高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練67列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

六十七列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(時間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2023·聊城模擬)根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到χ2=6.147.依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)(x0.01=6.635),結(jié)論為 ()A.變量x與y不獨(dú)立B.變量x與y不獨(dú)立,這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01C.變量x與y獨(dú)立D.變量x與y獨(dú)立,這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01【解析】選C.依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),當(dāng)χ2=6.147<6.635時,可以認(rèn)為變量x與y獨(dú)立.2.(5分)(2023·達(dá)州模擬)四川省從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實(shí)行高考綜合改革,高考采用“3+1+2”模式,其中“1”為首選科目,即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿,對部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查,制作出如下兩個等高堆積條形圖,根據(jù)條形圖信息,下列結(jié)論正確的是 ()A.樣本中選擇物理學(xué)科的男生人數(shù)少于選擇歷史學(xué)科的女生人數(shù)B.樣本中女生選擇歷史學(xué)科的人數(shù)多于男生選擇歷史學(xué)科的人數(shù)C.樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多D.樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)【解析】選C.根據(jù)等高堆積條形圖圖1可知樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多,故C正確;根據(jù)等高堆積條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù),故D錯誤;樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇歷史學(xué)科的人數(shù),而選擇物理學(xué)科的男生比例高,選擇歷史學(xué)科的女生比例低,所以樣本中選擇物理學(xué)科的男生人數(shù)多于選擇歷史學(xué)科的女生人數(shù),故A錯誤;樣本中女生選擇歷史學(xué)科的人數(shù)不一定多于男生選擇歷史學(xué)科的人數(shù),故B錯誤.3.(5分)為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用,把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設(shè)H0:“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”,利用2×2列聯(lián)表計(jì)算的結(jié)果,認(rèn)為H0成立的可能性不足1%,那么χ2的一個可能取值為 ()附:(以下同用)χ2=n(ad-bc)2(a+b)(cα0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828A.7.879 B.6.635 C.5.024 D.3.841【解析】選A.若H0成立的可能性不足1%,則χ2>6.635,由選項(xiàng)知:χ2=7.879.4.(5分)(2023·濱州模擬)針對時下的“短視頻熱”,某高校團(tuán)委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)均為5m(m∈N*),男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的45,女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的35.零假設(shè)為H0:喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立,則m的最小值為 (A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選C.根據(jù)題意,不妨設(shè)a=4m,b=m,c=3m,d=2m,于是χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=10m·(55.(5分)(多選題)(2023·福州模擬)千百年來,我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、暗度、顏色等的變化總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn),并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語,如“日落云里走,雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走,雨在半夜后”,觀察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣,得到2×2列聯(lián)表,并計(jì)算得到χ2≈19.05,下列小波對A地區(qū)天氣的判斷正確的是 ()日落云里走夜晚天氣(單位:天)下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545A.夜晚下雨的概率約為1B.未出現(xiàn)“日落云里走”,夜晚下雨的概率約為5C.依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D.依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),若出現(xiàn)“日落云里走”,則認(rèn)為夜晚一定會下雨【解析】選ABC.對于A,根據(jù)列聯(lián)表,100天中有50天下雨,50天未下雨,所以夜晚下雨的概率約為50100=12,故A對于B,未出現(xiàn)“日落云里走”,夜晚下雨的有25天,未出現(xiàn)“日落云里走”的一共25+45=70(天),所以未出現(xiàn)“日落云里走”,夜晚下雨的概率約為2570=514,故B對于C,由題意可知χ2≈19.05>7.879,因此依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān),故C正確;對于D,由選項(xiàng)C知,有關(guān)只是說可能性,不代表一定下雨,故D錯誤.6.(5分)(多選題)(2023·常州模擬)北京冬奧會成功舉辦后,大眾對冰雪運(yùn)動關(guān)注度不斷上升,為研究市民對冰雪運(yùn)動的喜好是否和性別有關(guān),某校學(xué)生社團(tuán)對市民進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查,得到列聯(lián)表如下:冰雪運(yùn)動的喜好性別合計(jì)男性女性喜歡140m140+m不喜歡n8080+n合計(jì)140+n80+m220+m+n若男性喜歡冰雪運(yùn)動的人數(shù)占男性人數(shù)的710,女性喜歡冰雪運(yùn)動的人數(shù)占女性人數(shù)的35,則 (A.列聯(lián)表中n的值為60,m的值為120B.隨機(jī)對一位路人進(jìn)行調(diào)查,有95%的可能性對方喜歡冰雪運(yùn)動C.根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們認(rèn)為市民對冰雪運(yùn)動的喜好和性別有關(guān)D.根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們認(rèn)為市民對冰雪運(yùn)動的喜好和性別無關(guān)【解析】選ACD.因?yàn)槟行韵矚g冰雪運(yùn)動的人數(shù)占男性人數(shù)的710,所以140140+n=710,解得n=60,又因?yàn)榕韵矚g冰雪運(yùn)動的人數(shù)占女性人數(shù)的35,所以m80+m=35260400=0.65,所以隨機(jī)對一位路人進(jìn)行調(diào)查,有65%的可能性對方喜歡冰雪運(yùn)動,故B錯誤填寫列聯(lián)表如下:冰雪運(yùn)動的喜好性別合計(jì)男性女性喜歡140120260不喜歡6080140合計(jì)200200400由表中數(shù)據(jù),計(jì)算χ2=400×(140×80-120×60)2260×140×200×200≈4.396>3.841=x0.05,根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們認(rèn)為市民對冰雪運(yùn)動的喜好和性別有關(guān),故C正確;因?yàn)棣?≈4.396<6.635=x0.01,根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們認(rèn)為市民對冰雪運(yùn)動的喜好和性別無關(guān),故7.(5分)一項(xiàng)研究同年齡段的男、女生的注意力差別的腦功能實(shí)驗(yàn),其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示:項(xiàng)目注意力穩(wěn)定注意力不穩(wěn)定男生297女生335則χ2=________(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位),依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),該實(shí)驗(yàn)________該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對于性別沒有顯著差異(填“支持”或“不支持”).

【解析】由題表中數(shù)據(jù)可知a=29,b=7,c=33,d=5,n=a+b+c+d=74,根據(jù)χ2=n(計(jì)算可知χ2=74×(145-231)2(29+33)×(33+5)×(7+5)×(29+7)≈0.538<3.841=x0所以沒有充分證據(jù)認(rèn)為學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上與性別有關(guān),即該實(shí)驗(yàn)支持該年齡段的學(xué)生在注意力的穩(wěn)定性上對于性別沒有顯著差異.答案:0.538支持8.(5分)為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì),提高適應(yīng)自然環(huán)境、克服困難的能力,某校在課外活動中新增了一項(xiàng)登山活動,并對“學(xué)生喜歡登山和性別是否有關(guān)”做了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同,得到如圖所示的等高堆積條形統(tǒng)計(jì)圖,則下列說法中正確的有________(填序號).

①被調(diào)查的學(xué)生中喜歡登山的男生人數(shù)比喜歡登山的女生人數(shù)多②被調(diào)查的女生中喜歡登山的人數(shù)比不喜歡登山的人數(shù)多③若被調(diào)查的男女生均為100人,則可以認(rèn)為喜歡登山和性別有關(guān)④無論被調(diào)查的男女生人數(shù)為多少,都可以認(rèn)為喜歡登山和性別有關(guān)【解析】因?yàn)楸徽{(diào)查的男女生人數(shù)相同,由題中等高堆積條形統(tǒng)計(jì)圖可知,喜歡登山的男生占80%,喜歡登山的女生占30%,所以①正確,②錯誤;設(shè)被調(diào)查的男女生人數(shù)均為n,則由等高堆積條形統(tǒng)計(jì)圖可得列聯(lián)表如下:對登山的喜好性別合計(jì)男女喜歡0.8n0.3n1.1n不喜歡0.2n0.7n0.9n合計(jì)nn2n由公式可得:χ2=2n×(0.8當(dāng)n=100時,χ2=50n99=50×10099>50,可以判斷喜歡登山和性別有關(guān),故而χ2=50n99,所以χ2的值與n的取值有關(guān).故④答案:①③9.(10分)某學(xué)校開展消防安全教育活動,邀請消防隊(duì)進(jìn)校園給師生進(jìn)行培訓(xùn),培訓(xùn)結(jié)束后抽取了部分學(xué)生進(jìn)行消防安全知識測試(滿分100分),所得分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表①所示,并按照學(xué)生性別進(jìn)行分類,所得數(shù)據(jù)如表②所示.表①得分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)50100200400250表②項(xiàng)目男生女生得分不低于80分4ab得分低于80分ab(1)估計(jì)這次測試學(xué)生得分的均值;(每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(2)依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異?【解析】(1)依題意,估計(jì)均值為55×501000+65×1001000+75×2001000+85×4001000(2)依題意,4a+b=650可得2×2列聯(lián)表:得分情況性別合計(jì)男生女生得分不低于80分400250650得分低于80分100250350合計(jì)5005001000則χ2=1000×(400×250-250×100)2500×500×650×350≈98.故依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能判斷男生和女生對消防安全知識的掌握情況有差異.【能力提升練】10.(5分)下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是 ()A.獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)B.獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系C.利用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中,若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時,則我們可以說在100個吸煙的人中,有99人患肺病D.對于獨(dú)立性檢驗(yàn),隨機(jī)變量χ2的值越小,判定“兩個變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大【解析】選D.對于A,獨(dú)立性檢驗(yàn)是通過卡方計(jì)算來判斷兩個變量存在關(guān)聯(lián)的可能性的一種方法,并非檢驗(yàn)二者是否為線性相關(guān),故錯誤;對于B,獨(dú)立性檢驗(yàn)并不能100%確定兩個變量相關(guān),故錯誤;對于C,99%是指“抽煙”和“患肺病”存在關(guān)聯(lián)的可能性,并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率,故錯誤;對于D,根據(jù)卡方計(jì)算的定義可知該選項(xiàng)正確.11.(5分)如圖是調(diào)查某學(xué)校高一年級男、女生是否喜歡徒步運(yùn)動而得到的等高堆積條形圖,陰影部分表示喜歡徒步的頻率.已知該年級有男生500人、女生400人(假設(shè)所有學(xué)生都參加了調(diào)查),現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取23人,則抽取的男生人數(shù)為________.

【解析】根據(jù)題中等高堆積條形圖可知,喜歡徒步的男生人數(shù)為0.6×500=300,喜歡徒步的女生人數(shù)為0.4×400=160,所以喜歡徒步的總?cè)藬?shù)為300+160=460,按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取23人,則抽取的男生人數(shù)為300460×23=15答案:1512.(10分)(2023·河南聯(lián)考)清明節(jié),又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等,是傳統(tǒng)的重大春祭節(jié)日,掃墓祭祀、緬懷祖先,是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng).某社區(qū)進(jìn)行流動人口統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖,得到如下不完整的2×2列聯(lián)表:年齡是否回老家情況合計(jì)回老家不回老家50周歲及以下5550周歲以上1540合計(jì)100(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)完成以上2×2列聯(lián)表,并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)該社區(qū)流動人口中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率;(2)若依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為是否回老家祭祖與年齡有關(guān)?【解析】(1)補(bǔ)全表格如下:年齡是否回老家情況合計(jì)回老家不回老家50周歲及以下5556050周歲以上152540合計(jì)2080100該社區(qū)中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為1540=3(2)因?yàn)棣?=100×(5×25-15×55)220×80×60×40=122596≈12所以依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),可以認(rèn)為是否回老家祭祖與年齡有關(guān).13.(10分)體育運(yùn)動是強(qiáng)身健體的重要途徑,《中國兒童青少年體育健康促進(jìn)行動方案(20202030)》(下面簡稱“體育健康促進(jìn)行動方案”)中明確提出青少年學(xué)生每天在校內(nèi)參與不少于60分鐘的中高強(qiáng)度身體活動的要求.隨著“體育健康促進(jìn)行動方案”的發(fā)布,體育運(yùn)動受到各地中小學(xué)的高度重視,眾多青少年的體質(zhì)健康得到很大的改善.某中學(xué)教師為了了解體育運(yùn)動對學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的影響情況,現(xiàn)從該中學(xué)高三年級的一次月考中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生,調(diào)查他們平均每天的體育運(yùn)動情況以及本次月考的數(shù)學(xué)成績情況,得到如表數(shù)據(jù):約定:平均每天進(jìn)行體育運(yùn)動的時間不少于60分鐘的為“運(yùn)動達(dá)標(biāo)”,數(shù)學(xué)成績排在年級前50%以內(nèi)(含50%)的為“數(shù)學(xué)成績達(dá)標(biāo)”.(1)求該中學(xué)高三年級本次月考數(shù)學(xué)成績的第65百分位數(shù);(2)請估計(jì)該中學(xué)高三年級本次月考數(shù)學(xué)成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(3)請根據(jù)已知數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析“數(shù)學(xué)成績達(dá)標(biāo)”是否與“運(yùn)動達(dá)標(biāo)”相關(guān).運(yùn)動數(shù)學(xué)成績合計(jì)達(dá)標(biāo)人數(shù)不達(dá)標(biāo)人數(shù)達(dá)標(biāo)人數(shù)不達(dá)標(biāo)人數(shù)合計(jì)【解析】(1)每組的頻率依次為0.025,0.125,0.350,0.300,0.150,0.050,因?yàn)?.025+0.125+0.350=0.500<0.65,0.025+0.125+0.350+0.300=0.800>0.65,且0.500+0.8002=0.所以高三年級本次月考數(shù)學(xué)成績的第65百分位數(shù)位于[90,110)內(nèi),且為[90,110)的中點(diǎn)100,故該中學(xué)高三年級本