2024七年級數(shù)學上冊第六章幾何圖形初步6.3角6.3.3余角和補角課件新版新人教版

6．3角6．3.3余角和補角第六章幾何圖形初步逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2余角和補角的定義余角、補角的性質(zhì)知識點余角和補角的定義知1－講1名稱定義圖例數(shù)學語言余角如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，簡稱這兩個角互余.其中一個角是另一個角的余角如果∠1＋∠2=90°，就說∠1和∠2互余，或∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角知1－講名稱定義圖例數(shù)學語言補角如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，簡稱這兩個角互補，其中一個角是另一個角的補角如果∠3＋∠4=180°，就說∠3和∠4互補，或∠3是∠4的補角，或∠4是∠3的補角知1－講特別解讀1.互余、互補是指兩個角之間的數(shù)量關系，它們是成對出現(xiàn)的.2.互余、互補只與數(shù)量有關，與位置無關.互余和互補揭示的是兩個角之間的數(shù)量關系：一個銳角的余角為90°－，補角為180°－.因此，一個角的余(補)角可以有多個.知1－練例1已知一個角的補角比這個角的余角的3倍大10°，求這個角的度數(shù).解題秘方：緊扣余角和補角的定義結合數(shù)量關系列方程解答.解：設這個角的度數(shù)為x，則這個角的補角為(180°－x)，余角為(90°－x).根據(jù)題意，得(180°－x)－3(90°－x)=10°，解得x=50°.所以這個角的度數(shù)為50°.知1－練1-1.如圖，∠AOC

與∠BOC

互為補角，∠BOC

與∠BOD

互為余角，且∠BOC=4∠BOD.知1－練(1)求∠BOC

的度數(shù)；知1－練(2)若OE

平分∠AOC，求∠BOE

的度數(shù).知1－練如圖6.3－23，O

為直線AB

上一點，

∠AOC=∠DOE=90°.例2解題秘方：從圖中找互余或互補的角，可從兩個方面進行：一個方面是從角的度數(shù)入手，和為90°的兩個角互余，和為180°的兩個角互補；另一個方面是從整體入手，將直角分成兩個角，則這兩個角互余，將平角分成兩個角，則這兩個角互補.知1－練(1)圖中互余的角有幾對？分別是哪些？解：因為O

為直線AB

上一點，所以∠BOC＋

∠AOC=180°，∠DOE＋

∠1＋∠4=180°.因為∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，∠BOC=∠3＋∠4=90°，∠1＋∠4=90°.所以圖中互余的角有4對，分別是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.知1－練(2)圖中互補的角有幾對？分別是哪些？解：由已知得∠1＋

∠BOD=180°，∠4＋

∠AOE=180°.因為∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠1=∠3.所以∠3＋

∠BOD=180°.因為∠3＋∠4=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠2=∠4.所以∠2＋∠AOE=180°.知1－練又因為∠AOC＋

∠BOC=180°，∠AOC＋

∠DOE=180°，∠DOE＋∠BOC=180°，所以圖中互補的角有7對，分別是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC

和∠BOC，∠AOC

和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.知1－練2-1.[期末·

襄陽]如圖，已知A，O，B

三點在同一直線上，且OC平分∠BOD，OE

平分∠AOD，下列結論：①∠BOC

與∠AOE

互余；②∠BOE

與∠EOD

互補；③圖中互余的角有4對；④圖中互補的角有5對.其中正確的有(

)A.1個

B.2個C.3個

D.4個D知2－講知識點余角、補角的性質(zhì)2內(nèi)容幾何語言余角的性質(zhì)同角的余角相等因為∠1＋∠2=90°，∠1＋∠3=90°，所以∠2=∠3等角的余角相等因為∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，且∠1=∠3，所以∠2=∠4補角的性質(zhì)同角的補角相等因為∠1＋∠2=180°，∠1＋∠3=180°，所以∠2=∠3等角的補角相等因為∠1＋∠2=180°，∠3＋∠4=180°，且∠1=∠3，所以∠2=∠4知2－講特別解讀1.如果互補的兩個角相等，那么這兩個角都是直角.2.“同角”指同一個角，“等角”指度數(shù)相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.3.余角、補角的性質(zhì)是說明兩個角相等的重要依據(jù).知2－練如圖6.3－24，直線AB

與∠COD的兩邊OC，OD分別相交于點E，F(xiàn)，∠1＋

∠2=180°.找出圖中與∠2相等的角，并說明理由.例3解題秘方：先找出與∠1和∠2互補的角，然后利用互補的關系找出與∠2相等的角.知2－練解：因為∠1＋∠3=180°，∠1＋∠2=180°，所以∠3=∠2.同理，∠4=∠2，∠2=∠6.所以圖中與∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.知2－練3-1.如圖，O

為直線AB上一點，OC

平分∠AOB，∠DOE=90°.知2－練(1)寫出∠COD的余角；解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE.知2－練(2)∠AOD

和∠COE相等嗎？為什么？除90°的角外，還有哪些相等的角？請說明理由；解：相等．因為O為直線AB上一點，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°.所以∠AOD＋∠COD＝90°.又因為∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90°，所以∠AOD＝∠COE.相等的角還有∠BOE＝∠COD.理由：因為∠COD＋∠COE＝90°，∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝90°，所以∠BOE＝∠COD.知2－練(3)寫出∠COD

的補角.解：∠COD的補角為∠AOE.知2－練如圖6.3－25，已知O

是直線AB

上的一點，OC是一條射線，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，OE

平分∠BOC

嗎？為什么？例4解題秘方：先緊扣角平分線的定義，利用余角的性質(zhì)說明兩個角相等.知2－練解：

OE

平分∠BOC.理由如下：因為∠DOE=90°，所以∠DOC＋

∠COE=90°.又因為∠AOB=180°，所以∠AOD＋

∠BOE=90°.因為OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠DOC.所以∠COE=∠BOE，即OE

平分∠BOC.知2－練4-1.[期末·廈門思明區(qū)]如圖，∠AOB=90°，∠COD=90°，OA

平分∠DOE，

若∠BOC=20°，求∠AOE

的度數(shù).解：因為∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＋∠AOC＝∠AOB，∠AOD＋∠COA＝∠COD，所以∠AOD＝∠BOC＝20°.因為OA平分∠DOE，所以∠AOE＝∠AOD＝20°.余角和補角余角和補角余角補角定義性質(zhì)

題型利用互余、互補的定義識別余角、補角1例5解題秘方：分別計算∠2與各選項的和，結果為90°的符合要求.

答案：D方法點撥識別兩個角是否互余，只需要計算兩個角的和是否等于90°即可.[新視角

操作探究題]如圖6.3－26，把一張長方形紙片的一角任意折向長方形內(nèi)，使點B

落在點B′的位置，折痕為EF，再沿GF

折疊，使點C

落在點C′的位置，如果C′F

與FB′在同一條直線上，請你判斷∠GFC′與∠EFB′的關系，并說明理由.題型利用角平分線的定義探究互余、互補2例6思路引導：

方法點撥本題的解題方法主要利用了“一個特點”“三個定義”，一個特點是指折疊圖形中折痕的特點(折痕所在的直線即角平分線所在的直線)；三個定義分別是指角平分線的定義、余角的定義和補角的定義.[榮德原創(chuàng)題]兩艘貨輪從如圖6.3－27所示的碼頭O

出發(fā)，貨輪G

向南偏西20°的OA

的方向行駛，貨輪F

向南偏東70°的OB

方向航行.例7題型利用方位角的定義探究余角、補角3思路引導：通過計算各角的度數(shù)進行判斷.(1)分別畫出射線OA，OB；解：如圖6.3－28，射線OA，OB

即為所求.(2)找出圖中所有互余和互補及相等的角(小于180°的角).解：互余的角有∠WOA

與∠SOA，∠WOA

與∠EOB，∠AOS

與∠BOS，∠BOS

與∠EOB；互補的角有∠WOA

與∠EOA，∠WOB

與∠EOB，∠NOA

與∠SOA，

∠NOB

與∠SOB，

∠WOA

與∠NOB，∠BOS

與∠AOE，∠WOB

與∠AOS，∠NOA

與∠EOB.∠NOW，∠SOW，∠SOE，∠NOE

和∠AOB

都是90°，它們兩兩互補；相等的角有∠NOW=∠SOW=∠SOE=∠NOE=∠AOB，∠WOA=∠SOB，∠SOA=∠EOB.解法提醒1.以觀測點為頂點，南北方向線和東西方向線各自形成平角，可以解決互補問題.2.以觀測點為頂點，南北方向線和東西方向線相交形成直角，可以解決互余問題.3.利用角度計算或同角(或等角)的余角、補角相等，解決等角問題.如圖6.3－29①所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點О

處.題型利用角的和差關系及余角的性質(zhì)探究兩角之間的關系4例8思路引導：緊扣要判定的角和兩個90°角的關系進行分析.(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC

相等嗎？請說明理由.解：(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因為∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB＋

∠BOD=∠COD＋

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.

(ⅱ)∠AOC

和∠BOD在數(shù)量上有何關系？請說明理由．解：∠AOC＋

∠BOD=180°.理由如下:因為∠AOB＋

∠AOC＋

∠COD＋

∠BOD=360°，∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋∠BOD=360°－∠AOB－∠COD=180°.(2)若將這副三角尺按如圖6.3－29②所示擺放，三角尺的直角頂點重合在點О處.(ⅰ)∠AOD和∠BOC相等嗎？請說明理由.(ⅱ)∠AOC和∠BOD在(1)中的數(shù)量關系還成立嗎？請說明理由.(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因為∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB－

∠BOD=∠COD－

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.(ⅱ)成立.理由如下:因為∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋

∠BOD=∠AOB＋∠BOC＋

∠BOD=∠AOB＋

∠COD=90°＋90°=180°.解題關鍵1.在探究三角尺中的有關角的關系時，要充分利用三角尺中隱含的90°，60°，45°，30°等特殊角﹒2.等式的性質(zhì)在角的推理中的應用，即若∠1=∠2，則∠1±∠3=∠2±∠3.方法點撥：在圖形的變換探究中，應善于抓住不變的量(如本題的兩個直角)和變化的量(如本題圖6.3－29①中∠AOD=∠AOB＋∠BOD，圖6.3－29②中∠AOD=∠AOB－∠BOD).結合兩個量才能探究出結論是否變化.易錯點對余角、補角的概念理解不透徹而出錯下列說法正確的是()A.一個角的補角一定大于這個角B.任何一個小于180°的角既有余角又有補角C.銳角和鈍角互補D.銳角的補角一定是鈍角例9錯解：A正解：緊扣余角和補角的定義，結合其數(shù)量關系進行判斷.銳角的補角是鈍角，鈍角的補角是銳角，從而A錯誤，D正確.答案：D診誤區(qū)：1.只有銳角既有余角又有補角，而鈍角沒有余角，只有補角.2.互補的兩個角除兩個直角外，一定是一個銳角，一個鈍角.考法利用余角(補角)的定義求一個角的余角(補角)1[中考·梧州]已知∠

A=55°，則它的余角是()A.25°B.35°C.45°D.55°試題評析：本題考查了余角的定義和角的運算，解題的關鍵是理解互為余角的兩個角的數(shù)量關系.解：因為∠A=55°，所以它的余角是90°－∠A=90°－55°=35°.B例10考法利用三角尺的特征探究兩個角之間的關系2[中考·德州]如圖6.3－30，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列方式中，∠α

與∠β

互余的是(

)A.圖①

B.圖②

C.圖③

D.圖④例11試題評析：本題考查了余角和補角的知識，熟記概念與性質(zhì)是解題的關鍵.解：圖①，∠α＋∠β=180°－90°=90°，則∠α和∠β互余；圖②，根據(jù)同角的余角相等，得∠α=∠β，但∠α和∠β不一定互余；圖③，根據(jù)等角的補角相等，得∠α=∠β=180°－45°=135°，所以∠α與∠β不互余；圖④，∠α＋∠β=180°，則∠α和∠β互補．答案：A1.[中考·武威]若∠α=70°，則∠α的補角的度數(shù)是(

)A.130°B.110°C.30°D.20°B2.如圖，一副三角