云南省宣威市第十中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

云南省宣威市第十中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度的概率（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列滿足，且，則的值為（）A.2 B.1C. D.-13．如圖所示，在平行六面體中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，則向量可表示為（）A. B.C. D.4．“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.6．已知直線平分圓C：，則最小值為（）A.3 B.C. D.7．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點(diǎn)，若C為直線與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.8．若指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相切 B.相交C.相離 D.不確定10．已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A. B.2C.3 D.11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.112．俗話說(shuō)“好貨不便宜，便宜沒好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校周五的課程表設(shè)計(jì)中，要求安排8節(jié)課（上午4節(jié)、下午4節(jié)），分別安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物、政治、歷史各一節(jié)，其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié)，數(shù)學(xué)和英語(yǔ)在安排時(shí)必須相鄰（注：上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰），則周五的課程順序的編排方法共有______14．若雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，又，則該雙曲線的離心率為__________.15．已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________16．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，多面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）在數(shù)列中，，，記.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試判斷數(shù)列的增減性，并說(shuō)明理由19．（12分）為讓“雙減”工作落實(shí)到位，某中學(xué)積極響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，全面推進(jìn)中小學(xué)生課后延時(shí)服務(wù)，推行課后服務(wù)“”模式，開展了內(nèi)容豐富、形式多樣、有利于學(xué)生身心成長(zhǎng)的活動(dòng).該中學(xué)初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務(wù)更受歡迎，該校準(zhǔn)備推行體育類與藝術(shù)類兩大類活動(dòng)于2021年9月在初一學(xué)生中進(jìn)行了問卷調(diào)查.（1）調(diào)查結(jié)果顯示：有的男學(xué)生和的女學(xué)生愿意參加體育類活動(dòng)，其他男學(xué)生與女學(xué)生都不愿意參加體育類活動(dòng)，請(qǐng)完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動(dòng)與學(xué)生的性別相關(guān)？愿意參加體育活動(dòng)情況性別愿意參加體育類活動(dòng)不愿意參加體育類活動(dòng)合計(jì)男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)（2）在開展了兩個(gè)月活動(dòng)課后，為了了解學(xué)生的活動(dòng)課情況，在初一年級(jí)學(xué)生中按男女比例分層抽取7名學(xué)生調(diào)查情況，并從這7名學(xué)生中隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，用X表示選出進(jìn)行展示的3名學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.20．（12分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.21．（12分）已知某學(xué)校的初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時(shí)間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級(jí)各抽取的人數(shù)是多少？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）另?yè)?jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時(shí)間超過4小時(shí)的人中2人來(lái)自初中年級(jí)，3人來(lái)自高中年級(jí)，從中任選2人，恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率是多少22．（10分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E在棱上運(yùn)動(dòng)（1）證明：；（2）當(dāng)E為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時(shí)，二面角的大小為？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用幾何概型的長(zhǎng)度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長(zhǎng)，斜邊，則線段的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度的概率.故選：C2、D【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求得數(shù)列的周期性，結(jié)合周期性得到，即可求解.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，且，可得，可得數(shù)列是以三項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，所以.故選：D.3、D【解析】根據(jù)空間向量加法和減法的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可求解.【詳解】解：因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，所以，故選：D.4、A【解析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選:A5、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C6、D【解析】根據(jù)直線過圓心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，直線過點(diǎn)，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.故選：D.7、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D8、A【解析】分析可知直線與曲線在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令可得出，令，問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，可得，令，其中，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，作出直線與曲線如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn).故選：A.9、B【解析】直線恒過定點(diǎn)，而此點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】直線恒過定點(diǎn)，而，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故直線與圓的位置關(guān)系為相交，故選：B.10、D【解析】由求出，從而可以求，再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因?yàn)閷?duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，，，若n為奇數(shù)，則；若n為偶數(shù)，則，所以所以，對(duì)恒成立，必須滿足.故選：D11、B【解析】計(jì)算后，根據(jù)判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計(jì)算，判斷為否，計(jì)算，輸出.故選：B.12、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進(jìn)行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2400種【解析】分三步，第一步：根據(jù)題意從第一個(gè)位置和最后一個(gè)位置選一個(gè)位置安排生物，第二步：將數(shù)學(xué)和英語(yǔ)捆綁排列，第三步：將剩下的5節(jié)課全排列，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】分步排列，第一步：因?yàn)橛深}意知生物只能出現(xiàn)在第一節(jié)或最后一節(jié)，所以從第一個(gè)位置和最后一個(gè)位置選一個(gè)位置安排生物，有（種）編排方法；第二步：因?yàn)閿?shù)學(xué)和英語(yǔ)在安排時(shí)必須相鄰，注意數(shù)學(xué)和英語(yǔ)之間還有一個(gè)排列，所以有（種）編排方法；第三步：剩下的5節(jié)課安排5科課程，有（種）編排方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有（種）編排方法故答案為：2400種14、【解析】根據(jù)直線和雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合圓的性質(zhì)、雙曲線的定義、三角形面積公式、雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由直線與雙曲線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在三角形中，，所以，是以為直徑的圓與雙曲線的交點(diǎn)，不妨設(shè)在第一象限，，因?yàn)閳A是以為直徑，所以圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，整理得，，所以，由所以，又因?yàn)?，?lián)立可得，，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，即，，所以離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用直線和雙曲線的對(duì)稱性，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.15、【解析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.16、【解析】利用“當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，"即可得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先通過平面平面得到，再結(jié)合，可得平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量以及平面的一個(gè)法向量，求這兩個(gè)法向量的夾角即可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，又，所以平面，，又，，則平面，平面，所以，；（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，則平面，平面；以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，已知，則，，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由得令，則，，即；平面的一個(gè)法向量為；.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明以及空間向量發(fā)求面面角，考查學(xué)生計(jì)算能力以及空間想象能力，是中檔題.18、（1）證明見解析，（2）數(shù)列單調(diào)遞減.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后用作差法即可判斷其單調(diào)性【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，【小問2詳解】由（1）可知，，所以，所以，故，所以數(shù)列單調(diào)遞減.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)初一男生數(shù)和女生數(shù)，結(jié)合有的男學(xué)生和的女學(xué)生，愿意參加體育類活動(dòng)求解；計(jì)算的值，再與臨界值表對(duì)照下結(jié)論；（2）根據(jù)這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名由抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：因?yàn)槌跻还灿?00名學(xué)生其中男生400名、女生300名，且有的男學(xué)生和的女學(xué)生，所以愿意參加體育類活動(dòng)的男生有300名，女生有200名，則列聯(lián)表如下：愿意參加體育活動(dòng)情況性別愿意參加體育類活動(dòng)不愿意參加體育類活動(dòng)合計(jì)男學(xué)生300100400女學(xué)生200100300合計(jì)500200700，所以有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動(dòng)與學(xué)生的性別相關(guān)；【小問2詳解】這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，所以，,所以隨機(jī)變量X分布列如下：X0123p20、見解析【解析】將代入式子，得到，，進(jìn)而進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后通過基本不等式證明問題.【詳解】∵，，，∴，.∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”21、（1）初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為45、55（2）2.375小時(shí)，2.4小時(shí)（3）【解析】（1）依據(jù)分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)即可；（3）依據(jù)古典概型即可求得恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率.【小問1詳解】設(shè)初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因?yàn)?，，所以中位?shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則，解得，所以學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)；平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí).故估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)，平均時(shí)長(zhǎng)為2.4小時(shí)【小問3詳解】2人來(lái)自初中年級(jí)，記為，，3人來(lái)自高中年級(jí)，記為，，，則從中任選2人，所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)有6種可能，所以恰好1人來(lái)自初中年級(jí)，1人來(lái)自高中年級(jí)的概率為22、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長(zhǎng)方體、線面垂直的性質(zhì)有、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法