四川省自貢市衡水一中富順學校2025屆高二上數學期末考試試題含解析

四川省自貢市衡水一中富順學校2025屆高二上數學期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．由小到大排列的一組數據：，其中每個數據都小于，另一組數據2、的中位數可以表示為（）A. B.C. D.2．在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為，過雙曲線上一點作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．從集合中任取兩個不同元素，則這兩個元素相差的概率為（）A. B.C. D.4．已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-15．設函數，若的整數有且僅有兩個，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．校慶當天，學校需要在靠墻的位置用圍欄圍起一個面積為200平方米的矩形場地.用來展示校友的書畫作品.靠墻一側不需要圍欄，則圍欄總長最小需要（）米A.20 B.40C. D.7．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.68．函數的定義域為開區(qū)間，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在開區(qū)間內有極小值點（）A.個 B.個C.個 D.個9．等差數列的首項為正數，其前n項和為.現有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數列中的最小項是第9項10．已知等差數列前項和為，且，，則此數列中絕對值最小的項為A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項11．已知命題p：?x＞2，x2＞2x，命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，則下列命題是真命題的是（）A.p∧ B.p∨C.p∧q D.p∨q12．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的表面積為,則該球的體積為______.14．在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長為_____.15．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為___________.16．由曲線圍成的圖形的面積為_______________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某高校在今年的自主招生考試成績中隨機抽取100名考生的筆試成績，分為5組制出頻率分布表如圖所示.組號分組頻數頻率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學生進行面試，則每組應各抽多少名學生？（3）在（2）的前提下，從抽到6名學生中再隨機抽取2名被甲考官面試，求這2名學生來自同一組的概率.18．（12分）已知圓，其圓心在直線上.（1）求的值；（2）若過點的直線與相切，求的方程.19．（12分）設等差數列的各項均為整數，且滿足對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱這樣的數列具有性質（1）若數列的通項公式為，數列是否具有性質？并說明理由；（2）若，求出具有性質的數列公差的所有可能值；（3）對于給定的，具有性質的數列是有限個，還是可以無窮多個？(直接寫出結論)20．（12分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，設，求函數的單調區(qū)間.21．（12分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.22．（10分）某情報站有．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機選用一種．設第一周使用密碼，表示第周使用密碼的概率（1）求；（2）求證：為等比數列，并求的表達式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先根據題意對數據進行排列，然后由中位數的定義求解即可【詳解】因為由小到大排列的一組數據：，其中每個數據都小于，所以另一組數據2、從小到大的排列為，所以這一組數的中位數為，故選：C2、A【解析】根據條件可知四邊形為正方形，從而根據邊長相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設在第一象限，則，根據題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：A.3、B【解析】一一列出所有基本事件，然后數出基本事件數和有利事件數，代入古典概型的概率計算公式，即可得解.【詳解】解：從集合中任取兩個不同元素的取法有、、、、、共6種，其中滿足兩個元素相差的取法有、、共3種.故這兩個元素相差的概率為.故選：B.4、A【解析】由題可得，利用與的關系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項，以1為公差的等差數列，∴，即，∴當時，，當時，也適合上式，所以故選：A.5、D【解析】等價于，令，，利用導數研究函數的單調性，作出的簡圖，數形結合只需滿足即可.【詳解】，即，又，則.令，，，當時，，時，，時，，在單調遞減，在單調遞增，且，且，，作出函數圖象如圖所示，若的整數有且僅有兩個，即只需滿足，即，解得：故選：D6、B【解析】在出矩形中，設，得到，結合基本不等式，即可求解【詳解】如圖所示，在矩形中，設，則，根據題意，可得矩形圍欄總長為因為，可得，當且僅當時，即時，等號成立，即圍欄總長最小需要米.故選：B.7、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.8、A【解析】利用極小值的定義判斷可得出結論.【詳解】由導函數在區(qū)間內的圖象可知，函數在內的圖象與軸有四個公共點，在從左到右第一個點處導數左正右負，在從左到右第二個點處導數左負右正，在從左到右第三個點處導數左正右正，在從左到右第四個點處導數左正右負，所以函數在開區(qū)間內的極小值點有個，故選：A.9、B【解析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對于選項A，∵有最大值，∴等差數列一定有負數項，∴等差數列為遞減數列，故公差小于0，故選項A正確；對于選項B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項B錯誤；對于選項C，∵，，∴，，故中最大，故選項C正確；對于選項D，∵，，∴，，故數列中的最小項是第9項，故選項D正確.故選：B.10、C【解析】設等差數列的首項為，公差為，，則，又，則，說明數列為遞減數列，前6項為正，第7項及后面的項為負，又，則，則在數列中絕對值最小的項為，選C.11、B【解析】取x＝4，得出命題p是假命題，由對數的運算得出命題q是假命題，再判斷選項.【詳解】命題p：?x＞2，x2＞2x，是假命題，例如取x＝4，則42＝24；命題q：?x0∈R，ln（x02+1）＜0，是假命題，∵?x∈R，ln（x2+1）≥0.則下列命題是真命題的是.故選：B.12、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉化成點到直線的距離，結合余弦定理即同角三角函數基本關系，求得，因此可得，進而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點睛】解答本題的關鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結果14、【解析】由面積公式求得，結合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長.【詳解】，從而，由正弦定理得：，解得：故答案為：15、##【解析】根據向量數量積的計算公式即可計算.【詳解】，，.故答案為：﹒16、【解析】當時，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據對稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學生分類討論思想的運用和運算求解能力.點評：解決此題的關鍵是看出所求圖形在四個象限內是相同的，然后求出在一個象限內的圖形的面積即可解決問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，（2）第三組應抽人，第四組應抽人，第五組應抽人（3）【解析】（1）根據頻率分布表的數據求出b，c，d的值；（2）三個組共有60人，從而利用分層抽樣抽樣方法抽取6名學生第三組應抽3人，第四組應抽2人，第五組應抽1人；（3）記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，利用列舉法結合概率公式得出答案.【小問1詳解】由題意得，，【小問2詳解】三個組共有60人，所以第三組應抽人，第四組應抽人，第五組應抽人.【小問3詳解】記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，從這6人中隨機抽取2人，基本事件包含，共15個基本事件.其中2人來自同一組的情況有，共4種.所以，2人來自同一組的概率為.18、（1）（2）或【解析】（1）將圓的一般方程化為標準方程，求出圓心，代入直線方程即可求解.（2）設直線的方程為：，利用圓心到直線的距離即可求解.【小問1詳解】圓的標準方程為：，所以，圓心為由圓心在直線上，得.所以，圓的方程為：【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為：，即由于直線和圓相切，得解得：所以，直線方程為：或.19、（1）數列具有性質，理由見解析；（2），；（3）有限個.【解析】（1）由題意，由性質定義，即可知是否具有性質.（2）由題設，存在，結合已知得且，則，由性質的定義只需保證為整數即可確定公差的所有可能值；（3）根據（2）的思路，可得且，由為整數，在為定值只需為整數，即可判斷數列的個數是否有限.【小問1詳解】由，對任意正整數，，說明仍為數列中的項，∴數列具有性質.【小問2詳解】設的公差為．由條件知：，則，即，∴必有且，則，而此時對任意正整數，，又必一奇一偶，即為非負整數因此，只要為整數且，那么為中的一項.易知：可取，對應得到個滿足條件的等差數列.【小問3詳解】同（2）知：，則，∴必有且，則，故任意給定，公差均為有限個，∴具有性質的數列是有限個.【點睛】關鍵點點睛：根據性質的定義，在第2、3問中判斷滿足等差數列通項公式，結合各項均為整數，判斷公差的個數是否有限即可.20、（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】(1)根據導數的幾何意義即可求解；(2)求g(x)導數，導數同分分解因式，討論其正負即可判斷g(x)的單調性.【小問1詳解】當時，，則，又，設所求切線的斜率為，則，則切線的方程為：，化簡即得切線的方程為：.【小問2詳解】，其定義域為，，∵，∴ax＋1＞0，∴當時，；當時，.的增區(qū)間為，減區(qū)間為.21、（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點.【解析】(1)連接，根據給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內過C作，再以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，利用空間向量計算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系，如圖，因，，則，假設在線段上存在符合要求的點P，設其坐標為，則有，設平面的一個法向量，則有，令得，而平面的一個法向量，依題意，，化簡整理得：而，解得，所以在線段上存在一點，且P是靠