a+bCl~+Q+4

”，，a、a

所以------>——2------

a+ba+〃+4

ac1

-2-a-+-3-h=3_-----23---------=3--------

所以a+ba2+61+4.4

uH-------r1

a

當且僅當a=2,6=8時取等號,

故選：A.

【點睛】

思路點睛：本題思路是利用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為‘土次=3-—一，再由人之后+4,利用

a+ba+b

不等式的性質(zhì)構(gòu)造-——>--J一，再利用基本不等式求解.

a+ba~+a+4

13.[6,+oo)

【分析】

化簡得：x+y+3=盯，利用均值不等式以及換元求出答案.

【詳解】

化簡得：%+)，+3=呼

因為：x>0,y>0,由均值不等式得：為+丁+3=*<]苫I),

令x+y=f,貝b+.化簡得*一射一1220

解得d6或，4一2(舍去)，

所以x+y的取值范圍為[6,+oo).

故答案為：[6,+8).

14.(-co,-2][2,+oo)

【分析】

令f=lnx,則f/0,原函數(shù)等價于y=f+l,用基本不等式的性質(zhì)求值域即可.

t

【詳解】

解：/(x)=lnx+」一，令r=lnx,則twO，原函數(shù)等價于y=r+1，

Inxt

當，>0時，y=t+->2,當且僅當r=l時取等；

t

當/<0時，y=f+；=-1-f-；]w-2,當且僅當1=一1時取等；

綜上所述，〃x)=lnx+」一的值域為：(e,-2][2,y).

Inx

故答案為：(-8,-2][2,+00).

【點睛】

易錯點睛：換元之后考慮，的范圍，f>0和。<0分別求值域，再綜上即可.

15.[1,9)

【分析】

先求得集合8=。，根據(jù)A3=A,得出A=。，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分機=1和m

兩種情況討論，即可求解.

【詳解】

13

因為X~+X+1=(X4--)-H-->0,

24

?r-l

所以不等式干——->1.可化為2x—l>/+x+i，可得%+2<0，

x+x+\

,1。7

又由J-x+2=(x-5)2+1>0,所以集合5=。，

又因為AB=A,所以AqB,所以4=。，

要使得A={%|(加一I)》?+(〃z_l)x+240,xeR}=4,

對于不等式(加一1)￡+(/%-1)%+240,

當加=1時，不等式可化為2?0不成立，此時不等式的解集為。；

〃?一1〉0

當mHI時，要使得A=。，則滿足〈,2/X，解得1<相<9,

A=(/n-l)--4(w-l)x2<0

綜上可得，實數(shù)機的取值范圍是[1,9).

故答案：口,9)

16.10或4

【分析】

對人分類討論，當后0時，由3+3乂/一沖40得到方+3<0,由一次函數(shù)的圖象可

知不存在；當人>0時，由（奴+3乂V—沖<（）,利用數(shù)形結(jié)合的思想得出區(qū)。的整數(shù)解.

【詳解】

當匕W0時,由（辦+3）任—。）〈0得到ar+3<0在XG（F,0）恒成立，

則〃不存在；

當b>0時，由（a+3）卜2

可得/（x）=av+3,g（x）=f-），

又g（x）的大致圖象可知：

所以a+b=10或4.

故答案為：10或4.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查了不等式恒成立求參數(shù)值，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合求出滿足的關(guān)

。＞0

系式自考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想.

4b

a

17.(1)f(x)=2X2-10X；(2)——,12

_2_

【解析】

試題分析：(1)求函數(shù)解析式采用待定系數(shù)法，首先根據(jù)已知條件設(shè)出函數(shù)式f(x)=ax

(x-5),代入己知條件可求得a值，從而確定函數(shù)解析式：(2)由函數(shù)式得到函數(shù)的對稱

軸，從而確定函數(shù)在區(qū)間-1,4］上的單調(diào)性，從而求得最值

試題解析：(1)Vf(x)是二次函數(shù)，且f(x)<0的解集是(0,5),

.?.可設(shè)f(x)=ax(x—5)(a>0)

二f(x)在區(qū)間［-1,4］上的最大值是f(-1)=6a.由已知得6a=12,a=2,

f(x)—2x(x—5)—2x3—lOx(x￡R).

5525

(2)因為y=/(x)對稱軸為x=5在區(qū)間［-1,4］上，/(x)在x=,處取最小值為--—,

/(x)在x=-1時取最大值為12.

???/(x)值域為-y,12.

考點：1.二次函數(shù)解析式；2.函數(shù)單調(diào)性與最值

18.(1)不存在這樣的m使得不等式恒成立⑵｛乂_二￡<“葉產(chǎn)｝

【解析】

2

試題分析：(1)當m=。時，經(jīng)檢驗不滿足條件：解得機H0時，設(shè)f(x)=mx-2x-m+1,

w<0

V

則由題意可得有、“一4以1-物)<°，解得me?綜合可得結(jié)論.

"冢-2)<0

(2)由題意-2?mW2,設(shè)9(幻=(/_1)血+(1-2%%(，則由題意可得、g(2)<°,

由此求得X的取值范圍.

—1+，714-\3

{刈————<%<---}

試題解析：(1)不存在這樣的勿使得不等式恒成立(2)I?22

1

%>一

(1)當巾=。時,1-2%<0,即當2時不等式不恒成立，不滿足條件

(m<0

當mH0時，設(shè)/'(%)=血/_2%_瓶+1,由于/(%)<0恒成立，則有14_4m(l_m)<0

解得mew

綜上所述，不存在這樣的桁使得不等式恒成立.

(5(-2)<0

(2)由題意_2WmS2,設(shè)g(x)=(x-l)m+(l_2x),則有19(2)<0

(—2X2—2X+3<0—i+01+的

即［2/_2x_l<0,解得—2一<%<2

-1+衣1+\/3

fvl-----------<x<---------1

所以x的取值范圍為I122J

考點：一元二次不等式的應(yīng)用

19.(1)2；(2)答案見解析

【分析】

(1)由題可得;和1是以2-(。+1)%+1=0的兩個根，由韋達定理即可求出；

(2)不等式可化為(公―l)(x—1)>0,分0<a<l,a=l,。>1三種情況可得出.

【詳解】

(1)若y<0的解集為則;和1是0?一(。+1卜+1=0的兩個根,

1,a+\

-+1=---

則;"，解得a=2；

-xl=—

、2a

(2)由y>0得ttv?—(Q+1)X+1>0,即(CZX—1)(1—1)>。，

當,〉1,即0<4<1時，不等式的解集為｛了,<1或X>：｝；

當：=1,即4=1時，不等式可化為(X—1)2>0,不等式的解集為｛x|xwl｝；

當0<,<1,即a>l時，不等式的解集為[x<L或X>1｝.

a[a

20.(1)64,x=16；(2)18,x=12.

【分析】

82

(1)利用已知條件得到一+一=1,再利用基本不等式求解即可；(2)利用已知條件得到

%y

8282]

—+1,求x+y=(x+y)一十一，再利用基本不等式求解即可.

xyI九y)

【詳解】

(1)由2x+8y-孫=0,

82

得一+—=1,又無>0,y>0,

/82/828

故1=—+—N2]-x—=—=

x了”y網(wǎng)

故村264,

82,

一+—=1

當且僅當《xy

82

xy

x=16

即《時等號成立'

:.(孫)而n=64此時％=16；

(2)由2x+8y-孫=0,

82

得一+一=1

xy

貝ijx+y=(x+y)—+—=10+—+—>10+2

y)yx

當且僅當〈..。，

2x=

yx

即《x=‘12時等號成立.

y=6

：.(x+X^n=18此時X=12.

【點睛】

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件:

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大

值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

81

21.(1)(2,+oo)；(2)[---,+℃).

80

【分析】

(1)分xNO和x<0兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的解析式，列出不等式，即可求解；

V

(2)令/=3，得到tG[9,27],把3'+my>0對于xe[2,3]恒成立，轉(zhuǎn)化為一9，對

—I

t

于，e[9,27]恒成立，結(jié)合函數(shù)的最值，即可求解.

【詳解】

9

(1)由題意，函數(shù)y=3,一9，

99

當了之()時，y=3v一一，令3"-->8,整理得(3,—9)(3'+1)>0,

33

因為3'>0，可得3、+1>0，所以3、>9，解得x>2：

99

當x<0時，y=3'——令3*--->8,整理得3*<-1，此時無解，

-3r3r

所以不等式的解集為(2,+8),即X的取值范圍(2,+8).

⑵令f=3*因為xe[2,3],可得云[9,27],

9

則不等式