阿氏圓問題的通法

阿氏圓問題的通法初中阿氏圓是個(gè)熟知的問題，這里是對(duì)先前的理解做個(gè)記錄。什么是阿氏圓？一句話概括：如果平面上一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)(A、B)的距離之比PA/PB為定值K(不等于1)，則P點(diǎn)的軌跡是圓。這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓，如圖。阿氏圓阿氏圓問題及解題策略在初中，利用到阿氏圓的幾何問題一般是這樣的：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為圓，B、C為定點(diǎn)，求PC+kPB的最小值，其中系數(shù)k為不等于1的正數(shù)，也就是求帶系數(shù)的線段之和的最小值，例如PC+2PB或PC+0.5PB的最小值。如下圖。阿氏圓問題這種題的解題策略是使用構(gòu)造法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用相似三角形構(gòu)造出一條線段對(duì)象，例如構(gòu)造出線段PA,使得PA=kPB，且A點(diǎn)為定點(diǎn)。則PC+kPB=PC+PA=PA+PC，轉(zhuǎn)化為求PA+PC的最小值。A、C為定點(diǎn)，顯然A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)PA+PC取得最小值。PA=kPB，即PA/PB=k,這就和阿氏圓聯(lián)系起來了，只不過和文章開頭介紹的阿氏圓是反過來的。文章開頭介紹阿氏圓時(shí)，是已知A、B兩個(gè)定點(diǎn)和比值系數(shù)k，得出P點(diǎn)軌跡為圓，而這里是已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡(圓)、定點(diǎn)B、比值k，反過來找定點(diǎn)A。這和逆定理、逆向思維是一個(gè)道理?？梢?，解決阿氏圓問題，找定點(diǎn)是關(guān)鍵，只要找到這個(gè)定點(diǎn)，就很好解決了。舉例由CD=2可知?jiǎng)狱c(diǎn)D的軌跡為圓，圓心為C，半徑為2。阿氏圓問題要有圓，顯然可識(shí)別這道題是阿氏圓問題。B為定點(diǎn)，需要構(gòu)造出線段ED，且滿足：ED=2/3BD,E為定點(diǎn)。如果能構(gòu)造出這樣的ED，則AD+2/3DB=AD+ED。A、E為第定點(diǎn)，D為動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)長度和最小。這也是數(shù)學(xué)思維中合情合理的設(shè)想(猜想、想象、構(gòu)想)，美好的設(shè)想要有，萬一實(shí)現(xiàn)了呢！要構(gòu)造ED，滿足ED=2/3BD,E為定點(diǎn)。具體如何構(gòu)造ED，因?yàn)閗是比例系數(shù)，比例系數(shù)要聯(lián)想到相似比，進(jìn)而很自然地、合情合理地聯(lián)想到利用相似三角形來構(gòu)造。通法是在圓心(C)、動(dòng)點(diǎn)(D)、2/3BD(乘以系數(shù)k的線段)涉及到的定點(diǎn)B所在的三角形CDB處構(gòu)造共角共邊的母子型相似，相似比為k(2/3)。共角為BCD，可見其頂點(diǎn)為圓心，它的一條邊為圓心-動(dòng)點(diǎn)，這條邊也是共邊，另一條邊為圓心-系數(shù)k所在線段的定點(diǎn)(B)，要找的定點(diǎn)就在條邊上，如果系數(shù)k大于1，就是延長線上，這個(gè)要找的定點(diǎn)到圓心的距離為圓心-動(dòng)點(diǎn)線段長度的k倍(CE=kCD)。CD/BC=2/3,在CB上取點(diǎn)E，令EC=2*2/3=4/3。則CD/BC=EC/CD=2/3,共角BCD,故三角形ECD和BCD相似，ED=2/3BD。AD+2/3BD=AD+DE，A、E為定點(diǎn)，故A、D、E點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，且最小值為AE，此時(shí)的D點(diǎn)就是AE和圓相交時(shí)的點(diǎn)。勾股定理求出AE即為最小值。三角形ECD和BCD就是母子型相似(共角共邊)，小三角形在大三角形內(nèi)部，這里的共角就是角BCD，共邊就是CD。C點(diǎn)是圓心，D點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)。母子型相似，共邊其實(shí)是切線，這里的CD就是三角形BED外接圓的切線。母子型相似構(gòu)造母子型相似構(gòu)造模型注意變通有時(shí)，求PC+kPB最小值，如果