數(shù)列求和方法歸納（教師版）

數(shù)列求和方法歸納總結(jié)（解答）分組求和（通項(xiàng)公式為不同的數(shù)列類型加減運(yùn)算）例1.已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）設(shè)的公差為，的公比為，由可得：，即①，由可得：，即②，聯(lián)立①②解得：或，因，故，于是，.（2）由（1）得：，，則，故.例2.已知，若.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）由，可得，故，而，故時(shí)，，也適合該式，故；（2）結(jié)合（1）可得，故.列項(xiàng)法求和常規(guī)列項(xiàng)方法：代數(shù)式/數(shù)字因式1×因式例1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和解析：（1）由得，，即，又，，，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，，，則，，數(shù)列的前項(xiàng)和．例2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=3（1）求{a（2）設(shè)bn=(-1)n(an【答案】（1）解：∵a1=3，∴又∵數(shù)列{Snn∴Snn=2n+1∵n≥2時(shí)，an∴n=1時(shí)，a1∴數(shù)列{an}（2）解：由（1）可得b所以T==-4n∴數(shù)列{bn}的前2n例3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明．解析：（1）設(shè)，由，得，所以或，由于，所以.所以，，.（2）由知：，故，由所以.錯(cuò)位相減法求和（通項(xiàng)公式為等差數(shù)列×等比數(shù)列）例1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若令，求數(shù)列的前項(xiàng)和解析：（1）設(shè)公差為，中，令得，又，則，解得，故；（2）；（3），則①，故②，故①②得，故.例2.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足；且對(duì)任意的正整數(shù)都有成立，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，為常數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）當(dāng)時(shí)，有，可解得；即，所以，兩式相減可得，整理得又，所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因此.數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由可得，所以，，兩式相減可得，即可得，又，所以，即；所以.奇偶項(xiàng)求和例1.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為（），數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.例2.已知等差數(shù)列中的前項(xiàng)和為，公差為，且成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.解析：（1）依題意，設(shè)公差為且，又，則，解得，則，故，所以，解得，則，故.（2），，.例3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；解析：（1）在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，由，則，即，因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列即.在數(shù)列中，，即，則當(dāng)時(shí)，，，，，由累加法得，所以，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以.（2）由（1）可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=，綜上可得.跟蹤訓(xùn)練1（多選）.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”．其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”．則下列說法正確的是（）A．該人第五天走的路程為12里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【答案】A,D【解析】【解答】由題意可得此人每天走了路程構(gòu)成了一個(gè)公比為12的等比數(shù)列，且S所以S6=a所以an對(duì)于A，因?yàn)閍5=192×(對(duì)于B，因?yàn)閍3=192×(對(duì)于C，S3=192×(1-對(duì)于D，該人最后三天共走的路程為S6-S故答案為：AD2.數(shù)列中，是的前n項(xiàng)和，，是等差數(shù)列，且，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．解析：（1）解：由數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，可得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榍?，可得，所以，所以，則，所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知，，可得，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和：.3.已知數(shù)列的首項(xiàng)是3，且滿足．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析：（1）證明：由，得，又．所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，，4.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的范圍.解析：（1）對(duì)任意的，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公差為1，所以，故.（2）當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的.所以，故.所以的范圍為.5.數(shù)列滿足，，.(1)求，；(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析：（1）令，得；令，得.（2），所以是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，所以，所以.6.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，的項(xiàng)和為且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)：(2)若，，求的前項(xiàng)和.解析：（1）由題意，若，由首項(xiàng)，可知，，此時(shí)，不符合題意，故，則由，可得化簡(jiǎn)整理，得，解得（舍去），或，，．（2）由（1），可得，故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，．7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）由，得，令，則，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，有，又滿足上式，所以，得，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以，故，兩式相減，得，所以.8.已知正