2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試仿真模擬試卷一 解析版

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試仿真模擬試卷一

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.己知圓錐的底面半徑為4,母線長為5,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.16KB.2()71C.36KD.40K

【答案】B

【解析】由題可知：圓錐的底面半徑為4,母線長為5

所以該圓錐的側(cè)面枳為5=%力=%x4x5=20%,故選：B

2.已知i是虛數(shù)單位，若z=N，則z的共貌復(fù)數(shù)I的虛部為（

【答案】C

-17_7

所以z=y--i,即z的共枕復(fù)數(shù)I的虛部為一故選:C

3.平面向量。=（2,1）,忖=2,75=4,則向量￡、B夾角的余弦值為（）

A.述B,-C.好D.-

5555

【答案】A

【解析】設(shè)平面向量￡、B的夾角為6，Qo=（2,l）,則口=正，

八ab4275

由平面向量數(shù)量的定義可得?。5夕=產(chǎn)舊=-7「；=丫，故選：A.

|葉網(wǎng)A/5X25

4.某校高一、高二、高三年級分別有學(xué)生1100名、1000名、900名，為了了解學(xué)生的視力情況，現(xiàn)用分層

抽樣的方法從中隨機抽取容量為30的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取的學(xué)生人數(shù)為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】因為高一、高二、高三年級學(xué)生數(shù)比為：1100:1000:9（X）=11:10:9，

所以應(yīng)從高二年級抽取的學(xué)生人數(shù)為30xW=10,故選：B

5.已知平面a、平面/、平面夕、直線a以及直線則下列命題說法錯誤的是（)

A.若a〃a,b_La,則a_L6B.若aHO，acy=a,0cy=b,貝Ila〃8

C.若a〃戶,a_La,則aJ?尸D.若a_Ly,尸_1_/,則a〃4.

【解析】A項：因為a〃a，bLa,所以a-Lb,故A正確；

B項：因為兩平面平行，分別與第三個平面相交，交線平行，

所以根據(jù)a〃尸、acy=a、607=匕可證得a〃b，故B正確；

C項：因為所以“垂直于平面a內(nèi)的兩條相交直線，

因為a//月，所以平面a內(nèi)的兩條相交直線必與平面夕內(nèi)的兩條相交直線對應(yīng)平行,

所以。垂直于平面廠內(nèi)的兩條相交直線，。上尸，故C正確;

D項:

如圖所示，繪出正方體A3CD-EFG”，

令平面ABCD是平面a,平面A0HE是平面/,平面CDHG是平面￡，

則滿足a_Ly,尸_1_/,但是c//￡不成立，故D錯誤，故選：D.

6.在AA6C中，內(nèi)角的對邊分別是a,仇c.若〃一0?=回c,sinB=2GsinC，則A等于（）

5兀-2兀-兀-兀

A.—B.—C.-D.一

6336

【答案】D

【解析】由sinB=26sinC，得b=2\fic，又因為"—，=6兒？，所以"一/=6，，即a=J7c，

所以cosA=12c-+g]7c：=也,乂0<4<兀，則人=乙：故選：D.

7.玉琮是中國古代玉器中重要的禮器，神人紋玉琮王是新石器時代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙

江省余杭市反山文化遺址.玉琮王通高&8cm,孔徑4.9CM、外徑17.6c%琮體四面各琢刻一完整的獸面神

人圖像.獸面的兩側(cè)各淺浮雕鳥紋.器形呈扁矮的方柱體，內(nèi)圓外方，上下端為圓面的射，中心有一上下垂

直相透的圓孔.試估計該神人紋玉琮王的體積約為（單位：C7/P）（)

A.6250B.3050C.2850D.2350

【答案】D

【解析】由題可知，該神人紋玉琮王可看做是一個底面邊長為17.6c/n,高為8.8m的正四棱柱中挖去一個

底面直徑為4.9cm，高為&8c?m的圓柱，此時求得體積記為匕，

V,=（17.6『x8.8—萬x<4.9?x8.8?2560cm\

IX

記該神人紋玉琮王的實際體積為V,

則v＜X，

門76丫（49V

且由題意可知，V>^-x——x8.8—=一x8.8?1975cm,

I2JI2）

故1975<V<2560,故選：D.

8.平行四邊形ABC。中，A5=4，AD=3,ZBAD=60°.。為C￡＞中點，點尸在對角線8。上，且

9=2而，若AP_L而，則a=（）

11八2

A.—B.—C.-D.

423

【答案】A

【解析】以點A為坐標原點，AO所在直線為工軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,

則4（0,0）、8（2,26）、C（5,2班）、￡＞（3,0）、Q（4,6）,

AB=（2,2A/3）,而5=（1,-2⑹,==（2,-2732）,

所以，麗=而+麗=（2+4,26-2也/I）,

■.■BQ=（2,-y/3）,而,麗，則麗?麗=2（2+4）-+26-2?L）=8X-2=0,

因此，2=-,故選：A.

4

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若復(fù)數(shù)z=6—i，則（）

A.\z\=2B.\z\=4

C.z的共舸復(fù)數(shù)I=G+iD.Z2=4-2V3Z

【答案】AC

【解析】依題意忖=J（可+（—1）2=2，

故A選項正確，B選項錯誤.

z=x/3+z-C選項正確.

z2-=3-26，+產(chǎn)=2—2gz，D選項錯誤.故選:AC

10.某人射箭9次，射中的環(huán)數(shù)依次為：7,8,9,7,6,9,8,10,8,關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是

（）

A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8

B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8

C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6

4

D.這組數(shù)據(jù)的方差是一

3

【答案】ABD

［解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為：6,7,7,8,8,8,9,9,10,

所以眾數(shù)為8,A選項正確；中位數(shù)為8,C選項錯誤;

6+7+7+8+8+8+9+9+10

平均數(shù)為=8,所以B選項正確;

9

方差為［(6-8『+(7-8『x2+(8-8『x3+(9-8)2x2+(10-8)24

所以D選項正確.

9L3

故選:ABD

11.在三角形A3C中，下列命題正確的有（）

A.若A=30°,b=4,a=5,則三角形ABC有兩解

B.若0ctanA-tanB<l,則八46c一定鈍角三角形

C.若<：056-3)￡：05(8-0(：05。-4)=1,則418。一定是等邊三角形

D.若a-)=ccos6-ccosA,則A46C的形狀是等腰或直角三角形

【答案】BCD

【解析】因為A=30°，b=4,。=5

/?sin.2

所以由正弦定理得sin8=———=—,b<a

a5

所以區(qū)角只有一個解，故A錯誤

」八4c<八sinAsinB1

由0<tanAtan5<l,即0<-------------<1

cosAcosB

所以8s4cos3—sinAsin3>0,即cos(A+5)>。

7T7T

所以A+8<一,所以。=4一4一8>一，故4/鉆。一定是鈍角三角形

22

故B正確

H^JCOS(A-B)COS(B-C)COS(C-A)=1

所以cos(A_8)=cos(3-C)=cos(C-A)=1

所以A=8=C=60。，故C正確

因為a-b=c?cosB-c?cosA

所以sinA-sin5=sinCcosB-sinCcosA

所以sinA-sinCcos3=sin3—sinCcosA

因為sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

所以sinBcosC=sinAcosC,所以cosC=0或sinA=sin3

7F

所以C=一或A=B，所以AA3C的形狀是等腰或直角三角形，故選：BCD

2

12.將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-8D—C，點P為線段A。上的一動點，下

列結(jié)論正確的是().

A.異面直線AC與80所成的角為90°B.AACD是等邊三角形

C.ABCP面積的最小值為姮D.四面體A3CO的外接球的表面積為4〃

2

【答案】AB

【解析】

對于A,取8。的中點E，連接AE,CE,則AE_L8Z),CE_L8。，所以加_L平面ACE,

所以AC_L80,所以異面直線AC與80所成的角為90°，所以A正確；

C

對于B,由于正方形的邊長為2,所以AD=CD=2,AE=CE=J5,

因為NA￡C=90°,所以AC=J^西速'=2,所以八48為正三角形，所以B正確:

對于C,如圖，過P作尸尸，8。于尸，過尸作FGL3C于G,連接PG，

因為平面AD5J_平面BCD,所以PF_L平面BCO，則PF_LFG,PF±BC.

所以3CJ_平面PFG,所以BC工PG,設(shè)PF=x，則￡>R=x,BF=26,-x，

X

所以

FG=2-正'

所以當X=里時，PG有最小值/，所以“BCP面積的最小值為友，故C不正確;

對于D,由于AE=CE=BE=DE=壺,所以￡為四面體ABCZ)的外接球的球心，且球的半價為J5,

所以四面體ABCD的外接球的表面積為4萬x(0)2=8萬，故D不正確，故選：AB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若從甲、乙、丙、丁4人中選出3名代表參加學(xué)校會議，則甲被選中的概率為—

3

【答案】-

4

【解析】任選3名代表的所有基本事件為：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4個，基本含有甲的事件

有3個，.?.所求概率為P==3.故答案為：一3.

44

14.如圖，在平行四邊形A8CO中，通=￡,而=萬，點。為對角線AC與BO的交點，點E在邊CO

上，且OE=2EC,則朝=.（用￡,B表示）

【答案】

26

—.2—.

【解析】由題意可得，DE=-DC,

_________1___2__.

OE=Ob+DE=-BD+-DC,

23

=（（而一洞而=g而+,通=產(chǎn)+》故答案為：

15.“倫敦眼”坐落在英國倫敦泰晤士河畔，是世界上首座觀景摩天輪，又稱“千禧之輪”，該摩天輪的半

徑為6（單位：10m）,游客在乘坐艙P升到上半空鳥瞰倫敦建筑BC,倫敦眼與建筑之間的距離為12

（單位：10m）,游客在乘坐艙P看建筑6C的視角為少

當乘坐艙P在倫敦眼的最高點。時，視角夕=30。，則建筑8c的高度為（單位：10m）

【答案】126-12（單位：10m）；

【解析】（1）當乘坐艙尸在倫敦眼的最高點。時，ZBDC=0=3O°,此時AD=AB=12,即

ZAB￡>=45°.所以ZBCr）=105°.

在等腰三角形中，BD=126.

，所以g=考五=】2有72

BDBC

由正弦定理得

sin105°sin30°2x----------

4

所以建筑8C的高度為126-12（單位：10m）.

16.如圖，設(shè)A43C的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、bc,V3（acosC4-ccosA）=2Z?sinB,且

冗

ZCAB=~.若點。是AA3C外一點，CD=LAD=3,則當NO時，四邊形A3C。的面

3

積的最大值為.

【解析】,,,>/3((7cosC+ccosA)=2/?sinB,

由正弦定理可得力(sinAcosC+cosAsinC)=2sin2B,

所以，2sin2B=6sin(A+C)=gsin(7r_5)=6sinb,

NCAB=。，，￡(0,—,可得sinjB>0,sin3=^^,...N3=。，

所以，△ABC為等邊三角形，設(shè)N￡>=6,則0<6〈萬，

由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2ADCDcos0=lO-6cos3，

S&ABC=；AC2sin(=2(10-6cos6)=cos6，

13

S,ACD=-AD-CDsin0=-sm0t所以，四邊形A3CO的面積為

上ine+速-述c°s*3sinL-4+述,

222(312

T[TT27rTCTC)7T

o<e(萬，二——<e一一<—，所以，當e——=一時，即當/。=。=二一時，四邊形ABCD的面積

333326

取最大值3+逑.故答案為:多；3+-.

262

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知復(fù)數(shù)z=(m2-5m+6)+(m-2)i(meR).

(1)若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；

(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)m=3(2)(2,3)

【解析】(1)因為復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，所以｛~"，解之得，m=3.

團一2。0

nr—5m+6<0

(2)因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，所以｛f

m-2>0

2<m<3

解之得｛c，得2〈帆<3.所以實數(shù)機的取值范圍為(2,3).

m>2

18.已知向量a=(1,2),行=(一3,女).

(i)若)〃)，求w的值；

(2)若3_1_(2+2可，求實數(shù)化的值；

(3)若￡與坂的夾角是鈍角，求實數(shù)人的取值范圍.

1Q

【答案】(1)3#>(2)k=-(3)kV—且攵w-6.

42

【解析】⑴因為向量￡=(1,2),1=(-3㈤，且://力,

所以lx左一2x(-3)=0,解得&=-6,

所以忖二^(-3)2+*4(-6)2=3亞：

(2)因為1+方=(-5,2+2左),且乙(￡+2可,

所以1x（—5）+2x（2+2攵）=0,解得％=；；

（3）因為7與另的夾角是鈍角，則72ko且公與B不共線.

3

即lx(-3)+2xZV0且左w-6,所以k＜］且攵H-6.

19.如圖，已知四棱錐產(chǎn)一ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,/氏40=90°,且43=BC=1,

4）=2，24=77），點〃為中點，平面B4T>_L平面A8CD,直線P3與平面A3CO所成角的正

切值為YZ.

么《

（1）求證：〃平面PCO；

（2）求四棱錐P—A8CZ）的體積；

（3）用一個平面去截四棱錐P-ABCD,請作出一個平行四邊形截面（無須證明），并寫出你能作出的平

行四邊形截面的個數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）g；（3）作圖見解析；無數(shù)個.

【解析】證明：（1）因為AD〃BC，BC=1,AT>=2,點/為的中點，所以BC〃MD,BC=MD.

從而四邊形8coM為平行四邊形，所以BM//CD.

又5MU平面PC。，C￡）u平面PCD，所以BM〃平面PCD.

(2)連結(jié)PM，因為=M為A。的中點，所以DMLAP.

又平面B4DJ_平面ABCD,平面P4Z)n平面ABCD=AD,PMu平面PAD,所以PM，平面ABCD.

所以直線PB與平面ABC。所成角為ZPBM，且tanNPBM=也=也，

BM2

4ZJBAD=90°>AB-AM-1>所以BM=V2,于是PM=1"

所以四棱錐P—ABCD的體積％梯形ABs/M=gxgx(l+2)xlxl=；.

(3)KZPD，A4的中點E，F(xiàn)，連結(jié)CE，EF-EB，則截面86￡五為平行四邊形，作出無數(shù)個平行

四邊形截面.

B

20.從①cosB+cos2=0；②sin?A-sin25+sin2C+sinAsinC=0：③力cosC+(2a+c)cosB=0,

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.

在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，若?

(1)求3；

(2)若〃=2遙且a+c=5,求△ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)—(2)也

34

【解析】(1)若選①cosB+cosg=0,則2cos20+cosO—l=0,即(2cosg—l)(cos0+l)=0,

22222

b,,B\、B,

所以cos—=-或cos—=-1,

222

因為0<3(乃，所以0<與〈三，所以cosg>0,所以cos'=—1不成立，

2222

所以cosg='，所以0=工，所以8=軍：

22233

若選②sin2A-sin28+sin?C+sinAsinC=0，

222

由正弦定理可得a-b+c+ac=Q^

所以cosB=

2

24

因為0<3<%，所以3=—；

3

若選③。COSC+(2Q+C)COS8=。,

由正弦定理可得sinB-cosC+(2sinA+sinC)cosB=0,

所以2sinAcosB+sin(B+C)=0,

所以2sinAcos3+sinA=0，

因為0<Av；r,所以sinA>(),所以cosB=-'，

2

因為0<3<〃，所以3=2二.

3

(2)由余弦定理得Z?2=々2+。2—230cos5，

2萬

所以20=(Q+C)2—2QC-2QCCOS——,

3

所以20=25-2QC-2QCX(-L),

2

所以=5,

所以AAbC的面積為Lacsin8=4x5x@=迫.

2224

21.某醫(yī)院為促進行風建設(shè)，擬對醫(yī)院的服務(wù)質(zhì)量進行量化考核，每個患者就醫(yī)后可以對醫(yī)院進行打分，最

高分為100分.上個月該醫(yī)院對100名患者進行了回訪調(diào)查，將他們按所打分數(shù)分成以下幾組：第一組

［0,20),第二組［20,40),第三組［40,60),第四組［60,80),第五組［80,100］,得到頻率分布直方圖，如

圖所示.

薪

0.0175---------------------------1----------

0.0150..............................................................

0.0125

0.0100.....................................

0.0075

0.0050-----------------

0.0025---------

0----------------------------------------------------?

20406080100分數(shù)

(1)求所打分數(shù)不低于60分的患者人數(shù)；

(2)該醫(yī)院在第二、三組患者中按分層抽樣的方法抽取6名患者進行深入調(diào)查，之后將從這6人中隨機抽

取2人聘為醫(yī)院行風監(jiān)督員，求行風監(jiān)督員來自不同組的概率.

Q

【答案】(1)65人；(2)一.

15

【解析】(1)由直方圖知，所打分值［60,100)的頻率為

0.0175x20+0.0150x20=0.65,

人數(shù)為100x0.65=65（人）

答：所打分數(shù)不低于60分的患者的人數(shù)為65人.

（2）由直方圖知，第二、三組的頻率分別為0.1和0.2,

則第二、三組人數(shù)分別為10人和20人，

所以根據(jù)分層抽樣的方法，抽出的6人中，

第二組和第三組的人數(shù)之比為1：2,

則第二組有2人，記為A3；第三組有4人，記為a,伍c,d.

從中隨機抽取2人的所有情況如下：44,4匕,4:,4/,8",劭,氏,氏/m13皿通<1,氏力4?（1共15種

其中，兩人來自不同組的情況有：Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,B