浙江省錢塘聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期錢塘聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.若直線，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線方程得到直線的斜率，從而得到傾斜角.【詳解】直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：A2.已知，則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑.【詳解】，即，故該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．故選：A．3.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.且【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以列出不等式組，解得的范圍即可．【詳解】方程表示橢圓，，得，得且．故選：D．4.在的展開式中的系數(shù)為，則（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)寫出含的項(xiàng)，即可得.【詳解】易知展開式中含的項(xiàng)為，解得.故選：B5.已知三棱錐，是以為斜邊的直角三角形，是邊長為2的等邊三角形，且平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件知，外接球的球心在過的中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，設(shè)球半徑為，外接圓半徑為，利用勾股定理即可求解．【詳解】設(shè)直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，半徑為，因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，即，又平面，平面，所以，，所以，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺闹苯侨切危?，所以，設(shè)外接球的半徑，球心為，連接、，，則平面且，即，所以三棱錐外接球的表面積是．故選：B．6.已知3名教師和4名學(xué)生排成一排照相，每位教師互不相鄰，且教師甲和學(xué)生乙必須相鄰，一共有多少種不同的排法？（）A.144 B.288 C.576 D.720【答案】C【解析】【分析】利用捆綁法和插空法結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】先將教師甲和學(xué)生乙捆綁成一個(gè)元素，與另外3名學(xué)生全排列，則有種方法，再將剩下的兩名教師插入除去與教師甲相鄰的四個(gè)空位中，有種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有種不同的排法，故選：C7.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題目，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是，，則（）A.數(shù)列第16項(xiàng)為144 B.數(shù)列第16項(xiàng)為128C.200是數(shù)列第18項(xiàng) D.200不是數(shù)列中的項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列已知項(xiàng)可分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)得規(guī)律即可判斷各選項(xiàng).【詳解】由此數(shù)項(xiàng)的前10項(xiàng)的規(guī)律可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，對于AB，，所以A錯誤，B正確，對于C，，所以C錯誤，對于D，若200中偶數(shù)項(xiàng)，則，得，所以200是此數(shù)列的第20項(xiàng)，所以D錯誤，故選：B8.已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交圓于兩點(diǎn)，其中位于第一象限，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到，由焦半徑得到，，從而得到，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】由題意得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不滿足交拋物線于兩點(diǎn)，舍去，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，方程的判別式，設(shè)，則，，則，，其中的圓心為，半徑為1，故，同理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若，則是銳角C.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D.若對空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面定理即可判斷A；根據(jù)，得到，即可判斷B；根據(jù)題意得到不共面，即可判斷C；根據(jù)即可判斷D.【詳解】對A，根據(jù)空間向量共面定理知：空間中三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，故A正確；對B，若，則，故B錯誤對C，假設(shè)共面，則，因?yàn)橄蛄拷M是空間的一個(gè)基底，所以不存實(shí)數(shù)，使得成立，故不共面，即也是空間的一個(gè)基底，故C正確.對D，因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)共面，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線，為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有一條B.動點(diǎn)到直線的最小距離為C.動點(diǎn)到直線的距離與到軸距離之和的最小值為1D.過作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線斜率為1【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線的性質(zhì)可知A錯誤，求出過點(diǎn)且與直線平行的拋物線切線方程可得B正確；利用拋物線定義將距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)到直線的距離的最值問題可得C正確；聯(lián)立直線和拋物線方程并利用的中點(diǎn)坐標(biāo)求得直線方程可得D正確.【詳解】對于A，如下圖所示：過點(diǎn)A與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條，一條是以為切點(diǎn)的切線，另一條是過點(diǎn)A且斜率為0的直線；所以A錯誤；對于B，將直線平移到與拋物線相切，切點(diǎn)為A時(shí)，動點(diǎn)到直線的距離最小，如下圖所示：不妨設(shè)切線方程為，聯(lián)立并整理可得，此時(shí)，解得，即切線為；此時(shí)兩平行線之間的距離最小為,即B正確；對于C，易知拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，作垂直于準(zhǔn)線，垂直于直線，如下圖所示：由拋物線定義可得，所以動點(diǎn)到軸的距離為，而動點(diǎn)到直線的距離為，所以動點(diǎn)到直線的距離與到軸距離之和為，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最??；最小值為焦點(diǎn)到直線的距離再減去1，即，可知C正確；對于D，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，；與拋物線聯(lián)立并整理可得，由韋達(dá)定理可得，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，可得，又在直線上，解得，即，即直線斜率為1，可得D正確.故選：BCD11.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)：如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列．若函數(shù)，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.【答案】AB【解析】【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的切線方程，再將代入判斷即可，對于BCD，由，化簡可得，然后分析判斷即可.【詳解】對于A，由，得，所以在點(diǎn)處切線的斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，所以，所以A正確，對于BCD，由選項(xiàng)A可知，，所以，，所以，所以，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以C錯誤，因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，所以B正確，因?yàn)椋訢錯誤，故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查等比數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題意求得，考查計(jì)算能力，屬于較難題.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.有5本不同的書，全部借給3人，每人至少1本，共有______種不同的借法.【答案】150【解析】【分析】將5本不同的書分成滿足題意的3組有1，1，3與2，2，1兩種，分別計(jì)算可得分成1、1、3與分成2、2、1時(shí)的分組情況種數(shù)，相加可得答案．【詳解】解：將5本不同的書分成滿足題意的3組有1，1，3與2，2，1兩種，分成1、1、3時(shí)，有種分法，分成2、2、1時(shí)，有種分法，所以共有種分法，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查組合、排列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)，注意加法原理與乘法原理的使用．13.已知圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則該雙曲線的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】求出圓心和半徑，漸近線方程，得到圓心到的距離為1，從而得到方程，求出，進(jìn)而得到離心率.【詳解】的漸近線方程為，，圓心為，半徑為2，由幾何關(guān)系得，圓心到的距離為1，即，解得，故離心率為故答案為：14.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，依題意可判斷在上單調(diào)遞減，將不等式變形成，利用函數(shù)單調(diào)性即可得不等式解集.【詳解】令，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即可得在上單調(diào)遞減，由不等式可得；即，因此可得，解得.即不等式的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)不等式解集問題時(shí)，利用已知條件并合理構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求得不等式解集.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知（1）求；（2）求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，則，再寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)計(jì)算可得；（2）令求出，令求出各項(xiàng)系數(shù)和，即可得解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，則，則展開式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，所以；【小問2詳解】對于，令，可得；令，可得，所以.16.已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出公差和公比，得到方程組，求出公差和公比，得到通項(xiàng)公式；（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式分組求和.【小問1詳解】設(shè)公差為，公比為，，因?yàn)?，故，解得（舍去）或，故，；【小?詳解】，故.17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明，再設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)證明，即可得證.【小問1詳解】因?yàn)?，則，，則，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，先證，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），再證，設(shè)，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，（）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，（）單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，所以．18.如圖，現(xiàn)有三棱錐和，其中三棱錐的棱長均為，三棱錐有三個(gè)面是全等的等腰直角三角形，一個(gè)面是等邊三角形，現(xiàn)將這兩個(gè)三棱錐的一個(gè)面完全重合組成一個(gè)組合體．（1）求這個(gè)組合體的體積；（2）求證：平面（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）將多面體補(bǔ)形為正方體，則多面體的體積可用正方體體積減去三個(gè)棱錐體積即可求得；（2）由面面平行證得線面平行；（3）在正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量，利用向量夾角公式即可求得．【小問1詳解】由題意，可將組合體補(bǔ)形為正方體，如圖所示，由，可得正方體棱長，故多面體的體積；【小問2詳解】在正方體中，平面平面，平面，故平面，即平面；【小問3詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，所以，取平面的一個(gè)法向量為，則，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，故二面角的余弦值為.19.如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長軸和短軸，則稱它們?yōu)椤皩\生”曲線，若雙曲線與橢圓是“孿生”曲線，且橢圓，（分別為曲線的離心率）（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為①是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在求出的值；若不存在，請說明理由；②試探究的取值范圍．【答案】（1）（2）①存在實(shí)數(shù)使得，理由見解析，②.【解析】【分析】（1）根據(jù)“孿生”曲線定義，直接列式計(jì)算可得答案；（2）①直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，進(jìn)而證明其比值為定值；②根據(jù)題意得，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出的范圍可得答案.【小問1詳解】根據(jù)題意雙曲線，因?yàn)?，解得，雙曲線的方程為；【小問2詳解】①，存在實(shí)數(shù)，使得，理由如下，若直線