2024屆山東省壽光市第二中學(xué)高考考前熱身試卷數(shù)學(xué)試題

2024屆山東省壽光市第二中學(xué)高考考前熱身試卷數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知平面，，直線滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件2．函數(shù)在的圖象大致為A． B．C． D．3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)利用暑假游玩某風(fēng)景名勝大峽谷，四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠(yuǎn)古村寨四大景點(diǎn)中的一個(gè)，每個(gè)景點(diǎn)去一人．已知：①甲不在遠(yuǎn)古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠(yuǎn)古村寨；③“丙在遠(yuǎn)古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠(yuǎn)古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．過拋物線的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．45．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）＝f（x），當(dāng)x∈[﹣3，﹣2]時(shí)，f（x）＝﹣x﹣2，則（）A． B．f（sin3）＜f（cos3）C． D．f（2020）＞f（2019）6．已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球（），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．27．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內(nèi)的任何直線都與平行8．已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A． B．C． D．9．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π10．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．112．若復(fù)數(shù)滿足，則（其中為虛數(shù)單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.14．角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是．15．在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．16．已知x，y＞0，且，則x+y的最小值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a18．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn).（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，，求的值.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）記的最大值為，若實(shí)數(shù)、、滿足，求證：.21．（12分）設(shè)，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在內(nèi)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）已知直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn).（I）求與的關(guān)系式；（II）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.若當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值，求橢圓的離心率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

，是相交平面，直線平面，則“”“”，反之，直線滿足，則或//或平面，即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：已知直線平面，則“”“”，反之，直線滿足，則或//或平面，“”是“”的充分不必要條件．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力．2、A【解析】

因?yàn)?，所以排除C、D．當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時(shí)，，可得.故選A．3、D【解析】

根據(jù)演繹推理進(jìn)行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠(yuǎn)古村寨，必有丙同學(xué)去了遠(yuǎn)古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點(diǎn)的同學(xué)是?。蔬x：D．【點(diǎn)睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ)．4、C【解析】

設(shè)直線AB的方程為，代入得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當(dāng)Q，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可知拋物線的焦點(diǎn)為，則直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，代入得：.由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當(dāng)Q，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意取最值的條件.5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函數(shù)f（x）在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函數(shù)且周期為2，先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]時(shí)的圖象，然后根據(jù)周期為2依次平移，并結(jié)合f（x）是偶函數(shù)作出f（x）在R上的圖象如下，選項(xiàng)A，，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，所以f（sin3）＜f（﹣cos3），即f（sin3）＜f（cos3），選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，，所以，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)值的大小比較，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.6、B【解析】由題意或4，則，故選B．7、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當(dāng)，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內(nèi)的任何直線都與平行，故，若，則內(nèi)的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、A【解析】

由題知，利用求出，再根據(jù)題給定義，化簡(jiǎn)求出的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.9、C【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.10、C【解析】

先求導(dǎo)得（），由于函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，根據(jù)，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)，通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因?yàn)?設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍，以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法，還考查分析和計(jì)算能力，有一定的難度.11、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【詳解】由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8.【解析】

利用轉(zhuǎn)化得到加以計(jì)算，得到.【詳解】向量則.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.14、【解析】試題分析：由三角函數(shù)定義知，又由誘導(dǎo)公式知，所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式．15、C【解析】

根據(jù)確定是異面直線與所成的角，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得.因?yàn)?，所以是異面直線與所成的角，記為，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.16、1【解析】

處理變形x+y＝x（）+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x，y＞0，且，則x+y＝x（）+y1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝4，y＝2，取得最小值1．故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查利用均值不等式求解最值，關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件，注意考慮等號(hào)成立的條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)an=2n-1，bn=【解析】

(I)直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計(jì)算得到答案.(II)n2【詳解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.18、（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．19、（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，韋達(dá)定理得，點(diǎn)在直線上，則，即可求出的值.【詳解】（1）由可得，即，即，曲線的直角坐標(biāo)方程為，由直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，即直線的普通方程為.（Ⅱ）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得，直線與曲線交于兩點(diǎn)，，即.設(shè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達(dá)定理可得，.點(diǎn)在直線上，，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）采用零點(diǎn)分段法：、、，由此求解出不等式的解集；（2）先根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義求解出的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，解得當(dāng)時(shí)，不等式為，解得當(dāng)時(shí)，不等式為，解得∴原不等式的解集為（2）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴，∴∵，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）同理可得，∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.（1）常見的絕對(duì)值不等式解法：零點(diǎn)分段法、圖象法、幾何意義法；（2）利用基本不等式完成證明時(shí)，注意說明取等號(hào)的條件.21、（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn)，從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，從而可得△及，由，得．則可化為對(duì)任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，故時(shí)，總有，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得，且，又，所以.由，，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即.當(dāng)時(shí)，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，恒成立，即，因此，當(dāng)時(shí)，所以.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識(shí)，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力，該題綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求較高．22、（Ⅰ）