浙江省湖州市普通高中2023-2024學年高一下學期6月學情調查數(shù)學試卷

20232024學年度高一年級第二學期學情調查數(shù)學試卷本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)，，，則（）A.3 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)相等的充要條件，求出、，進而求出.【詳解】，，，.故選：C.2.用斜二測畫法作一個邊長為2的正方形，則其直觀圖的面積為（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則得到直觀圖的對應邊長關系，即可求出相應的面積.【詳解】根據(jù)斜二測畫法的原則可知，

所以對應直觀圖的面積為.

故選：D.3.“幸福感指數(shù)”是指人們主觀地評價自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標，常用區(qū)間內的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高．現(xiàn)隨機抽取10位某小區(qū)居民，他們的幸福感指數(shù)分別為3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.7.5 B.8 C.8.5 D.9【答案】C【解析】【分析】計算得，然后由第8個數(shù)據(jù)和第9個數(shù)據(jù)求平均數(shù)可得.【詳解】因為，所以第80百分位數(shù)是.故選：C4.已知向量，若∥，則的值等于（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，且∥，由平面向量共線的坐標表示結合商數(shù)關系求解.【詳解】因為，且∥，所以，即，所以.故選：D【點睛】本題主要考查平面向量共線的坐標表示以及同角三角函數(shù)基本關系式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.5.某中學數(shù)學興趣小組為了測量校園旗桿的高度，如圖所示，在操場上選擇了C、D兩點，在C、D處測得旗桿AB的仰角分別為、，在水平面上測得，且C，D的距離為12米，則旗桿的高度為（）A.9米 B.12米 C.米 D.15米【答案】B【解析】【分析】設旗桿的高度為，在中，利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設旗桿的高度為，所以，在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），故選：B6.若，則的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，再表達出，從而根據(jù)誘導公式與二倍角公式求解即可【詳解】設，則，故，故，則故選：D7.如圖，在中，已知，，，、邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取為基底，利用向量數(shù)量積求出，再利用向量夾角公式求解作答.【詳解】在中，令，，則，，因為、邊上的兩條中線，相交于點，則，，于是，，，所以.故選：A8.如圖所示，在棱長為1的正方體中，點分別是棱的中點，是側面內一點，若平面，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面平行的條件構造面面平行從而得到點的軌跡，在根據(jù)平面幾何知識求出的范圍.【詳解】如圖，取的中點，的中點，連接，顯然，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面,所以平面，因為，平面，平面,所以平面，又因為，所以平面平面，因為平面，所以平面，點在側面上，所以點位于線段上，因為，，所以當點位于點時，最大，當點位于的中點時，最小，此時，所以，所以線段長度的取值范圍是.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩條不相同的直線，是兩個不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若是異面直線，，則.B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)立體幾何相關定理逐項分析.【詳解】對于A，，則平面內必然存在一條直線，使得，并且，同理，在平面內必然存在一條直線，使得，并且，由于是異面直線，與是相交的，n與也是相交的，即平面內存在兩條相交的直線，分別與平面平行，，正確；設，并且，則有，顯然是相交的，錯誤；對于B，若，則不成立，錯誤；對于C，若，則平面上必然存在一條直線l與n平行，，即，正確；對于D，若，必然存在一個平面，使得，并且，，又，正確；故選:ACD.10.在中各角所對得邊分別為a，b，c，下列結論正確的有（）A.則為等邊三角形；B.已知，則；C.已知，，，則最小內角的度數(shù)為；D.在，，，解三角形有兩解．【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理一一計算可得；【詳解】解：對于A：若，則，即，即，即是等邊三角形，故A正確；對于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正確．對于C：因為，，，所以，所以，所以，，，故C正確；對于D：因為，，，所以，即解得，因為，所以，所以三角形只有1解；故選：ABC11.如圖，圓臺O2O2中，母線AB與下底面所成的角為60°，BC為上底面直徑，O2A=6O1B=6，則（）A.圓臺的母線長為10B.圓臺的側面積為C.由點A出發(fā)沿側面到達點C的最短距離是D.在圓臺內放置一個可以任意轉動的正方體，則正方體棱長的最大值是4【答案】ABD【解析】【分析】對A，根據(jù)軸截面分析即可；對B，根據(jù)圓臺的側面積公式求解即可；對C，將圓臺側面展開，再計算即可；對D，計算圓臺內能放下的最大球的直徑，再根據(jù)該球為此正方體外接球求解即可【詳解】對A，母線長為，故A正確；對B，由A母線長為10，則根據(jù)圓臺的側面積公式，故B正確；對C，由題意，側面全展開的圓心角為，因為此時，但線段有小部分不在扇環(huán)上，故由點A出發(fā)沿側面到達點C的最短距離大于，故C錯誤；對D，由題意，該圓臺的軸截面可補全為一個邊長為12的正三角形，故圓臺中能放下的最大球的半徑為，直徑為，故在圓臺內放置一個可以任意轉動的正方體，則正方體為該球的內接正方體，棱長為，故D正確；故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)的方差為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)方差的性質進行計算即可.【詳解】一組數(shù)據(jù)的方差是，另一組數(shù)據(jù)的方差為.故答案為：13.已知，則______.【答案】##0.8【解析】【分析】根據(jù)誘導公式化簡可得，即可根據(jù)二倍角公式以及齊次式求解.詳解】由可得，，故答案為：14.如圖，在正方體中，E.分別為棱的中點.則過點的截面分正方體上下兩部分的體積之比為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面的性質可得截面為多邊形，即可利用錐體體積公式求解.詳解】連接并延長交于，連接并延長交于于，連接交于，設正方體的棱長為1,根據(jù)相似可得,則截面即為所求；連接，如圖，則截面下部的體積.，則，于是，因此截面上下兩部分的體積之比為.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經成為推動消費的一種流行的營銷形式．某直播平臺800個直播商家，對其進行調查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．（1）該直播平臺為了更好地服務買賣雙方，打算隨機抽取40個直播商家進行問詢交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應抽取小吃類、玩具類商家各多少家？（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的40個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖2所示．請根據(jù)頻率分布直方圖計算下面的問題；（ⅰ）估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（結果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點値作代表）；（ⅱ）若將平均日利潤超過420元的商家成為“優(yōu)秀商家”，估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)．【答案】（1）小吃類16家，玩具類4家；（2）（i）中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5；（2）128.【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計算即可；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計算即可；（ii）根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個數(shù)來估計總體中“優(yōu)秀商家”的個數(shù)即可.【小問1詳解】，，所以應抽取小吃類16家，玩具類4家.小問2詳解】（i）根據(jù)題意可得，解得，設中位數(shù)為，因為，，所以，解得，平均數(shù)為，所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.（ii）,所以估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)為128.16.如圖，在四棱錐中，側面為正三角形，底面為直角梯形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點為，通過證明平面，從而可證得；（2）用等體積法求出點到平面距離，進而可得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】取中點為，連接，，.由側面為正三角形知，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴.在底面中，，，∴，同理有，，由勾股定理知，即，又∵，平面，平面，，∴平面，∵平面，∴.【小問2詳解】在中，，，∴，，，，，設到平面距離為，，∴.設與平面所成角為，則.17.在銳角中，記的內角的對邊分別為，點為的所在平面內一點，且滿足.（1）若，求的值；（2）在（1）條件下，求的最小值；【答案】（1）1（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結合兩角和的正弦公式求出，再由數(shù)量積的運算律得到，即為的外心，最后由正弦定理計算可得；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，求出的范圍，再結合余弦函數(shù)的性質求出最小值.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，因為，可得，所以，又因為，可得，所以，即，因為，所以，又由，可得，解得，即，所以為的外心，由正弦定理有，所以.【小問2詳解】因為，所以，所以，所以，外接圓的半徑，其中，且為銳角，故，由，可得，因為，解得，即，則，則，且，因為余弦函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，所以，所以，所以.18.如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）連接與，兩線交于點，連接，利用三角形中位線性質得到，再利用線面平行的判定即可證.（2）應用線面垂直的性質、判定可得平面，從而得到，根據(jù)和得到，再利用線面垂直的判定即可證.（3）當點為的中點，設的中點為，連接，，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，進而有平面，再利用面面垂直的判定即可證.【小問1詳解】連接與，兩線交于點，連接，在中，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為底面，平面，所以.又為棱的中點，，所以.因為，，平面，所以平面，平面，所以.因為，所以.又，在和中，，所以，即，所以，又，，平面，所以平面.【小問3詳解】當點為的中點，即時，平面平面.證明如下：設的中點為，連接，，因為，分別為，的中點，所以且，又為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，由（2）知：平面，所以平面，又平面，所以平面平面.19.已知i是虛數(shù)單位，a，，設復數(shù)，，，且.（1）若為純虛數(shù)，求；（2）若復數(shù)，在復平面上對應的點分別為A，B，且O為復平面的坐標原點.①是否存在實數(shù)a，b，使向量逆時針旋轉后與向量重合，如果存在，求實數(shù)a，b的值；如果不存在，請說明理由；②若O，A，B三點不共線，記的面積為，求及其最大值.【答案】（1）或（2）①存在，；②，最大值為2【解析】【分析】（1）計算，然后使其實部為零，虛部不為零，再結合可求出的值，從而可求出求；（2）①方法一：由題意可得，然后解關于的方程組可得結果，方法二：設則，再由題意得，從而可求得結果，②設向量的夾角為θ，，設復數(shù)所對應的向量為則，化簡后再利用可求得其最大值.【小問1詳解】因為復數(shù)，所以，而為純虛數(shù)，因此，即.又因為，且，所以，由，解得或，所以或.【小問2詳解】①存在，理由