文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫全國版試題第8章第4講直線平面垂直的判定及性質(zhì)（考題幫數(shù)學(xué)文）

第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)題組直線、平面垂直的判定及性質(zhì)1.[2017全國卷Ⅲ,10,5分][文]在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CD的中點,則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC2.[2013新課標全國Ⅱ,4,5分]已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α與β相交,且交線垂直于lD.α與β相交,且交線平行于l3.[2017北京,18,14分][文]如圖841,在三棱錐PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點.(Ⅰ)求證:PA⊥BD;圖841(Ⅱ)求證:平面BDE⊥平面PAC;(Ⅲ)當(dāng)PA∥平面BDE時,求三棱錐EBCD的體積.4.[2017山東,18,12分][文]由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖842所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點,E為AD的中點,A1E⊥平面ABCD.(Ⅰ)證明:A1O∥平面B1CD1;(Ⅱ)設(shè)M是OD的中點,證明:平面A1EM⊥平面B1CD1.圖8425.[2016四川,17,12分][文]如圖843,在四棱錐PABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12(Ⅰ)在平面PAD內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由;(Ⅱ)證明:平面PAB⊥平面PBD.圖8436.[2015新課標全國Ⅰ,18,12分][文]如圖844,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE⊥平面ABCD.(Ⅰ)證明:平面AEC⊥平面BED;(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐EACD的體積為63,求該三棱錐的側(cè)面積圖8447.[2015湖北,20,13分][文][數(shù)學(xué)文化題]《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖845所示的陽馬PABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點E是PC的中點,連接DE,BD,BE.(Ⅰ)證明:DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;(Ⅱ)記陽馬PABCD的體積為V1,四面體EBCD的體積為V2,求V1V圖845A組基礎(chǔ)題1.[2018南昌市高三調(diào)考,10]如圖846,四棱錐PABCD中,△PAB與△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,則下列結(jié)論不一定成立的是()圖846A.PB⊥AC B.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PD D.平面PBD⊥平面ABCD2.[2018南寧市摸底聯(lián)考,16]如圖847,在正方形ABCD中,AC為對角線,E,F分別是BC,CD的中點,G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點重合,重合后的點記為H.下列說法錯誤的是(將符合題意的序號填到橫線上).

圖847①AG⊥△EFH所在平面;②AH⊥△EFH所在平面;③HF⊥△AEF所在平面;④HG⊥△AEF所在平面.3.[2018廣東七校聯(lián)考,19]如圖848,在四棱錐PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為菱形,AD=2,∠DAB=60°,E為AB的中點.圖848(1)證明:平面PCD⊥平面PDE;(2)若PD=3AD,求點E到平面PBC的距離.4.[2018唐山市五校聯(lián)考,19]如圖849,在四棱錐PABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點.(1)求證:平面EAC⊥平面PBC;(2)若PC=2,求三棱錐CPAB的高.圖8495.[2017成都市三診,18]如圖8410,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,DE=2,M為線段BF的中點,連接CM,DM,EM.(1)求三棱錐MCDE的體積;(2)求證:DM⊥平面ACE.圖8410B組提升題6.[2018惠州市一調(diào),19]如圖8411,在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,點E在A1D上.(1)證明:AA1⊥平面ABCD;(2)當(dāng)A1EED為何值時,A1B∥平面EAC,并求出此時直線A1B與平面圖84117.[2018遼寧五校聯(lián)考,19]如圖8412所示,等腰梯形ABCD的底角A等于60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AB=2AF.(1)證明:平面ABE⊥平面EBD;(2)若三棱錐ABDE的外接球的體積為82π3,求三棱錐A圖84128.[2017南昌市三模,19]如圖8413,四棱錐PABCD的底面ABCD為平行四邊形,平面PAB⊥平面ABCD,PB=PC,∠ABC=45°.(1)求證:AB⊥PC;(2)若△PAB是邊長為2的等邊三角形,求三棱錐PABC外接球的表面積.圖8413答案1.C由正方體的性質(zhì),得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E?平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故選C.2.D由于m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,則平面α與平面β必相交,但未必垂直,且交線垂直于直線m,n,又直線l滿足l⊥m,l⊥n,則交線平行于l,故選D.3.(Ⅰ)因為PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,PA?平面ABC,所以PA⊥平面ABC.因為BD?平面ABC,所以PA⊥BD.(Ⅱ)因為AB=BC,D為AC的中點,所以BD⊥AC.由(Ⅰ)知,PA⊥BD,又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,BD?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又BD?平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(Ⅲ)因為PA∥平面BDE,PA?平面PAC,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因為D為AC的中點,所以DE=12PA=1,BD=DC=2由(Ⅰ)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.所以三棱錐EBCD的體積V=16BD·DC·DE=14.(Ⅰ)如圖D844,取B1D1的中點O1,連接CO1,A1O1,圖D844由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1O∥O1C,又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(Ⅱ)因為AC⊥BD,E,M分別為AD和OD的中點,所以EM∥AC,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以A1E⊥BD,因為B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1?平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.5.圖D845(Ⅰ)取棱AD的中點M(M∈平面PAD),如圖D845,點M即所求的一個點.理由如下:因為AD∥BC,BC=12AD,所以BC∥AM,且BC=AM所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而CM∥AB.又AB?平面PAB,CM?平面PAB,所以CM∥平面PAB.(說明:取棱PD的中點N,則所找的點可以是直線MN上任意一點)(Ⅱ)由已知,得PA⊥AB,PA⊥CD,因為AD∥BC,BC=12AD,所以直線AB與CD相交所以PA⊥平面ABCD.因為BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.連接BM,如圖D845所示,因為AD∥BC,BC=12AD所以BC∥MD,且BC=MD.所以四邊形BCDM是平行四邊形.所以BM=CD=12AD,所以BD⊥又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又BD?平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.6.(Ⅰ)因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.因為BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.因為BE∩BD=B,BE,BD?平面BED,AC?平面BED,所以AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(Ⅱ)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AC=3x,BD=x,所以AG=GC=32x,GB=GD=x因為AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=32由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形,可得BE=22由已知,得三棱錐EACD的體積VEACD=13×12AC×GD×BE=624x3=63從而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面積為3,△EAD的面積與△ECD的面積均為5.故三棱錐EACD的側(cè)面積為3+25.7.(Ⅰ)因為PD⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD為長方形,有BC⊥CD,又PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.因為DE?平面PCD,所以BC⊥DE.因為PD=CD,點E是PC的中點,所以DE⊥PC.因為PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形,即四面體EBCD是一個鱉臑,其四個面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(Ⅱ)由已知,知PD是陽馬PABCD的高,所以V1=13S長方形ABCD·PD=13BC·CD·由(Ⅰ)知,DE是鱉臑DBCE的高,BC⊥CE,所以V2=13S△BCE·DE=16BC·CE在Rt△PDC中,因為PD=CD,點E是PC的中點,所以DE=CE=22CD于是V1V2=13BCA組基礎(chǔ)題1.B如圖D846,對于選項A,取PB的中點O,連接AO,CO.∵在四棱錐PABCD中,△PAB與△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,∴AO⊥PB,CO⊥PB,∵AO∩CO=O,∴PB⊥平面AOC,∵AC?平面AOC,∴PB⊥AC,故選項A正確;對于選項B,設(shè)AC與BD交于點M,易知M為AC的中點,若PD⊥平面ABCD,則PD⊥BD,由已知條件知點D滿足AC⊥BD且位于BM的延長線上,∴點D的位置不確定,∴PD與BD不一定垂直,∴PD⊥平面ABCD不一定成立,故選項B不正確;對于選項C,∵AC⊥PB,AC⊥BD,PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBD,∵PD?平面PBD,∴AC⊥PD,故選項C正確;對于選項D,∵AC⊥平面PBD,AC?平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABCD,故選項D正確.選B.圖D8462.①③④根據(jù)折疊前AB⊥BE,AD⊥DF可得折疊后AH⊥HE,AH⊥HF,可得AH⊥平面EFH,即②正確;∵過點A只有一條直線與平面EFH垂直,∴①不正確;∵AG⊥EF,AH⊥EF,∴EF⊥平面HAG,∴平面HAG⊥平面AEF,過H作直線垂直于平面AEF,該直線一定在平面HAG內(nèi),∴③不正確;∵HG不垂直AG,∴HG⊥平面AEF不正確,④不正確,綜上,說法錯誤的是①③④.3.(1)∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AB,連接DB,如圖D847,圖D847∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,∴△DAB為等邊三角形,又E為AB的中點,∴AB⊥DE,又PD∩DE=D,∴AB⊥平面PDE.∵CD∥AB,∴CD⊥平面PDE.∵CD?平面PCD,∴平面PCD⊥平面PDE.(2)連接EC,如圖D847,∵AD=2,∴PD=23,∴在Rt△PDC中,PC=(23)2+∴易知S△PBC=12×2×42-(22)2=15,S△EBC=12×設(shè)點E到平面PBC的距離為h,由VPEBC=VEPBC得,13S△EBC·PD=13S△PBC·解得h=155∴點E到平面PBC的距離為1554.(1)因為PC⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PC⊥AC.因為AB=2,AD=CD=1,所以AC=BC=2,所以AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC.又BC∩PC=C,所以AC⊥平面PBC.因為AC?平面EAC,所以平面EAC⊥平面PBC.(2)由PC=2,PC⊥CB,得S△PBC=12×(2)2=1由題意易知Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB,所以PA=PB=AB=2,所以S△PAB=12×2×2sin60°=3由(1)知,AC為三棱錐APBC的高,設(shè)三棱錐CPAB的高為h,則13S△PAB·h=13S△PBC·AC,即13×3h=13×1×2故三棱錐CPAB的高為635.(1)如圖D848,記AC∩BD=O.∵底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,∴AC⊥BD,且AC=23,BD=2.∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,∴AC⊥平面BDEF.∵DE=2,M為線段BF的中點,∴S△DEM=12×2×2=2∴VMCDE=VCDEM=13S△DEM·AC2=13×2×3圖D848(2)連接OE,如圖D848所示.由(1),可知AC⊥平面BDEF,∴AC⊥DM.又由(1),知在矩形BDEF中,BD=DE=2,∴四邊形BDEF為正方形.∴在正方形BDEF中,tan∠BDM=12,tan∠DOE=2∴∠BDM+∠DOE=90°,∴OE⊥DM.∵AC∩OE=O,且AC,OE?平面ACE,∴DM⊥平面ACE.B組提升題6.(1)因為四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2,在△AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1⊥同理AA1⊥AD,又AB∩AD=A,所以AA1⊥平面ABCD.(2)當(dāng)A1EED=1時,A1B∥平面EAC.證明如下:如圖D849,連接BD交AC于點O,當(dāng)A1EED=1,即點E為A1D的中點時,連接OE,則OE∥A1B,又A1B?平面EAC圖D849直線A1B與平面EAC之間的距離等于點A1到平面EAC的距離,因為E為A1D的中點,所以點A1到平面EAC的距離等于點D到平面EAC的距離,VDEAC=VEACD,設(shè)AD的中點為F,連接EF,則EF∥AA1,且EF=1,所以EF⊥平面ACD,又△ACD為邊長為2的等邊三角形,所以可求得S△ACD=3,所以VEACD=13×1×3=3又AE=2,AC=2,CE=EF2+CF2=2,所以S△EAC=72,所以1