2020-2021學(xué)年江蘇省常州某中學(xué)高二年級上冊期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年江蘇省常州高級中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.以下判斷正確的是（）

A.命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題

B.命題EN,x3>x2n的否定是a3x€N,x3<

C."a=1"是函數(shù)f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期為兀的必要不充分條件

D.“b=0”是“函數(shù)人乃=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的充要條件

2.數(shù)列｛即｝滿足an=4an_i+3,且%=0,則此數(shù)列的第5項(xiàng)是（）

A.15B.255C.16D.36

3.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為Sn，若。5=2。2，則詈=（）

a2

A.4B.162C.9D.12

4.已知正方體48<7。一41當(dāng)（71。1的棱長為2,點(diǎn)尸在平面BCGBi內(nèi)，A

,八

且DiP_L4Ci，則線段的長度的最小值為（）/

D.2V6

5.現(xiàn)將甲、乙、丙、丁四個(gè)人安排到座位號分別是1,2,3,4的四個(gè)座位上，他們分別有以下要

求，

甲：我不坐座位號為1和2的座位；

乙：我不坐座位號為1和4的座位；

丙：我的要求和乙一樣；

T：如果乙不坐座位號為2的座位，我就不坐座位號為1的座位.

那么坐在座位號為3的座位上的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.如圖，在△力BC中，荏=3正，BE=3BM.則彳而=（）卜

A.IAB+^AC

B.-AB+-AC

24

C.—AB4—AC

36

D.-AB+-AC

43

2

7.設(shè)數(shù)列IglOO,lg(100smJ,lg(100sin5,……，lg(100sinnTJ)…的前〃項(xiàng)和為Sn,那么數(shù)

列{S"中最大的項(xiàng)是()

A.13B.14C.S13D.S14

8.△力BC中，AB=6,AC=8,Z.BAC=90°,△ABC所在平面a外一點(diǎn)尸到點(diǎn)A、B、C的距離都

是13,則P到平面a的距離為()

A.7B.9C.12D.13

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.己知空間向量五=(一2,—1,1),方=(3,4,5)，則下列結(jié)論正確的是()

A.(2a+h)//aB.5|a|=V3|K|

C.51(5a+6b)D.方與石夾角的余弦值為一直

6

10.下列說法正確的是()

A.過直線/外一點(diǎn)尸，有且僅有一個(gè)平面與/垂直

B.空間中不共面的四點(diǎn)能確定無數(shù)多個(gè)球

C.如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面

D.過點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)

11.狄利克雷函數(shù)f(x)=c是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù)，對于狄利克雷函數(shù)/(X),下列

命題中真命題的有()

A.對任意xeR,都有/[/(x)]=1

B.對任意xGR,都有/(-X)+/(x)=0

C.若a<0,b>1,則有{x|f(x)>a}={x|/(x)<b}

D.存在三個(gè)點(diǎn)Z(xi，/(xi)),e(x2J(x2)).C(x3J(x3)),使得△ABC為等腰三角形

12.關(guān)于下列命題，正確的是()

A.若點(diǎn)(2,1)在圓/+y2+kx+2y+k2-15=0外，則k>2或k<-4

B.已知圓M-.(x+cosd)2+(y-sindy=1與直線y=kx,對于任意的。GR,總存在kGR使

直線與圓恒相切

C.已知圓M：(x+cos。)？+(y-sin。)？=1與直線y=for,對于任意的k6R,總存在。eR使

直線與圓恒相切

D.已知點(diǎn)P(x,y)是直線2x+y+4=0上一動點(diǎn)，PA、P8是圓C：/+/一=i的兩條切

線，A、B是切點(diǎn),則四邊形PACB的面積的最小值為遙

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.在數(shù)列{%}中，%=2,即+]=即+2*,則氏=.

14.下列函數(shù)為偶函數(shù)，且在冤*1確|上單調(diào)遞增的函數(shù)是一.

①理娥=斕②.赤礴=泊*③浦=%,;④箕礴=旭司

15.直線由+劭+。=0與圓=4相交于材、N兩點(diǎn)，若U?=#+/?，，則

0M.0N=-(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))

827

16.在一和——之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為.

32

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知集合4={x|2Wx46,xeR},B=(x\-1<x<5,x&R),全集U=R.

(1)求4n(CuB)；

(2)若集合C={x|x<a,xCR},AClC=0,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(3)若集合D={x|m+1<x<2m—l,x6R},BnD。。，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

18.某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張.為了節(jié)

能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一

年比上一年減少0.5萬張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動

車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.

(1)記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{aj,每年發(fā)放的電動型汽車牌照數(shù)

為構(gòu)成數(shù)列{%},完成下列表格，并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

Q1=10a2=9.5a3=----------=----------

瓦=2Z72==------%=------

(2)從2013年算起，累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)，哪一年開始超過200萬張？

19.在正方體4BC0-4181cl5中，。是底面ABCD對角線的交點(diǎn).

(I)求證：BD_L平面4CG&；

(口)求直線與平面4CG4L所成的角.

20.己知等差數(shù)列｛a"的公差為2,且%-1,a2-l,a4-l成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b(nGN*),數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和Sn,求使當(dāng)<；成立的最大正整數(shù)n的值.

anttn+i7

21.如圖，正三棱柱4BC-力HQ中，AB=4,44=3VLM,N分別是棱&Q,

AC的中點(diǎn)，E在側(cè)棱上，且&E=2EA.

⑴求證：平面MEBJL平面BEN；

(2)求平面BEN與平面BCM所成的銳二面角的余弦值.

22.在數(shù)列｛6｝中，的=1,a4=7,an+2-2an+1+an=0(n6N*)

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

1

(2)若%=6*),求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和立?

十a(chǎn)n)

【答案與解析】

1.答案：D

解析：

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查全稱命題與特稱命題之間的轉(zhuǎn)化及充分必要條件的概念

及應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于中檔題.

4命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”的含義為“任意一個(gè)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”，是全稱命題，可判斷4

B,寫出命題“Vxe/v,x3>x2"的否定，可判斷B；

C,利用充分必要條件的概念，從充分性與必要性兩個(gè)方面可判斷C；

D,利用充分必要條件的概念與偶函數(shù)的定義可判斷D.

解：對于A,命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”是全稱命題，故4錯誤；

對于B,命題/>刀2”的否定是，匕xGN,x3<x2),,故B錯誤；

對于C,a=l時(shí)，函數(shù)/'(x)=cos?%—si/x=cos2x的最小正周期為7=§=兀，充分性成立；

27r

反之，若函數(shù)f(%)=cos2ax—sin2ax=COS2QX的最小正周期T=—=兀，則a=±1,必要性不成

立；

所以“a=1”是函數(shù)/(%)=cos2ax-sin2ax的最小正周期為"的充分不必要條件，故C錯誤；

對于b=0時(shí)，函數(shù)/(-%)=Q/+c=/(%),y=/(%)是偶函數(shù)，充分性成立；反之，若函數(shù)

/(%)=ax2+bx+c是偶函數(shù)，/(-%)=/(%),解得a=0,即必要性成立；

所以“z?=o”是“函數(shù)/(切二0^+力工+0是偶函數(shù)”的充要條件，故。正確.

故選：D.

2.答案：B

解析：解：的=4%+3=3

a3=4a2+3=4x3+3=15

a4=4G3+3=4x154-3=63

a5=4a4+3=4x63+3=255

故選艮

分別令幾=2,3,4,5代入遞推公式計(jì)算即可.

本題考查數(shù)列遞推公式簡單直接應(yīng)用，屬于簡單題.

3.答案：C

解析：解:由啜=合3（。1+。6）__3（。2+曲）_3（。2+2。2）=9.

aa

0222

故選：C.

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式即可得出.

本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力，屬于基

礎(chǔ)題.

4.答案：B

解析:解：連接&G、BR、CDi、BR,

因?yàn)?BC。一481。101為正方體，所以44i_L平面必&的以，

所以4418也，8也1.4傳1，所以為。1_L平面44Q,

所以4cl1&Di，同理4cl1BC所以4G1平面B1CD1，

又D]P1AC]，所以AC】_L平面當(dāng)名尸，

又因?yàn)槠矫鍮[CDiC平面占。小豐0,所以平面為。以=平面當(dāng)。/,

從而PeBiC,因?yàn)椤鰾WiC為正三角形,

所以。止最小值為2應(yīng)'-y=V6.

故選：B.

根據(jù)直線與平面位置關(guān)系定理求解即可.

本題考查了直線與平面位置關(guān)系，考查了正方體的基本性質(zhì)，屬于中檔題.

5.答案：C

解析：

本題考查了閱讀能力及進(jìn)行簡單的合情推理，難度較易，屬于基礎(chǔ)題，先閱讀再進(jìn)行簡單的合情推

理得：乙：我不坐座位號為1和4的座位；丙：我的要求和乙一樣：可得：坐在座位號為3的座位

上的是乙或丙，

①若坐在座位號為3的座位上的是乙，則坐在座位號為2的座位上的是丙，則坐在座位號為4的座

位上的是丁，則坐在座位號為1的座位上的是甲，與題設(shè)矛盾，

②若坐在座位號為3的座位上的是丙，則坐在座位號為2的座位上的是乙，則坐在座位號為1的座

位上的是丁，則坐在座位號為4的座位上的是甲，與題設(shè)相符，得解.

解：由已知乙：我不坐座位號為1和4的座位；丙：我的要求和乙一樣；

可得：坐在座位號為3的座位上的是乙或丙，

①若坐在座位號為3的座位上的是乙，則坐在座位號為2的座位上的是丙，則坐在座位號為4的座

位上的是丁，則坐在座位號為1的座位上的是甲，與題設(shè)矛盾，

②若坐在座位號為3的座位上的是丙，則坐在座位號為2的座位上的是乙，則坐在座位號為1的座

位上的是丁，則坐在座位號為4的座位上的是甲，與題設(shè)相符，

綜合①②得：坐在座位號為3的座位上的是丙，

故選C.

6.答案：A

解析：解：因?yàn)榍?3而，

即有麗==^（AE-AB）,

因?yàn)榻?3正，

所以荏=?而，

4

則的=式荏-確=式萍一砌=萍一渾，

所以宿=而+麗=2荏+工前，

34

故選：A.

根據(jù)條件而=*荏一四），結(jié)合荏=3就，代入化筒可得而=；而號話，再由向量加法法則

可得答案

本題考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：D

解析：解：該數(shù)列的第k項(xiàng)為：ak=lg（100si/TW）=2-4k-l）仞2,

所以這個(gè)數(shù)列是遞減等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為2,

要使前k項(xiàng)的和最大，必須前％項(xiàng)都是正數(shù)或0,

而從第k+1項(xiàng)起以后都是負(fù)數(shù)，

2-l(fc-l)/52>0

因此，上應(yīng)適合下列條件:

2-^klg2<0

解得上＜心1+晟

由keN*,所以k=14,

取k=14,前14項(xiàng)的和Si4=14=7（2+2-爭。2）?14.30.

故選：D.

根據(jù)題意得該數(shù)列的第k項(xiàng)的通項(xiàng)依，得到這個(gè)數(shù)列是遞減等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為2.要使前k項(xiàng)的和

最大，必須前％項(xiàng)都是正數(shù)或0,而從第k+1項(xiàng)起以后都是負(fù)數(shù)，得到以20且耿+i<0,解得女

的取值范圍，求出正整數(shù)解得到k的值，然后利用等差數(shù)列的前左項(xiàng)和的公式得到和的最大值即可.

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、

推理能力，屬于中檔題.

8.答案：C

解析：解：?；Rt△ABC^.AB=6,AC=8,Z.A=90°,

BC=V62+82=10.

???△ABC所在平面a外的一點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)A、8、C的

距離都為13,

點(diǎn)P在a內(nèi)的射影是O,

-AO=BO=CO,

的外心是O,故。是3C的中點(diǎn),

AO=BO=CO=5,

PO=V132-52=12.

故選：C.

由中，AB=6,AC=8,乙4=90。，知BC=10,由△4BC所在平面a外的一點(diǎn)P到三個(gè)

頂點(diǎn)A、&C的距離都為13,點(diǎn)P在a內(nèi)的射影是O,知的外心是。，故。是BC的中點(diǎn)，

AO=BO=CO=5,由此能求出尸O.

本題考查點(diǎn)、線、面間距離的計(jì)算，是中檔題.解題的關(guān)鍵步驟是準(zhǔn)確判斷出ABC的外心是。，

即。是BC的中點(diǎn).

9.答案：BCD

解析：解:因?yàn)?日+石=(―1,2,7)，2=(—2,—1,1),而卷中5力孑故A不正確；

因?yàn)閨引=遍，|K|=5V2.所以5|磯=同辦故B正確；

因?yàn)槲?(5祝+6石)=5層+6五?方=0，故C正確；

又cos(五,b)=-產(chǎn)=-更,故。正確.

y6x5v26

故選：BCD.

直接利用已知空間向量的坐標(biāo)，利用平行向量、向量的模、垂直向量、向量的夾角公式對四個(gè)選項(xiàng)

逐一判斷即可.

本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用，涉及了空間向量的平行于垂直、空間向量的模、空間向量夾角公

式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：ACD

解析：解：過直線/外一點(diǎn)P,有且僅有一個(gè)平面與/垂直，顯然成立，故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)槿我馊齻€(gè)不共線的點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，那么空間中任意四個(gè)不共面的點(diǎn)連線可構(gòu)成一個(gè)三棱

錐，只能確定一個(gè)外切球，故選項(xiàng)B錯誤；

根據(jù)線面垂直的判定，可知一條線垂直一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條線和平面垂直，故選項(xiàng)

C正確；

過A點(diǎn)作直線a的垂線可作出無數(shù)條，這無數(shù)條直線都相交于A點(diǎn)，則這無數(shù)條直線共面，這個(gè)平

面垂直”，故選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

由線面垂直的判定和空間中點(diǎn)的位置關(guān)系，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

本題考查了空間中線面垂直的判定以及空間中點(diǎn)的位置關(guān)系.

11.答案：ACD

解析：

本題考查狄利克雷函數(shù)，考查計(jì)算能力.

根據(jù)題意，結(jié)合狄利克雷函數(shù)的特性，逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可.

解：當(dāng)x6Q,則/'(X)=1,/(I)=1,則/[/(X)]=1,

當(dāng)XWCRQ,則f(x)=0,/(0)=1,貝療[/(%)]=1,

即對任意X6R,都有=故A正確，

當(dāng)xeQ,則一xeQ,則f(-x)=1,/(x)=1,止匕時(shí)/(-x)=/(x),

當(dāng)XWCRQ，則一X€CRQ，則/(一X)=0,/(x)=0,此時(shí)/x)=/(x),

即恒有/(-%)=/(工),即函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，故B錯誤,

???/(x)>0,/(%)<1恒成立，

???對任意a<0，b>l,都有{x，(x)>a}={x|f(x)<b}=R,故C正確，

對于。選項(xiàng)，取4(0,1)、B(低0)、C(-A/3,0).則|AB|=|AC|=2,\BC\=2^/3,

△ABC為等腰三角形，。選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

12.答案：ACD

解析：解：對于A：圓/+、2+收+2)/+1-15=0的圓心坐標(biāo)為(一三一1),半徑為［V64—3H,

由于點(diǎn)(2,1)在圓外，故J(2+§2+(i+i)2>|V64-3fc2,解得k>2或k<-4,故A正確；

對于8：圓M：(%+cos。)？+(y-sinO)2=1的圓心坐標(biāo)為(—cos。,sin。)，半徑為1,

圓心到直線y=kx的距離d=|"誓野|=|窖+卷嗎當(dāng)sin0=0,即cos。=±1時(shí)，d=

/Vl+k2vl+k2vl+k2

等瞿與黑<1,故不存在keR使直線與圓恒相切，故8錯誤；

vl+fczvl+fcz

對于C：對任意的keR,令cosJ=sine=^==,則d=1,即對任意的keR,總存在0eR,

使直線與圓相切，故C正確；

對于D：圓C：/+丫2一2y=1的圓心為(0,1)半徑為四，圓心(0,1)到直線2%+y+4=0的距離d=

京=遮，所以|PC|的最小值為4，

|P4|的最小值為=V5-2=V3,四邊形PACB的面積的最小值為2x|xV2xV3=V6,故。正確.

故選：ACD.

直接利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式的應(yīng)

用判斷4、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的

面積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

13.答案：2n

解析：

本題主要考查利用遞推公式，結(jié)合累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解：一：叫“=皆”二繩、=豌幫輛-堿品輛-崎杵…捫瓢-：維京

=2+2+22+-+2n-1=2n,

故答案為2n.

14.答案：③

解析：試題分析：對于函數(shù)①例喻=3在町町上單調(diào)遞減，對于函數(shù)②,施礴=品產(chǎn)在町尊

上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，對于函數(shù)④典或=幄司在臉上無定義，故函數(shù)為偶函數(shù)，且在悔

FT常

上單調(diào)遞增的函數(shù)為③踴淄=_i

考點(diǎn)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評：掌握常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決此類問題的常見方法，屬基礎(chǔ)題

15.答案：-2.

解析：圓「+j，=4的圓心為麒晶顧，半徑度，=富圓心到直線口x++的=0的距離為

感=―,因?yàn)?才+京，所以越盛=力厚=1又因?yàn)樽?=譚=香，所以

=—(S懣=-11＞近電睡激=鍬吧，=編—？.所以

日賺去筆作

w'.?W骸］，I磷I座￡微嫄=-露故加,祕=-2.

16.答案：216

解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)插入的三個(gè)數(shù)分別為￡*玳得，則/=帽；

因?yàn)轺驴蔠等成等比數(shù)列，則有冉副等=魏；

又因?yàn)槠?叫需，所以朋:渾圓，所以涉=闔

所以士薩=敲婚

即插入的3個(gè)數(shù)乘積為耍5上閱嫡

17.答案：解：(1)???B=卜|-1<x<5,xeR),

???CuB={x|x<-1或x>5},

vA={x\2<x<6,xER},

???AA(QB)={x[5<x<6]；

(2)vA={x\2<x<6,x6/?),C={x\x<a,x6/?},AQC=0f

.??實(shí)數(shù)〃的取值范圍是aW2；

(3)B={x\—1<x<5,xE/?},D={x\m4-1<%<2m—l,xG/?},且Bn。H0,

.rm+1<2m—1成盤+1<2m—1

'l-l<m+l<5叫-1<2m-l<5"

解得：2VmV4或2Vm<3,

則實(shí)數(shù)m的范圍是2<m<4.

解析：此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.

(1)由全集U及8,求出3的補(bǔ)集，找出A與8補(bǔ)集的交集即可；

(2)由A與C的交集為空集，確定出〃的范圍即可；

(3)根據(jù)3與。的交集不為空集，確定出機(jī)的范圍即可.

18.答案:9；8.5；3；4.5；6.75

解析：解：(1)

Q1=10a2=9.5=9。4=8.5

瓦=2尻=b=6.75

3b3~4.54—

.?,（2分）

當(dāng)1Wn420且九WN*,Qn=10+（幾一1）x（-0.5）=-0.5n+10.5：

當(dāng)n>21且九6N*,an=0.

-0.5n+10.5,14nW20且nWN*一八、

...（5分）

0,n>21且nG/V*

而。4+匕4=15.25>15

2?g）n-i,1<n<4S.n6/V*八

2,???（8分）

?*,bn=

6.75,n>5且九6/V*

（2）當(dāng)n=4時(shí),Sn=%+&+。3+。4+瓦+82+醫(yī)+速=53.25.

當(dāng)5Wn工21時(shí)，Sn=（4+a?+…+Qn）+（瓦+%+壇+/+為+…+%）=1。九H—y~~,

（-0.5）+2|1~1）4'+6.75（n-4）

1-5

=-in2+17n-予“（11分）

由%2200得一"2+i7n-：N200,即M-68n+843W0,得34-SnS21…（13分）

44

.?.到2029年累積發(fā)放汽車牌照超過200萬張....（14分）

（1）利用從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長,而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5

萬張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這

一年的水平不變，可填寫表格，并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，可得一：/+1771-日Z200,即可得出結(jié)論.

本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題

的能力，屬于中檔題.

19.答案：（I）證明：???ABC。-4/1G5是正方體，

二CG，平面ABCD,

BD1CG

???4BCC是正方形，:BD1AC

又AC,CGu平面ACCiAi，且4cnCQ=C,

???BD_L平面（6分）

（H）解：在正方體力BCD-4B1GD1中，

???AArABCD,.-.AA11BD,

又在正方形A8CD中，AC1BD,

ACnAAX=A,BDJ"平面

NBGO為直線BQ與平面ZCG4所成的角，

由題意知NBG。=30°,

???直線BQ與平面4CCi公所成角為30。.（12分）

解析：（I）欲證明直線與平面垂直，可以先證明直線與直線垂直，由BD1CG，3。，4?？傻?。，

平面4CG&.

（H）由已知得4公＞1■BD,AC1BD,從而BDJ"平面3。。為直線與平面“。出所成的

角，由此能求出直線BG與平面4CCi4所成角.

本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

20.答案：解：(1)等差數(shù)列｛冊｝的公差為2,可設(shè)d=2,且由一1,a2-l,。4一1成等比數(shù)列，

可得(。2-1尸=(%-1)(。4一1)，

即為(%+2—I)2=—1)(%+6—1),

解得名=3,

則0n=34-2(n-1)=2n+1；

i=______-______=—(___-_____工)

n

I'-anan+1-(2n+l)(2n+3)-2^2n+l2n+3，'

-+—-----)=i(i--

5572n+l2n+3722n+3

由Sn<；，即/一熹)<2,

化為2九+3<21,即幾V9,

可得〃的最大值為8.

解析：(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；

(2)求得當(dāng)=(2n+i：2n+3)=**_*),由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得先，解不等式可得所求最大

值.

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查方程思想和

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

21.答案：解：(1)證明：???在正本棱柱4BC-4摳￡中，44J_平面ABC,BNu

平面ABC,

???AA11BN,

??,N是棱4c的中點(diǎn)，△ABC為正三角形，???BN_LAC,

?-?AA1CtAC=A,???BN1平面A&GC,MEu平面A41GC,???BN1ME,

"AB=4,AAr=3V2.ArE=2EA,EA=V2.A、E=2也,

:.處=處=近,