2024七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第六章幾何圖形初步6.3角6.3.3余角和補(bǔ)角課件新版新人教版

6．3角6．3.3余角和補(bǔ)角第六章幾何圖形初步逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2余角和補(bǔ)角的定義余角、補(bǔ)角的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)余角和補(bǔ)角的定義知1－講1名稱定義圖例數(shù)學(xué)語(yǔ)言余角如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱這兩個(gè)角互余.其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角如果∠1＋∠2=90°，就說(shuō)∠1和∠2互余，或∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角知1－講名稱定義圖例數(shù)學(xué)語(yǔ)言補(bǔ)角如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱這兩個(gè)角互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角如果∠3＋∠4=180°，就說(shuō)∠3和∠4互補(bǔ)，或∠3是∠4的補(bǔ)角，或∠4是∠3的補(bǔ)角知1－講特別解讀1.互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，它們是成對(duì)出現(xiàn)的.2.互余、互補(bǔ)只與數(shù)量有關(guān)，與位置無(wú)關(guān).互余和互補(bǔ)揭示的是兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)銳角的余角為90°－，補(bǔ)角為180°－.因此，一個(gè)角的余(補(bǔ))角可以有多個(gè).知1－練例1已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的3倍大10°，求這個(gè)角的度數(shù).解題秘方：緊扣余角和補(bǔ)角的定義結(jié)合數(shù)量關(guān)系列方程解答.解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為x，則這個(gè)角的補(bǔ)角為(180°－x)，余角為(90°－x).根據(jù)題意，得(180°－x)－3(90°－x)=10°，解得x=50°.所以這個(gè)角的度數(shù)為50°.知1－練1-1.如圖，∠AOC

與∠BOC

互為補(bǔ)角，∠BOC

與∠BOD

互為余角，且∠BOC=4∠BOD.知1－練(1)求∠BOC

的度數(shù)；知1－練(2)若OE

平分∠AOC，求∠BOE

的度數(shù).知1－練如圖6.3－23，O

為直線AB

上一點(diǎn)，

∠AOC=∠DOE=90°.例2解題秘方：從圖中找互余或互補(bǔ)的角，可從兩個(gè)方面進(jìn)行：一個(gè)方面是從角的度數(shù)入手，和為90°的兩個(gè)角互余，和為180°的兩個(gè)角互補(bǔ)；另一個(gè)方面是從整體入手，將直角分成兩個(gè)角，則這兩個(gè)角互余，將平角分成兩個(gè)角，則這兩個(gè)角互補(bǔ).知1－練(1)圖中互余的角有幾對(duì)？分別是哪些？解：因?yàn)镺

為直線AB

上一點(diǎn)，所以∠BOC＋

∠AOC=180°，∠DOE＋

∠1＋∠4=180°.因?yàn)椤螦OC=∠DOE=90°，所以∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，∠BOC=∠3＋∠4=90°，∠1＋∠4=90°.所以圖中互余的角有4對(duì)，分別是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.知1－練(2)圖中互補(bǔ)的角有幾對(duì)？分別是哪些？解：由已知得∠1＋

∠BOD=180°，∠4＋

∠AOE=180°.因?yàn)椤?＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠1=∠3.所以∠3＋

∠BOD=180°.因?yàn)椤?＋∠4=90°，∠2＋∠3=90°，所以∠2=∠4.所以∠2＋∠AOE=180°.知1－練又因?yàn)椤螦OC＋

∠BOC=180°，∠AOC＋

∠DOE=180°，∠DOE＋∠BOC=180°，所以圖中互補(bǔ)的角有7對(duì)，分別是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC

和∠BOC，∠AOC

和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.知1－練2-1.[期末·

襄陽(yáng)]如圖，已知A，O，B

三點(diǎn)在同一直線上，且OC平分∠BOD，OE

平分∠AOD，下列結(jié)論：①∠BOC

與∠AOE

互余；②∠BOE

與∠EOD

互補(bǔ)；③圖中互余的角有4對(duì)；④圖中互補(bǔ)的角有5對(duì).其中正確的有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)C.3個(gè)

D.4個(gè)D知2－講知識(shí)點(diǎn)余角、補(bǔ)角的性質(zhì)2內(nèi)容幾何語(yǔ)言余角的性質(zhì)同角的余角相等因?yàn)椤?＋∠2=90°，∠1＋∠3=90°，所以∠2=∠3等角的余角相等因?yàn)椤?＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，且∠1=∠3，所以∠2=∠4補(bǔ)角的性質(zhì)同角的補(bǔ)角相等因?yàn)椤?＋∠2=180°，∠1＋∠3=180°，所以∠2=∠3等角的補(bǔ)角相等因?yàn)椤?＋∠2=180°，∠3＋∠4=180°，且∠1=∠3，所以∠2=∠4知2－講特別解讀1.如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是直角.2.“同角”指同一個(gè)角，“等角”指度數(shù)相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.3.余角、補(bǔ)角的性質(zhì)是說(shuō)明兩個(gè)角相等的重要依據(jù).知2－練如圖6.3－24，直線AB

與∠COD的兩邊OC，OD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠1＋

∠2=180°.找出圖中與∠2相等的角，并說(shuō)明理由.例3解題秘方：先找出與∠1和∠2互補(bǔ)的角，然后利用互補(bǔ)的關(guān)系找出與∠2相等的角.知2－練解：因?yàn)椤?＋∠3=180°，∠1＋∠2=180°，所以∠3=∠2.同理，∠4=∠2，∠2=∠6.所以圖中與∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.知2－練3-1.如圖，O

為直線AB上一點(diǎn)，OC

平分∠AOB，∠DOE=90°.知2－練(1)寫出∠COD的余角；解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE.知2－練(2)∠AOD

和∠COE相等嗎？為什么？除90°的角外，還有哪些相等的角？請(qǐng)說(shuō)明理由；解：相等．因?yàn)镺為直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝90°.所以∠AOD＋∠COD＝90°.又因?yàn)椤螩OE＋∠COD＝∠DOE＝90°，所以∠AOD＝∠COE.相等的角還有∠BOE＝∠COD.理由：因?yàn)椤螩OD＋∠COE＝90°，∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝90°，所以∠BOE＝∠COD.知2－練(3)寫出∠COD

的補(bǔ)角.解：∠COD的補(bǔ)角為∠AOE.知2－練如圖6.3－25，已知O

是直線AB

上的一點(diǎn)，OC是一條射線，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，OE

平分∠BOC

嗎？為什么？例4解題秘方：先緊扣角平分線的定義，利用余角的性質(zhì)說(shuō)明兩個(gè)角相等.知2－練解：

OE

平分∠BOC.理由如下：因?yàn)椤螪OE=90°，所以∠DOC＋

∠COE=90°.又因?yàn)椤螦OB=180°，所以∠AOD＋

∠BOE=90°.因?yàn)镺D平分∠AOC，所以∠AOD=∠DOC.所以∠COE=∠BOE，即OE

平分∠BOC.知2－練4-1.[期末·廈門思明區(qū)]如圖，∠AOB=90°，∠COD=90°，OA

平分∠DOE，

若∠BOC=20°，求∠AOE

的度數(shù).解：因?yàn)椤螦OB＝∠COD＝90°，∠BOC＋∠AOC＝∠AOB，∠AOD＋∠COA＝∠COD，所以∠AOD＝∠BOC＝20°.因?yàn)镺A平分∠DOE，所以∠AOE＝∠AOD＝20°.余角和補(bǔ)角余角和補(bǔ)角余角補(bǔ)角定義性質(zhì)

題型利用互余、互補(bǔ)的定義識(shí)別余角、補(bǔ)角1例5解題秘方：分別計(jì)算∠2與各選項(xiàng)的和，結(jié)果為90°的符合要求.

答案：D方法點(diǎn)撥識(shí)別兩個(gè)角是否互余，只需要計(jì)算兩個(gè)角的和是否等于90°即可.[新視角

操作探究題]如圖6.3－26，把一張長(zhǎng)方形紙片的一角任意折向長(zhǎng)方形內(nèi)，使點(diǎn)B

落在點(diǎn)B′的位置，折痕為EF，再沿GF

折疊，使點(diǎn)C

落在點(diǎn)C′的位置，如果C′F

與FB′在同一條直線上，請(qǐng)你判斷∠GFC′與∠EFB′的關(guān)系，并說(shuō)明理由.題型利用角平分線的定義探究互余、互補(bǔ)2例6思路引導(dǎo)：

方法點(diǎn)撥本題的解題方法主要利用了“一個(gè)特點(diǎn)”“三個(gè)定義”，一個(gè)特點(diǎn)是指折疊圖形中折痕的特點(diǎn)(折痕所在的直線即角平分線所在的直線)；三個(gè)定義分別是指角平分線的定義、余角的定義和補(bǔ)角的定義.[榮德原創(chuàng)題]兩艘貨輪從如圖6.3－27所示的碼頭O

出發(fā)，貨輪G

向南偏西20°的OA

的方向行駛，貨輪F

向南偏東70°的OB

方向航行.例7題型利用方位角的定義探究余角、補(bǔ)角3思路引導(dǎo)：通過(guò)計(jì)算各角的度數(shù)進(jìn)行判斷.(1)分別畫出射線OA，OB；解：如圖6.3－28，射線OA，OB

即為所求.(2)找出圖中所有互余和互補(bǔ)及相等的角(小于180°的角).解：互余的角有∠WOA

與∠SOA，∠WOA

與∠EOB，∠AOS

與∠BOS，∠BOS

與∠EOB；互補(bǔ)的角有∠WOA

與∠EOA，∠WOB

與∠EOB，∠NOA

與∠SOA，

∠NOB

與∠SOB，

∠WOA

與∠NOB，∠BOS

與∠AOE，∠WOB

與∠AOS，∠NOA

與∠EOB.∠NOW，∠SOW，∠SOE，∠NOE

和∠AOB

都是90°，它們兩兩互補(bǔ)；相等的角有∠NOW=∠SOW=∠SOE=∠NOE=∠AOB，∠WOA=∠SOB，∠SOA=∠EOB.解法提醒1.以觀測(cè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，南北方向線和東西方向線各自形成平角，可以解決互補(bǔ)問(wèn)題.2.以觀測(cè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，南北方向線和東西方向線相交形成直角，可以解決互余問(wèn)題.3.利用角度計(jì)算或同角(或等角)的余角、補(bǔ)角相等，解決等角問(wèn)題.如圖6.3－29①所示，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)О

處.題型利用角的和差關(guān)系及余角的性質(zhì)探究?jī)山侵g的關(guān)系4例8思路引導(dǎo)：緊扣要判定的角和兩個(gè)90°角的關(guān)系進(jìn)行分析.(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC

相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因?yàn)椤螦OB=∠COD=90°，所以∠AOB＋

∠BOD=∠COD＋

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.

(ⅱ)∠AOC

和∠BOD在數(shù)量上有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：∠AOC＋

∠BOD=180°.理由如下:因?yàn)椤螦OB＋

∠AOC＋

∠COD＋

∠BOD=360°，∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋∠BOD=360°－∠AOB－∠COD=180°.(2)若將這副三角尺按如圖6.3－29②所示擺放，三角尺的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)О處.(ⅰ)∠AOD和∠BOC相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(ⅱ)∠AOC和∠BOD在(1)中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因?yàn)椤螦OB=∠COD=90°，所以∠AOB－

∠BOD=∠COD－

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.(ⅱ)成立.理由如下:因?yàn)椤螦OB=∠COD=90°，所以∠AOC＋

∠BOD=∠AOB＋∠BOC＋

∠BOD=∠AOB＋

∠COD=90°＋90°=180°.解題關(guān)鍵1.在探究三角尺中的有關(guān)角的關(guān)系時(shí)，要充分利用三角尺中隱含的90°，60°，45°，30°等特殊角﹒2.等式的性質(zhì)在角的推理中的應(yīng)用，即若∠1=∠2，則∠1±∠3=∠2±∠3.方法點(diǎn)撥：在圖形的變換探究中，應(yīng)善于抓住不變的量(如本題的兩個(gè)直角)和變化的量(如本題圖6.3－29①中∠AOD=∠AOB＋∠BOD，圖6.3－29②中∠AOD=∠AOB－∠BOD).結(jié)合兩個(gè)量才能探究出結(jié)論是否變化.易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)余角、補(bǔ)角的概念理解不透徹而出錯(cuò)下列說(shuō)法正確的是()A.一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角B.任何一個(gè)小于180°的角既有余角又有補(bǔ)角C.銳角和鈍角互補(bǔ)D.銳角的補(bǔ)角一定是鈍角例9錯(cuò)解：A正解：緊扣余角和補(bǔ)角的定義，結(jié)合其數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷.銳角的補(bǔ)角是鈍角，鈍角的補(bǔ)角是銳角，從而A錯(cuò)誤，D正確.答案：D診誤區(qū)：1.只有銳角既有余角又有補(bǔ)角，而鈍角沒有余角，只有補(bǔ)角.2.互補(bǔ)的兩個(gè)角除兩個(gè)直角外，一定是一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角.考法利用余角(補(bǔ)角)的定義求一個(gè)角的余角(補(bǔ)角)1[中考·梧州]已知∠

A=55°，則它的余角是()A.25°B.35°C.45°D.55°試題評(píng)析：本題考查了余角的定義和角的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解互為余角的兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系.解：因?yàn)椤螦=55°，所以它的余角是90°－∠A=90°－55°=35°.B例10考法利用三角尺的特征探究?jī)蓚€(gè)角之間的關(guān)系2[中考·德州]如圖6.3－30，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列方式中，∠α

與∠β

互余的是(

)A.圖①

B.圖②

C.圖③

D.圖④例11試題評(píng)析：本題考查了余角和補(bǔ)角的知識(shí)，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.解：圖①，∠α＋∠β=180°－90°=90°，則∠α和∠β互余；圖②，根據(jù)同角的余角相等，得∠α=∠β，但∠α和∠β不一定互余；圖③，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，得∠α=∠β=180°－45°=135°，所以∠α與∠β不互余；圖④，∠α＋∠β=180°，則∠α和∠β互補(bǔ)．答案：A1.[中考·武威]若∠α=70°，則∠α的補(bǔ)角的度數(shù)是(

)A.130°B.110°C.30°D.20°B2.如圖，一副三角