2025屆廣東省揭陽市兩校高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省揭陽市兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，或，知.故選：C.2.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由得，解得，由得，所以，解得，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B.3.已知函數(shù)的值域為R，那么實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為函數(shù)的值域為，而的值域為R，所以函數(shù)的值域包含,所以，解得，故選：B.4.如圖，已知，，點C在函數(shù)的圖象上，點D在函數(shù)的圖象上，若四邊形為正方形，則（）A. B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗依題意，，由四邊形為正方形，得，則點，而點在函數(shù)的圖象上，即，解得，經(jīng)驗證符合題意，所以.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B6.神舟十二號載人飛船搭載3名宇航員進入太空，在中國空間站完成了為期三個月的太空駐留任務(wù)，期間進行了很多空間實驗，目前已經(jīng)順利返回地球．在太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水．回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用．凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)）A.10 B.12 C.14 D.16〖答案〗C〖解析〗設(shè)過濾的次數(shù)為，原來水中雜質(zhì)為1，則，即，所以，所以，所以，因為，所以的最小值為14，則至少要過濾14次．故選：C.7.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，且，，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，因為，則，，由橢圓的定義可得，，因為，即，在中，則，即，解得，可得，在△中，可得，整理得，所以橢圓E的離心率為.故選：B．8.已知數(shù)列滿足，前n項和為，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗數(shù)列中，，由，得，，則有，因此數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，故A，B正確.令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故C錯誤.，所以，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.函數(shù)的圖象不可能關(guān)于點對稱C.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增D.若函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，則當(dāng)時，，A錯誤；對于B，，則函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，B正確；對于C，當(dāng)時，，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增且，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；對于D，由，設(shè)，則當(dāng)時，，又在上有解，即方程在上有解，得在上有解，而在上單調(diào)遞減，則，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)t的可能取值為（）A.1 B. C.3 D.4〖答案〗CD〖解析〗令，則，的定義域為，，所以，所以是奇函數(shù)，不等式等價于，即，當(dāng)時單調(diào)遞增，可得單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在(0,+∞)單調(diào)遞增，又因為為奇函數(shù)且定義域為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，只需，令，則，，所以，對稱軸為，所以時，，所以，可得實數(shù)的可能取值為3或4.故選：CD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.定義運算則不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由題意可得對任意恒成立，若，則，符合題意，即成立；若，則，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.13.已知過原點O的直線與交于A，B兩點（A點在B點左側(cè)），過A作x軸的垂線與函數(shù)交于C點，過B點作x軸的垂線與函數(shù)交于D點，當(dāng)平行于x軸時，點A的橫坐標(biāo)為__________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)，則，而，由平行于x軸，得，解得，于，整理，即，解得，所以點A的橫坐標(biāo)為2.14.已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，對x∈R恒成立，則的值為_______．〖答案〗9〖解析〗因為函數(shù)y=fx是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對x∈R，所以存在常數(shù)，使得，則，即，又因為，則，注意到在上單調(diào)遞增，且，可得，所以，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，．（1）求角B的大??；（2）若的面積，設(shè)D是BC的中點，求的值．解：（1）∵，∴由正弦定理得，，即，即，即，即，，，，∵B∈0,π，（2），.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，，∴.16.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面.（1）證明：BDCC1；（2）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.（1）證明：如圖所示，連接,因為為棱臺，所以四點共面，又因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：取中點，連接，因為底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點，分別以為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，假設(shè)點存在，設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，可得，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得，由于二面角為銳角，則點在線段上，所以，即，故上存在點，當(dāng)時，二面角的余弦值為.17.設(shè)函數(shù)，滿足：①；②對任意，恒成立．（1）求函數(shù)的〖解析〗式．（2）設(shè)矩形的一邊在軸上，頂點，在函數(shù)的圖象上．設(shè)矩形的面積為，求證：．（1）解：因為，由，得，則；由，得，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以；（2）證明：因為，令，得；令，得；所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．不妨設(shè)，，由知，那么，；故，因為，所以．18.已知函數(shù)是奇函數(shù).（e是自然對數(shù)的底）（1）求實數(shù)k的值；（2）若時，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)，對任意實數(shù)，若以a，b，c為長度的線段可以構(gòu)成三角形時，均有以，，為長度的線段也能構(gòu)成三角形，求實數(shù)n的最大值.解：（1）因為是奇函數(shù)，且定義域為R，所以，即，解得.經(jīng)檢驗，此時是奇函數(shù)所以.（2）由（1）知，由時，恒成立，得，因為，所以，設(shè)，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，所以，故，所以.（3）由題意得：，不妨設(shè)，以a，b，c為長度的線段可以構(gòu)成三角形，即，且，以，，為長度的線段也能構(gòu)成三角形，則恒成立，得恒成立，因為，僅當(dāng)a=b時前一個等號成立，所以，即，于是n的最大值為.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并給出證明．,解：（1）因為，所以，當(dāng)時，恒成立，所以；當(dāng)時，令，解得（舍去負(fù)根），令，得；令，得．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由恒成立，得在上恒成立，所以在上恒成立．令，則．令，易知在上單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，即，所以，即的取值范圍為．（3）當(dāng)時，，則，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減．又，所以在上存在唯一的零點．設(shè)在上的零點為，可得當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，解法一：，因為，所以，故．又，所以．又，所以在上有一個零點．又，所以在上有一個零點．當(dāng)時，，所以在上沒有零點．當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，而，所以，故在上沒有零點．綜上所述，在定義域上有且僅有2個零點．解法二：因為，，所以在上有一個零點．又，所以在上有一個零點，當(dāng)時，，易證，所以，從而在上恒成立，故在上沒有零點．當(dāng)時，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減．又，則在上恒成立，所以在上恒成立，故在上沒有零點．綜上所述，在定義域上有且僅有2個零點．廣東省揭陽市兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，或，知.故選：C.2.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由得，解得，由得，所以，解得，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B.3.已知函數(shù)的值域為R，那么實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為函數(shù)的值域為，而的值域為R，所以函數(shù)的值域包含,所以，解得，故選：B.4.如圖，已知，，點C在函數(shù)的圖象上，點D在函數(shù)的圖象上，若四邊形為正方形，則（）A. B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗依題意，，由四邊形為正方形，得，則點，而點在函數(shù)的圖象上，即，解得，經(jīng)驗證符合題意，所以.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B6.神舟十二號載人飛船搭載3名宇航員進入太空，在中國空間站完成了為期三個月的太空駐留任務(wù)，期間進行了很多空間實驗，目前已經(jīng)順利返回地球．在太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水．回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用．凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)）A.10 B.12 C.14 D.16〖答案〗C〖解析〗設(shè)過濾的次數(shù)為，原來水中雜質(zhì)為1，則，即，所以，所以，所以，因為，所以的最小值為14，則至少要過濾14次．故選：C.7.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，且，，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，因為，則，，由橢圓的定義可得，，因為，即，在中，則，即，解得，可得，在△中，可得，整理得，所以橢圓E的離心率為.故選：B．8.已知數(shù)列滿足，前n項和為，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗數(shù)列中，，由，得，，則有，因此數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，故A，B正確.令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故C錯誤.，所以，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.函數(shù)的圖象不可能關(guān)于點對稱C.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增D.若函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，則當(dāng)時，，A錯誤；對于B，，則函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，B正確；對于C，當(dāng)時，，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增且，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；對于D，由，設(shè)，則當(dāng)時，，又在上有解，即方程在上有解，得在上有解，而在上單調(diào)遞減，則，D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)t的可能取值為（）A.1 B. C.3 D.4〖答案〗CD〖解析〗令，則，的定義域為，，所以，所以是奇函數(shù)，不等式等價于，即，當(dāng)時單調(diào)遞增，可得單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在(0,+∞)單調(diào)遞增，又因為為奇函數(shù)且定義域為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，只需，令，則，，所以，對稱軸為，所以時，，所以，可得實數(shù)的可能取值為3或4.故選：CD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.定義運算則不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由題意可得對任意恒成立，若，則，符合題意，即成立；若，則，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.13.已知過原點O的直線與交于A，B兩點（A點在B點左側(cè)），過A作x軸的垂線與函數(shù)交于C點，過B點作x軸的垂線與函數(shù)交于D點，當(dāng)平行于x軸時，點A的橫坐標(biāo)為__________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)，則，而，由平行于x軸，得，解得，于，整理，即，解得，所以點A的橫坐標(biāo)為2.14.已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，對x∈R恒成立，則的值為_______．〖答案〗9〖解析〗因為函數(shù)y=fx是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對x∈R，所以存在常數(shù)，使得，則，即，又因為，則，注意到在上單調(diào)遞增，且，可得，所以，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，．（1）求角B的大??；（2）若的面積，設(shè)D是BC的中點，求的值．解：（1）∵，∴由正弦定理得，，即，即，即，即，，，，∵B∈0,π，（2），.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，，∴.16.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面.（1）證明：BDCC1；（2）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.（1）證明：如圖所示，連接,因為為棱臺，所以四點共面，又因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又因為且平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：取中點，連接，因為底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點，分別以為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，假設(shè)點存在，設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，可得，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得，由于二面角為銳角，則點在線段上，所以，即，故上存在點，當(dāng)時，二面角的余弦值為.17.設(shè)函數(shù)，滿足：①；②對任意，恒成立．（1）求函數(shù)的〖解析〗式．（2）設(shè)矩形的一邊在軸上，頂點，在函數(shù)的圖象上．設(shè)矩形的面積為，求證：．（1）解：因為，由，得，則；由，得，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以；（2）證明：因為，令，得；令，得；所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．不妨設(shè)，，由知，那么，；故，因為，所以．18.已知函數(shù)是奇函數(shù).（e是自然對數(shù)的底）（1）求實數(shù)k的值；（2）若時，關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)，對任意實數(shù)，若以a，b，c為長度的線段可以構(gòu)成三角形時，均有以，，為長度的線段也能構(gòu)成三角形，求實數(shù)n的最大值.解：（