2025屆江蘇省宿遷市高三上學期第一次調(diào)研考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省宿遷市2025屆高三上學期第一次調(diào)研考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題知，，，故選：C.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗“，”的否定為“，”，故選：C.3.若，則的最小值為（）A.9 B.18 C.24 D.27〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意可得；當且僅當，即時，等號成立；此時的最小值為9.故選：A.4.已知函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的圖象由的圖象向右平移2個單位得到，故值域相同，故選D.5.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，故選：D.6.年月日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國歲高齡的著名數(shù)學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學界的震動.在年，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學家歐拉也曾研究過這個何題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為（）（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，估計以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為.故選：B.7.已知，若方程有四個不同的實數(shù)根，，，，則的取值范圍是（）A.（3，4） B.（2，4） C.[0，4） D.[3，4）〖答案〗D〖解析〗由方程有四個不同的實數(shù)根，得函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，分別作出函數(shù)的圖象與直線．由函數(shù)的圖象可知，當兩圖象有四個不同的交點時，．設與交點的橫坐標為，，設，則，，由得，所以，即．設與的交點的橫坐標為，，設，則，，且，所以，則．故選：D.8.是在上的連續(xù)函數(shù),設,則（）.A. B. C. D..〖答案〗A〖解析〗對CD，取,則有，則，則，故C錯誤，，則，故D錯誤；對B，取,則.此時,則B選項錯誤；由絕對值不等式得,因此，因此選項A正確.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（

）A.是的極小值點 B.有兩個極值點C.的極小值為 D.在上的最大值為〖答案〗BD〖解析〗由題設，令，則或，令，則，所以、上遞增，上遞減，故為極大值，為極小值，A、C錯誤，B正確；在上，在上遞減，在上遞增，而，所以在上的最大值為，D正確.故選：BD.10.下列命題正確的有（）A.函數(shù)定義域為，則的定義域為B.函數(shù)是奇函數(shù)C.已知函數(shù)存在兩個零點，則D.函數(shù)在上為增函數(shù)〖答案〗AB〖解析〗對于A，由函數(shù)定義域為，則，因此在中，，解得，即的定義域為，故A正確；對于B，函數(shù)定義域為R，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對于C，由函數(shù)存在兩個零點，即為的兩根，則可得，令，，結(jié)合函數(shù)圖象可設，，則，所以，所以，而k不一定為1，故C不正確；對于D，函數(shù)為對勾函數(shù)，在區(qū)間0,1單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，故D不正確.故選：AB11.已知，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由于，故，當且僅當，結(jié)合，即時，等號成立，即的最小值為，A正確；對于B，由于，，則，當且僅當時，等號成立，故，即的最大值為，B正確；對于C，又，得，故由于，而對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上無最值，C錯誤；對于D，令，則，故，由于，故，，則，當且僅當，結(jié)合，即時，等號成立，所以，即的最小值為，D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.，函數(shù)沒有極值的充要條件為______．〖答案〗〖解析〗，注意到是開口向上的二次函數(shù)，若沒有極值，則只能是f'x即，解得．13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由復合而成.而單調(diào)遞增，只需要單調(diào)遞減.且在上恒成立.則即可，解得.故實數(shù)a的取值范圍是.14.設集合則集合中最小的元素是______，集合中最大的元素是______．〖答案〗1〖解析〗，，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，當，，當，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，因此結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)知，，，當時，，又當時，，當時，，又，故，因此當時，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合（1）若，求；（2）若是的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1），當時，，則；（2）∵，∴是的充分條件，，，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.16.已知函數(shù)，的解集為．（1）求f(x)的〖解析〗式；（2）當時，求的最大值．解：（1）因為函數(shù)，的解集為，那么方程的兩個根是，2，且，由韋達定理有，所以．（2），由，則：根據(jù)均值不等式有：，當且僅當，即時取等號，∴當時，．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，.（1）求點到平面ABCD的距離；（2）在棱上是否存在點，使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.解：（1）由題設，知，所以.又，所以為等邊三角形，所以.在中，，所以.即，則.所以，即，又，且平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.如圖1，設為的中點，連接，因為，所以.又因為平面平面，平面.所以平面，所以即為點到平面的距離.在中，，所以.即點到平面的距離為.（2）如圖2，連接OC，則，且平面ABCD，所以，所以PO，BD，OC兩兩互相垂直.以O為原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Oxyz.則，所以.若上存在點滿足題意，不妨設，則，所以.設m=x,y,z是平面則，解得，不妨取，則平面的一個法向量為.同理，設是平面的法向量，則，解得，不妨取，則，所以平面的一個法向量為，所以，化簡整理得，解得或.即或.故在的三等分點處存在點，可使得平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)，若點在的圖像上運動，則點在的圖象上運動.（1）求的最小值，及相應的值；（2）求函數(shù)的〖解析〗式，指出其定義域，判斷并證明在上的單調(diào)性；（3）在函數(shù)和的圖象上是否分別存在點關(guān)于直線對稱，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1），當且僅當即時，等號成立，即的最小值為2，對應的為0.（2）設圖象上點，由題：，所以點在的圖像上運動，則，所以，，由得其定義域為所以，定義域為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，證明如下：任取，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有：，，，即所以在定義域內(nèi)是增函數(shù).（3）假設函數(shù)和的圖象上分別存在點關(guān)于直線對稱，設其坐標，則有：解得：故在函數(shù)和的圖象上分別存在點關(guān)于直線對稱.19.帕德近似是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：.（注：，為的導數(shù)）已知在處的階帕德近似為.（1）求實數(shù)的值；（2）證明：當時，；（3）設為實數(shù)，討論方程的解的個數(shù).（1）解：由，有，可知，由題意，，所以，解得.（2）證明：由（1）知，，令，則，所以φx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，時，，得證.（3）解：的定義域是，.①當時，，所以hx在上單調(diào)遞增，且，所以hx在上存在1個零點；②當時，令，由，得.又因為，所以.+0-0+h單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當時，因為，所以hx在上存在1個零點，且；當時，因為，，而hx在單調(diào)遞增，且，而，故，所以hx在上存在1個零點；當時，因為，，而hx在單調(diào)遞增，且，而，所以，所以hx上存在1個零點.從而hx在上存在3個零點.綜上所述，當時，方程有1個解；當時，方程有3個解.江蘇省宿遷市2025屆高三上學期第一次調(diào)研考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題知，，，故選：C.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗“，”的否定為“，”，故選：C.3.若，則的最小值為（）A.9 B.18 C.24 D.27〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意可得；當且僅當，即時，等號成立；此時的最小值為9.故選：A.4.已知函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的圖象由的圖象向右平移2個單位得到，故值域相同，故選D.5.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，故選：D.6.年月日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國歲高齡的著名數(shù)學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學界的震動.在年，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學家歐拉也曾研究過這個何題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為（）（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，估計以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為.故選：B.7.已知，若方程有四個不同的實數(shù)根，，，，則的取值范圍是（）A.（3，4） B.（2，4） C.[0，4） D.[3，4）〖答案〗D〖解析〗由方程有四個不同的實數(shù)根，得函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，分別作出函數(shù)的圖象與直線．由函數(shù)的圖象可知，當兩圖象有四個不同的交點時，．設與交點的橫坐標為，，設，則，，由得，所以，即．設與的交點的橫坐標為，，設，則，，且，所以，則．故選：D.8.是在上的連續(xù)函數(shù),設,則（）.A. B. C. D..〖答案〗A〖解析〗對CD，取,則有，則，則，故C錯誤，，則，故D錯誤；對B，取,則.此時,則B選項錯誤；由絕對值不等式得,因此，因此選項A正確.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則（

）A.是的極小值點 B.有兩個極值點C.的極小值為 D.在上的最大值為〖答案〗BD〖解析〗由題設，令，則或，令，則，所以、上遞增，上遞減，故為極大值，為極小值，A、C錯誤，B正確；在上，在上遞減，在上遞增，而，所以在上的最大值為，D正確.故選：BD.10.下列命題正確的有（）A.函數(shù)定義域為，則的定義域為B.函數(shù)是奇函數(shù)C.已知函數(shù)存在兩個零點，則D.函數(shù)在上為增函數(shù)〖答案〗AB〖解析〗對于A，由函數(shù)定義域為，則，因此在中，，解得，即的定義域為，故A正確；對于B，函數(shù)定義域為R，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對于C，由函數(shù)存在兩個零點，即為的兩根，則可得，令，，結(jié)合函數(shù)圖象可設，，則，所以，所以，而k不一定為1，故C不正確；對于D，函數(shù)為對勾函數(shù)，在區(qū)間0,1單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，故D不正確.故選：AB11.已知，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由于，故，當且僅當，結(jié)合，即時，等號成立，即的最小值為，A正確；對于B，由于，，則，當且僅當時，等號成立，故，即的最大值為，B正確；對于C，又，得，故由于，而對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上無最值，C錯誤；對于D，令，則，故，由于，故，，則，當且僅當，結(jié)合，即時，等號成立，所以，即的最小值為，D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.，函數(shù)沒有極值的充要條件為______．〖答案〗〖解析〗，注意到是開口向上的二次函數(shù)，若沒有極值，則只能是f'x即，解得．13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由復合而成.而單調(diào)遞增，只需要單調(diào)遞減.且在上恒成立.則即可，解得.故實數(shù)a的取值范圍是.14.設集合則集合中最小的元素是______，集合中最大的元素是______．〖答案〗1〖解析〗，，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，當，，當，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，因此結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)知，，，當時，，又當時，，當時，，又，故，因此當時，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合（1）若，求；（2）若是的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1），當時，，則；（2）∵，∴是的充分條件，，，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.16.已知函數(shù)，的解集為．（1）求f(x)的〖解析〗式；（2）當時，求的最大值．解：（1）因為函數(shù)，的解集為，那么方程的兩個根是，2，且，由韋達定理有，所以．（2），由，則：根據(jù)均值不等式有：，當且僅當，即時取等號，∴當時，．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，.（1）求點到平面ABCD的距離；（2）在棱上是否存在點，使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.解：（1）由題設，知，所以.又，所以為等邊三角形，所以.在中，，所以.即，則.所以，即，又，且平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.如圖1，設為的中點，連接，因為，所以.又因為平面平面，平面.所以平面，所以即為點到平面的距離.在中，，所以.即點到平面的距離為.（2）如圖2，連接OC，則，且平面ABCD，所以，所以PO，BD，OC兩兩互相垂直.以O為原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Oxyz.則，所以.若上存在點滿足題意，不妨設，則，所以.設m=x,y,z是平面則，解得，不妨取，則平面的一個法向量為.同理，設是平面的法向量，則，解得，不妨取，則，所以平面的一個法向量為，所以，化簡整理得，解得或.即或.故在的三等分點處存在點，可使得平面與平面夾角的余弦值為.18.已