江蘇省部分學(xué)校新高三暑期效果聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題

2025屆新高三暑期效果聯(lián)合測評高三數(shù)學(xué)試卷滿分150分，考試用時120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集的含義即可.【詳解】由題意得.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】對復(fù)數(shù)化簡后，再求其模.【詳解】因?yàn)椋?故選：C3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角余弦公式和差角余弦公式可得，求解即可.【詳解】由題，所以.故選：A4.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小即得.【詳解】依題意，，，，而，所以.故選：D5.在等差數(shù)列中，，，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知，，仍為等差數(shù)列，代入即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，在等差數(shù)列中，，仍為等差數(shù)列，所以，所以．故選：C．6.已知函數(shù)，則（

）A.有三個極值點(diǎn) B.有三個零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線對稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)后判斷單調(diào)性，從而求得極值點(diǎn)即可判斷A；利用單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可判斷B；令，得到是奇函數(shù)，是的對稱中心，再結(jié)合圖象的平移規(guī)律即可判斷C；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程即可判斷D.【詳解】對于A，由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A不正確；對應(yīng)B，因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個零點(diǎn)，故B錯誤；對于C，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；對于D，令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，故D錯誤.故選：C7.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則（）A3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求解即可.【詳解】在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以.故選：D.8.已知正三棱錐的側(cè)棱與底面邊長的比值為，則三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正棱錐的性質(zhì)，先過頂點(diǎn)作底面的垂線，由線面角的定義和題干數(shù)據(jù)進(jìn)行求解.【詳解】如圖，為等邊三角形，為中點(diǎn)，作面垂足為，設(shè)，則，根據(jù)正棱錐性質(zhì)，則，根據(jù)線面角的定義，三棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，則.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列四個結(jié)論中，正確的有（）A.存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為B.存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為C.存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為D.存在點(diǎn)，使得平面【答案】CD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷AB；求出三棱錐的體積判斷C；利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷D.【詳解】在棱長為1的正方體中，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)，即點(diǎn)，且，對于AB，，則，即，因此不存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為或，AB錯誤；對于C，假設(shè)存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，而，且點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，當(dāng)點(diǎn)為線段的靠近的三等分點(diǎn)，即時，三棱錐的體積為，C正確；對于D，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，而，則，解得，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即時，使得平面，D正確.故選：CD10.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（）A. B.為偶函數(shù)C.的周期為4 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)及得，通過賦值，結(jié)合判斷A；根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)判斷B；通過賦值根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷C；根據(jù)函數(shù)的周期為6，并且結(jié)合及賦值法求得，進(jìn)而求和判斷D.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：根據(jù)及得，令，，可得，且，可得，令，則，則，即，可知為偶函數(shù)，故B正確；對于C：令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，且，，令，，可得，所以，則，，，，所以，又周期為6，所以，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.11.已知圓，則（）A.圓與直線必有兩個交點(diǎn)B.圓上存在4個點(diǎn)到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，則四邊形面積最小值為2【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線切過定點(diǎn)切該定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷A；求出圓的圓心到直線的距離可判斷B；將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，轉(zhuǎn)化為兩圓外切可判斷C；由，且當(dāng)最小時最小時可判斷D.【詳解】對于A，將直線整理得，由，知，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以該定點(diǎn)在圓內(nèi)，故A正確；對于B，圓的圓心到直線的距離為，所以過圓心且與直線平行的直線與圓相交有兩個點(diǎn)到直線的距離為1，與直線平行且與圓相切，并且與直線在圓心同側(cè)的直線到的距離為1，所以只有三個點(diǎn)滿足題意，故B錯誤；對于C，將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，所以，解得，故C正確；對于D，連接，因?yàn)闉榍悬c(diǎn)，所以，所以，且當(dāng)最小時，最小，所以當(dāng)與直線垂直時，，又因?yàn)榘霃綖?，所以，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.某同學(xué)參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)知識競賽，在4道四選一的單選題中，有3道有思路，有1道完全沒有思路，有思路的題每道做對的概率均為，沒有思路的題只好任意猜一個答案．若從這4道題中任選2題作答，則該同學(xué)2道題都做對的概率為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)排列組合以及概率的乘法公式，再分兩個題目都有思路和一個有思路一個沒有思路討論即可求解.【詳解】設(shè)事件A表示“兩道題全做對”，若兩個題目都有思路，則；若兩個題目中一個有思路一個沒有思路，則；故.故答案為：.13.在中，，點(diǎn)D在線段上，，，，點(diǎn)M是外接圓上任意一點(diǎn)，則最大值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合勾股定理、余弦定理，可得，，由正弦定理，可得外接圓半徑，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合數(shù)量積公式，可得的最大值，即可得答案.【詳解】由題意可得：，，所以，解得，則，設(shè)的外心為，外接圓的半徑為，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的線性運(yùn)算知，，所以，由圖可知：．當(dāng)且同向時，，所以最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量解題方法1．平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)．2．正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識，注重數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．提醒：運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時，務(wù)必要注意兩向量的方向．14.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在E上，直線與直線相交于點(diǎn)M，若，則E的離心率為____________．【答案】【解析】【分析】作出輔助線，得到，根據(jù)雙曲線定義得到，，設(shè)，列出方程，解得，這里取，則，由列出方程，求出，得到離心率.【詳解】由題意得為雙曲線的一條漸近線，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，故，，由雙曲線定義得，即，故，設(shè)，則，解得，這里取，則，，則，又，故，化簡得，故.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），證明：.【答案】（1），；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知得，得到是以為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法即可求證.【小問1詳解】由，，得，又，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，.【小問2詳解】證明：因?yàn)?，所?16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處切線方程.（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出、，利用直線的點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為的圖象有2個交點(diǎn)，令，利用導(dǎo)數(shù)求出值域，結(jié)合圖象可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以,，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】，由得，的圖象有2個交點(diǎn)，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，且時，，，所以時，，所以的大致圖象如下，所以若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上．（1）若，證明：平面；（2）若二面角的正切值為5，求BQ的長．【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)M，連接MP，MB，利用平行四邊形證明，由判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量法求出二面角的正切值，解出，即可得解.【小問1詳解】取的中點(diǎn)M，連接MP，MB，如圖，在四棱臺中，四邊形是梯形，，又點(diǎn)M，P分別是棱的中點(diǎn)，所以，且．在正方形ABCD中，，又，所以．從而且，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；【小?詳解】在平面中，作于O．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD．在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則．以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，，所以又，所以．易得，所以．設(shè)，所以．設(shè)平面PDQ的法向量為，由，得，令，可得，另取平面DCQ的一個法向量為．設(shè)二面角平面角為，由題意得．又，所以，解得（舍負(fù)），因此．所以當(dāng)二面角的正切值為5時，BQ的長為1．18.為了研究美國人用餐消費(fèi)與小費(fèi)支出的關(guān)系，隨機(jī)抽取了7位用餐顧客進(jìn)行調(diào)查，得樣本數(shù)據(jù)如下：消費(fèi)（單元：美元）3240508663100133小費(fèi)（單位：美元）56798912相關(guān)公式：，．參考數(shù)據(jù)：，．（1）求小費(fèi)（單位：美元）關(guān)于消費(fèi)（單位：美元）的線性回歸方程（其中的值精確到0.001）；（2）試用（1）中的回歸方程估計當(dāng)消費(fèi)200美元時，要付多少美元的小費(fèi)（結(jié)果精確到整數(shù)）？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算、，求出、，寫出回歸方程；（2）用（1）中的回歸方程，計算時的值．【小問1詳解】依題意可得，，，；，，關(guān)于的線性回歸方程為；【小問2詳解】由（1）可得當(dāng)時，；估計消費(fèi)200美元時，要付美元的小費(fèi)．19.已知拋物線：，圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若直線：分別與拋物線相交于點(diǎn)A，（在B的左側(cè)）、與圓相交于點(diǎn)S，（S在的左側(cè)），且與的面積相等，求出的取值范圍；（2）已知，，是拋物線上的三個點(diǎn)，且任意兩點(diǎn)連線斜率都存在.其中，均與圓相切，請判斷此時圓心到直線的距離是否為定值，如果是定值，請求出定值；若不是定值，請說明理由.【答案】（1）（2）是，定值為1.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將三角形面積相等轉(zhuǎn)化為，再利用設(shè)而不求分別求得，，從而得到，再由判別式即可得解.（2）充分利用，得到直線與的方程，利用與圓相切的性質(zhì)同構(gòu)出直線的方程，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)榕c的面積相等，且與的高均為原點(diǎn)到直線的距離，所以，則，設(shè)，，，，則，即，直線：代入拋物線，得，因?yàn)橹本€與拋物線交于，兩點(diǎn)，所以，則，直線：代入圓：，得，因?yàn)橹本€與圓于S，T兩點(diǎn)，所以，即，即，所以，由，得，又，則，將其代入得，解得；將其代入得，解得.綜上，的取值范圍為.【小問2詳解】由題，易知直線，，