2024屆河北省邯鄲市部分示范性高中高三下學期三模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市部分示范性高中2024屆高三下學期三模數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)，則（）A.5 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，故.故選：D.2.已知，是橢圓的兩個焦點，M為C的頂點，若的內(nèi)心和重心重合，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，為橢圓的頂點，且的內(nèi)心和重心重合，所以為等邊三角形，又因為，所以，即.故選：C.3.若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗令，得，又，所以.故選：A.4.我國鐵路百年滄桑巨變，從尚無一寸高鐵，到僅用十幾年高鐵建設世界領先，見證了中華民族百年復興偉業(yè).某家庭兩名大人三個孩子乘坐高鐵出行，預定了一排五個位置的票（過道一邊有三個座位且相鄰，另一邊兩個座位相鄰）則三個孩子座位正好在過道同一側(cè)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗五個人隨機坐共有種可能，其中三個孩子座位正好在過道同一側(cè)有種可能，故三個孩子座位正好在過道同一側(cè)概率為.故選：A.5.已知平面，和直線m，n，若，，則“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當，，，是兩個不同平面，，時，或，相交，反過來，時，，，則，.故“，”是“”的必要而不充分條件.故選：B.6.平行四邊形中，，，以C為圓心作與直線BD相切的圓，P為圓C上且落在四邊形內(nèi)部任意一點，，若，則角的范圍為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，當在直線上時，，當圓與的切點在延長線上時，圓落在四邊形內(nèi)部部分與直線沒有公共點，此時，當恰好切于點時，則，又，，所以，則，所以，則，故.故選：B.7.已知偶函數(shù)與其導函數(shù)定義域均為，為奇函數(shù)，若2是的極值點，則在區(qū)間內(nèi)解的個數(shù)最少有（）個.A.7 B.8 C.9 D.11〖答案〗D〖解析〗為偶函數(shù)，所以，求導得，所以為奇函數(shù).定義域均為，故，因為為奇函數(shù)，所以，故，即關于點對稱，兩邊求導得，即，①所以，故，②將替換為得，故，的周期為3.故為周期為3的奇函數(shù).故.又2是的極值點，得，因為為周期為3，故，由得，因為為周期為3，故，.又為奇函數(shù)，，得，所以關于點對稱，故，且，由①得，又，由②得，又，故在內(nèi)解最少有，最少有11個.故選：D.8.已知數(shù)列滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.設①，則②，①-②得，，，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，則，，故A、C錯誤；，故B正確；，故D正確.故選：BD.10.已知方程的正根構成等差數(shù)列，則（）A. B. C.2 D.4〖答案〗ACD〖解析〗法一：由，得，即，由的圖象可知，的值為時，正根構成等差數(shù)列，得，故A、C、D正確；法二：，其周期為，設，則，，其圖象如圖所示.的正根構成等差數(shù)列，得、時成立，故C、D正確；且，，，，時，值也滿足題意，又，得，故A正確.故選：ACD.11.函數(shù)有三個不同極值點，且.則（）A. B.C.的最大值為3 D.的最大值為1〖答案〗BCD〖解析〗對于A：有三個不同極值點，則有三個不等實根為，則定有三個解.設，當，恒成立，得單調(diào)遞增，不會有三個解，所以，，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.定有三個解恒成立，因為，所以恒成立.即，得，故A錯誤；對于D：設，故，，，故，故D正確；對于B：又，故B正確；對于C：又，，，則，又，放，的最大值為3，故C正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線上的動點P到點的距離等于它到C的準線距離，則P到焦點距離為______.〖答案〗3〖解析〗根據(jù)拋物線的定義可得：拋物線上的點P到焦點的距離等于點P到準線的距離.由拋物線可知焦點坐標為；設點P坐標為.因為拋物線上的動點P到點的距離等于它到C的準線距離，所以點P到焦點的距離等于點P到點的距離，則，解得：.所以點P到焦點距離為.13.如圖裝滿水的圓臺形容器內(nèi)放進半徑分別為1和3的兩個鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器壁、水面均相切，此時容器中水的體積為______.〖答案〗〖解析〗大球體積，小球體積.圓臺的高為.根據(jù)切線長定理可得：，.由圖易知四邊形，四邊形，四邊形，四邊形兩兩之間相似，即.解得：，則，則圓臺體積為，則水的體積為：.14.已知點，則點P到動直線的最大距離的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由，得，又，當時，，當時，，令，的定義域為，，解得：，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)與圖象如下圖，由此可知：可知點位于圖中陰影部分區(qū)域，則點到直線最大距離的最小值為函數(shù)上切線斜率為1的點到直線的距離的一半.，設，得，點到的距離為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前n項和為，比較和的大小.解：（1）因為，當時，，又因為時，也滿足上式，所以當時，，，（2）由，得,,,當時，,當時，，.綜上所述：當時，，當時，.16.如圖所示，在等腰直角中，，點、分別為，的中點，將沿翻折到位置.（1）證明：；（2）若，求平面DEF與平面DEC夾角的余弦值.（1）證明：等腰直角中，，得，所以，點E、F分別為，的中點，，所以，將沿翻折到位置后，，，又平面，平面，，所以平面，又，得平面，又平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知面，又平面，所以平面平面，由為中點，故，又因為，所以為等邊三角形，設的中點為，連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，過作交于，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系：不妨設，得，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，取，設平面的一個法向量為，則，取，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.17.2021年教育部印發(fā)的《進一步加強中小學生體質(zhì)健康管理工作的通知》中提出，中小學校要保障學生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間，每天統(tǒng)一安排30分鐘的大課間體育活動.一學校某體育項目測試有的人滿分，而該校有的學生每天運動時間超過兩個小時，這些人體育項目測試滿分率為.（1）從該校隨機抽取三人，三人中體育項目測試相互獨立，求三人中滿分人數(shù)的分布列和期望；（2）現(xiàn)從每天運動時間不超過兩個小時的學生中任意調(diào)查一名學生，求他體育項目測試滿分的概率；（3）體育測試前甲、乙、丙三人傳球做熱身訓練，每次傳球，傳球者等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，第1次由甲將球傳出，求第n次傳球后球在乙手中的概率.解：（1）該校隨機抽取三人，每個人滿分的概率為40%，設抽取的三人中滿分人數(shù)為，則，則，，，，則的分布列為：0123所以數(shù)學期望.（2）用A表示事件“抽到每天運動時間超過兩個小時的學生”，則，，用B表示事件“抽到體育項目測試滿分的學生”，則，且，又因為所以，故，所以.（3）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在乙的手中”，設次傳球后球在乙手中的概率為，，則有，所以，所以，即，，所以，且，所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即第次傳球后球在乙手中的概率為.18.函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若只有一個解，則當時，求使成立的最大整數(shù)k.解：（1）函數(shù)，定義域為，則，因為，設，，則令得，，，當時，，，單調(diào)遞增，當時，，，單調(diào)遞減，當時，，，單調(diào)遞增，綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）若即只有一個解，因為使方程成立，所以只有0是的解，當時，無非零解，設，則，當，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，所以最小值為，當時，，當時，，故定有零點，又因為無非零解，有零點應還是0，所以，所以，則，，得，，，所以，得，設，則，令，則，因為時，，所以，則在單調(diào)遞增，又，，所以使得，所以，且，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以最小值，且，得，又因為，所以，因為，所以，故整數(shù)的最大值為2.19.函數(shù)是我們最熟悉的函數(shù)之一，它是奇函數(shù)，且y軸和直線是它的漸近線，在第一象限和第三象限存在圖象，其圖象實質(zhì)是圓錐曲線中的雙曲線.（1）函數(shù)的圖象不僅是中心對稱圖形，而且還是軸對稱圖形，求其對稱軸l的方程；（2）若保持原點不動，長度單位不變，只改變坐標軸的方向的坐標系的變換，叫坐標系的旋轉(zhuǎn)，簡稱轉(zhuǎn)軸.（i）請采用適當?shù)淖儞Q方法，求函數(shù)變換后所對應的雙曲線標準方程；（ii）已知函數(shù)圖象上任一點到平面內(nèi)定點的距離差的絕對值為定值，以線段為直徑的圓與的圖象一個交點為，求的面積.解：（1）函數(shù)的圖象是圓錐曲線中的雙曲線，且軸和直線是它的漸近線可知，對稱軸為直線和.又，得，解得，又，所以，得，又，所以對稱軸的方程為和.（2）（i）法一：在轉(zhuǎn)軸下，設坐標軸的旋轉(zhuǎn)角為，平面上任一點在舊坐標系與新坐標系內(nèi)的坐標分別為與，作，，再設，則，，，由（1）可知將坐標軸逆時針度轉(zhuǎn)，函數(shù)將變?yōu)殡p曲線標準方程，由公式可得，即，得到，代入，整理得.法二：考慮將函數(shù)順時針轉(zhuǎn)，可得雙曲線標準方程.任取上一點，，，則點在上.即，，，，得.（ii）由題意知為雙曲線的兩個焦點，所以，又因為為直角三角形，所以，由雙曲線性質(zhì)可知，得，所以，得的面積為.河北省邯鄲市部分示范性高中2024屆高三下學期三模數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)，則（）A.5 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，故.故選：D.2.已知，是橢圓的兩個焦點，M為C的頂點，若的內(nèi)心和重心重合，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，為橢圓的頂點，且的內(nèi)心和重心重合，所以為等邊三角形，又因為，所以，即.故選：C.3.若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗令，得，又，所以.故選：A.4.我國鐵路百年滄桑巨變，從尚無一寸高鐵，到僅用十幾年高鐵建設世界領先，見證了中華民族百年復興偉業(yè).某家庭兩名大人三個孩子乘坐高鐵出行，預定了一排五個位置的票（過道一邊有三個座位且相鄰，另一邊兩個座位相鄰）則三個孩子座位正好在過道同一側(cè)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗五個人隨機坐共有種可能，其中三個孩子座位正好在過道同一側(cè)有種可能，故三個孩子座位正好在過道同一側(cè)概率為.故選：A.5.已知平面，和直線m，n，若，，則“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當，，，是兩個不同平面，，時，或，相交，反過來，時，，，則，.故“，”是“”的必要而不充分條件.故選：B.6.平行四邊形中，，，以C為圓心作與直線BD相切的圓，P為圓C上且落在四邊形內(nèi)部任意一點，，若，則角的范圍為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，當在直線上時，，當圓與的切點在延長線上時，圓落在四邊形內(nèi)部部分與直線沒有公共點，此時，當恰好切于點時，則，又，，所以，則，所以，則，故.故選：B.7.已知偶函數(shù)與其導函數(shù)定義域均為，為奇函數(shù)，若2是的極值點，則在區(qū)間內(nèi)解的個數(shù)最少有（）個.A.7 B.8 C.9 D.11〖答案〗D〖解析〗為偶函數(shù)，所以，求導得，所以為奇函數(shù).定義域均為，故，因為為奇函數(shù)，所以，故，即關于點對稱，兩邊求導得，即，①所以，故，②將替換為得，故，的周期為3.故為周期為3的奇函數(shù).故.又2是的極值點，得，因為為周期為3，故，由得，因為為周期為3，故，.又為奇函數(shù)，，得，所以關于點對稱，故，且，由①得，又，由②得，又，故在內(nèi)解最少有，最少有11個.故選：D.8.已知數(shù)列滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.設①，則②，①-②得，，，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，則，，故A、C錯誤；，故B正確；，故D正確.故選：BD.10.已知方程的正根構成等差數(shù)列，則（）A. B. C.2 D.4〖答案〗ACD〖解析〗法一：由，得，即，由的圖象可知，的值為時，正根構成等差數(shù)列，得，故A、C、D正確；法二：，其周期為，設，則，，其圖象如圖所示.的正根構成等差數(shù)列，得、時成立，故C、D正確；且，，，，時，值也滿足題意，又，得，故A正確.故選：ACD.11.函數(shù)有三個不同極值點，且.則（）A. B.C.的最大值為3 D.的最大值為1〖答案〗BCD〖解析〗對于A：有三個不同極值點，則有三個不等實根為，則定有三個解.設，當，恒成立，得單調(diào)遞增，不會有三個解，所以，，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.定有三個解恒成立，因為，所以恒成立.即，得，故A錯誤；對于D：設，故，，，故，故D正確；對于B：又，故B正確；對于C：又，，，則，又，放，的最大值為3，故C正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線上的動點P到點的距離等于它到C的準線距離，則P到焦點距離為______.〖答案〗3〖解析〗根據(jù)拋物線的定義可得：拋物線上的點P到焦點的距離等于點P到準線的距離.由拋物線可知焦點坐標為；設點P坐標為.因為拋物線上的動點P到點的距離等于它到C的準線距離，所以點P到焦點的距離等于點P到點的距離，則，解得：.所以點P到焦點距離為.13.如圖裝滿水的圓臺形容器內(nèi)放進半徑分別為1和3的兩個鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器壁、水面均相切，此時容器中水的體積為______.〖答案〗〖解析〗大球體積，小球體積.圓臺的高為.根據(jù)切線長定理可得：，.由圖易知四邊形，四邊形，四邊形，四邊形兩兩之間相似，即.解得：，則，則圓臺體積為，則水的體積為：.14.已知點，則點P到動直線的最大距離的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由，得，又，當時，，當時，，令，的定義域為，，解得：，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)與圖象如下圖，由此可知：可知點位于圖中陰影部分區(qū)域，則點到直線最大距離的最小值為函數(shù)上切線斜率為1的點到直線的距離的一半.，設，得，點到的距離為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前n項和為，比較和的大小.解：（1）因為，當時，，又因為時，也滿足上式，所以當時，，，（2）由，得,,,當時，,當時，，.綜上所述：當時，，當時，.16.如圖所示，在等腰直角中，，點、分別為，的中點，將沿翻折到位置.（1）證明：；（2）若，求平面DEF與平面DEC夾角的余弦值.（1）證明：等腰直角中，，得，所以，點E、F分別為，的中點，，所以，將沿翻折到位置后，，，又平面，平面，，所以平面，又，得平面，又平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知面，又平面，所以平面平面，由為中點，故，又因為，所以為等邊三角形，設的中點為，連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，過作交于，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系：不妨設，得，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，取，設平面的一個法向量為，則，取，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.17.2021年教育部印發(fā)的《進一步加強中小學生體質(zhì)健康管理工作的通知》中提出，中小學校要保障學生每天校內(nèi)、校外各1小時體育活動時間，每天統(tǒng)一安排30分鐘的大課間體育活動.一學校某體育項目測試有的人滿分，而該校有的學生每天運動時間超過兩個小時，這些人體育項目測試滿分率為.（1）從該校隨機抽取三人，三人中體育項目測試相互獨立，求三人中滿分人數(shù)的分布列和期望；（2）現(xiàn)從每天運動時間不超過兩個小時的學生中任意調(diào)查一名學生，求他體育項目測試滿分的概率；（3）體育測試前甲、乙、丙三人傳球做熱身訓練，每次傳球，傳球者等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，第1次由甲將球傳出，求第n次傳球后球在乙手中的概率.解：（1）該校隨機抽取三人，每個人滿分的概率為40%，設抽取的三人中滿分人數(shù)為，則，則，，，，則的分布列為：0123所以數(shù)學期望.（2）用A表示事件“抽到每天運動時間超過兩個小時的學生”，則，，用B表示事件“抽到體育項目測試滿分的學生”，則，且，又因為所以，故，所以.（3）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在乙的手中”，設次傳球后球在乙手中的概率為，，則有，所以，所以，即，，所以，且，所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即第次傳球后球在乙手中的概率為.18.函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）