《計算機(jī)圖形學(xué)》完整課件

計算機(jī)圖形學(xué)

任鴻翔

大連海事大學(xué)航海學(xué)院航海動態(tài)仿真與控制室

教學(xué)目的

■掌握計算機(jī)圖形學(xué)的基本知識

■掌握三維圖形的顯示流程和基本變換

教材及參考書

■《計算機(jī)圖形學(xué)》（第3版）蔡士杰譯電子工業(yè)出版社

■《ComputerGraphicswithOpenGL》3rdEdition,DonaldHearn,PrenticeHall

《計算機(jī)圖形學(xué)》孫家廣編清華大學(xué)出版社

第一章計算機(jī)圖形學(xué)綜述

一、定義

Apictureisworthathousandwords.

計算機(jī)圖形學(xué)是研究通過計算機(jī)將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖形，并在專門的顯

示設(shè)備上顯示的原理、方法和技術(shù)的學(xué)科。

二、研究內(nèi)容

■圖形輸入、輸出設(shè)備與技術(shù)

■圖形的生成和表示技術(shù)

■圖形操作與處理方法

■圖形信息的描述和表示

■幾何模型的構(gòu)造技術(shù)

■動畫技術(shù)

■圖形實時性和真實感

三、相關(guān)學(xué)科

模計算機(jī)圖形學(xué)

數(shù)

圖

型

字

像

或

圖

處

數(shù)

像

理

據(jù)

模式識別

四、發(fā)展史

■硬件（大-＞小）

五十年代MIT—WhirlwindComputer（準(zhǔn)備期）

六十年代IvanSutherland--Sketchpad繪圖系統(tǒng)（發(fā)展期）

七十年代中型機(jī)、小型機(jī)（實用化）

八十年代圖形工作站（推廣應(yīng)用期）

九十年代PC+圖形加速卡（普及和廣泛應(yīng)用期）

■軟件（從非標(biāo)準(zhǔn)一＞標(biāo)準(zhǔn)化；從與設(shè)備相關(guān)一＞與設(shè)備無關(guān)）

七十年代ACMSIGGRAPH--3DCoreGraphicsSystem

八十年代ISO—GKS

ANSI—PHIGS

SGI-GL

九十年代OpenGL

DirectX

五、應(yīng)用

■圖和表■數(shù)據(jù)可視化■娛樂

■計算機(jī)輔助設(shè)計■教學(xué)和培訓(xùn)■圖像處理

■虛擬現(xiàn)實環(huán)境■計算機(jī)藝術(shù)■圖形用戶界面

大連海事大學(xué)大型船舶操縱模擬器

六、應(yīng)用程序演示

■MarineSimuIator(CCTV-1)演示

■MarineSimuIator(Under-sea)演示

■MarineSimuIator(Wuhan-harbour)演示

■CIothSimuIation演示

■FractaITerrain演示

第二章圖形學(xué)基礎(chǔ)

2.1圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1向量

2矩陣

3齊次坐標(biāo)

2.2圖形系統(tǒng)的相關(guān)設(shè)備

1圖形系統(tǒng)的組成

2圖形系統(tǒng)的分類

3圖形系統(tǒng)的顯示設(shè)備

4圖形系統(tǒng)的其他設(shè)備

<2.1圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

2.1.1向量

向量具有兩個基本特性：大小和方向。設(shè)有兩個三維向量V](xi，yr

-向量的長度(大小)

匕|=Jxj+yj+z；

V

昌稱為匕的單位化向量

■數(shù)乘向量

aVx=(叼,孫,名)。為實數(shù)

■向量和

=(x1,yl,z1)+(x2,y2,z2)

=(x1+x2,yl+y2,zl+z2)圖匕+匕

■向量的點積

匕?匕=|用悶cose=xi%2+JV2+Z1Z23為兩向量之間的夾角

匕.匕=0o匕JL%

點積滿足分配律、交換律和結(jié)合律

■向量的叉積

iJk

匕x%二/月

4=（y^2一乃4,4X2-Z2^1^172一巧必）

々當(dāng)z2

匕x%=00匕平行V2

叉積滿足分配律，不滿足交換律和結(jié)合律

匕x%+%）=匕x%+%x匕

匕

（匕x%）x匕￥%x（%x匕）

垂直/平行多邊形的方向多邊形的凸凹性

1.2矩陣

mxn階矩陣A定義為：

%%…％》

^m2…amn

其中為被稱為A的第i行第j列元素，（陽92，%3,…，陽）稱為第i個行向

量，（%,?2C均「-4砂）,稱為第）個列向量，如果加=〃稱A為n階矩陣或

n階方陣。

■矩陣的加法：

■1+41%2+可2…%+可廣

〃21+^21〃22+》22…a2n+^2n

JD—?■??????????

"ml+“加2+"m2…"mx

?數(shù)乘矩陣：

她1徹2…徹M

加21奶22九5

kA二

???????■■■■?

如加…ka.集

■矩陣的乘法：

Cmx〃=MnxpBpy;(%)心〃

P

矩陣中的元素。廣￡《也

k=[

矩陣的乘法滿足分配律、結(jié)合律，不滿足交換律

A{B+C)=AB+AC

ABC=(AB)C=A(BC)

AB^BA

-矩陣的轉(zhuǎn)置:

ana12,,,ana21…

〃21a22…々2nT〃12422am2

Anxn一A=

????■■■■???■???■■?

am2,,,a2n???3am刀

T二爐T

(T)T=A二A

?矩陣的逆：對于一個n階方陣A,如果存在一個n階方陣B,使得

AB二BA=In（單位矩陣），則稱B是A的逆，記為B=A'1

2.1.3齊次坐標(biāo)

所謂齊次坐標(biāo)就是用n+1維向量來表示n維向量，如向量（七,、2,…,乙

用齊次坐標(biāo)表示為（〃再，五大…，歷%〃），其中h為非0實數(shù)。顯然一個向量

的齊次坐標(biāo)表示是不唯一的。

2.2圖形系統(tǒng)的相關(guān)設(shè)備

2.2.1圖形系統(tǒng)的組成

軟件和

顯示設(shè)備圖形計算機(jī)L.

數(shù)據(jù)庫

2.2.2圖形系統(tǒng)的分類

1）采用大、中型計算機(jī)的圖形系統(tǒng)

2）采用圖形工作站的圖形系統(tǒng)

3）采用PC機(jī)的圖形系統(tǒng)

PC+圖形加速卡

2.2.3圖形系統(tǒng)的顯示設(shè)備

PCI/AGP/

CPU?4??顯卡?顯示器

PCI-E總線

圖圖形顯示流程示意圖

一、顯卡（圖形加速卡）

/顯示芯片（圖形處理器,GPU）

/顯存：

RAMDAC：

■總線接口：

輸出接口：

顯卡工住原理值第兩，

二、顯示器

CRT顯本器

液晶顯示器

等離子顯示器

圖具有一位幀緩存的黑白光柵顯示器工作原理

圖具有24位面的真彩色光柵顯示器工作原理

三、其他顯示設(shè)備

頭盔顯示器(HMD:Head-MountedDisplay)

CAVE

(CaveAutomaticVirtualEnvironment)

立體顯示器

2.2.4圖形系統(tǒng)的其他設(shè)備

數(shù)字化儀

第三章輸出圖元

圖具有一位幀緩存的黑白光柵顯示器工作原理

在光柵顯示器上顯示的任何一種圖形，實際上都

是一些具有一種或多種顏色的象素的集合。顯示一個

圖形的過程就是確定一個象素集合及其顏色過程，這

個過程稱為圖形的掃描轉(zhuǎn)換（或光柵化）。

對圖形的掃描轉(zhuǎn)換一般分兩個步驟：

1.先確定有關(guān)象素；

2.再對象素進(jìn)行寫操作（如顏色等）。

3.1線的掃描轉(zhuǎn)換

3.1.1數(shù)值微分法(DDA)理想直線：掃描轉(zhuǎn)換直線:

沒有寬度一個象素寬度

y=m-x+b無數(shù)個點有限個象素點

/7]

b-yx-m-xx

在屏幕上輸入兩端點，假定斜率0〈加4,

讓x從左端點到右端點變化，每步遞增1個

象素，計算對應(yīng)的y的坐標(biāo)。

(乙，為)(4+1，H+1)

/+1=%+1

yk+i=m(xk+1)+6=mxk+b+m=yk+m

XIX2左

E,)—(x+1,Round{yk+m))

圖3T

口

〉

OJ

r0<m<l：X每步遞增1個象素，y遞增m(直線斜率)

從

左

(X左，入)—(4+I,Roundlyk+m))

向<

右m>l：可將x和y的規(guī)則交換，y每步遞增1個象素，計算對應(yīng)的x的坐標(biāo)

(x,y)^(Round(x+—),^+1)

kkkm

從0<m<1：x每步遞減1個象素，y減少m(直線斜率)

右

向(乙，力)一(4一1，Round(yk-m))

左

m>\：同樣可將x和y的規(guī)則交換，y每步遞減1個象素，x減少1/m

(4，以)—(Round(x~~\y-1)

kmk

3.1.2Bresenham畫線算法

圖3-3局部顯示屏幕

圖3-4向右繪制的直線（0＜加41）圖3-5向左繪制的直線（加＞1）

圖3-6對（工，”）（%，/）兩圖3-7在取樣位置乙+1處，候選

點間的線段進(jìn)行掃描轉(zhuǎn)換象素到線段y坐標(biāo)之間的豎直距離

尸加6+1)+6

"2=(%+1)->

d、—d2—2y—2y左一1=2加+1)+2b—2y左一1

XkV1

加=ZA=電

演-4Ax

Ax(4—出)=Ax[2——(X/,+1)+2b—2力—1]

Ax"'

=2Ay?xk—2Ax?yk+2Ay+AY(2Z?—1)

=2Ay?xk-2Ax-yk+c其中c=24y+Ax(2Z?-1)

給定線段從左向右繪制,Ax>0,所以Ax（4-4）的符號與4—刈的符號相同。

令Pk=Ax（4-刈），稱以為Bresenham畫線算法中第k步的決策參數(shù)。

X.X.+1

pk-Ax(d[-d2)=2Ay-xk-2Ax'yk+c

Pk<0,則4—出<。，4<"2,選擇繪制（4+1，%）；

Pk>0,則dx-d2>0,4>d2,選擇繪制（4+Vyk+1）；

Pk=3選擇繪制?+L0+1）或a+L”）都可以,約定繪制?+1，%）。

（4，外）—（招+1，然+1）

以Pk&。

%左+1=4+1J4+1=

為+1A>°

Pk=2與?/_2Ax$+c

??

Bresenham畫線算法中第k+1步的決策參數(shù)Pk

Pk+i=2Ay?乙+]-2Ax?%+cX：

夕/1一74=2綠?4+]-2??+]+。一(2力?4-2??+。)

=2綠(Z+if.)-2Ax(%+i-%)

Pk+產(chǎn)Pk+2AW/+1-4)-2Ax(%|一力)

='"R可得

由項:+1=項+1，外+1:

U+lPk>。

2Pk4O

jpk+Ay

Pk+\-]“A

IA+W-2AxPk>0

Pk+2AyPk＜。

pk+\=

pk+2Ay-2AxPk＞。

由此可見，如果計算出第一個決策參數(shù)Po,其它的決策參數(shù)PA

可以由遞推算出（遞推算法中只有整數(shù)的加減法，易于硬件實現(xiàn)），

根據(jù)決策參數(shù)的符號可以決定選擇哪個象素點繪制，直到整個線段繪

制完畢。

p0=2Ay?-2Ax-ys+2Ay+Ax(2Z?—1)

—2Ay,Xs-2Ax,(——,xs+6)+2Ay+Ax(2Z?-1)

=-2Ax?b+2Ay+Ax(2b—1)

=2Ay-Ax

0<m<1時的Bresenham畫線算法：

1.輸入線的兩個端點，并將左端點存儲在（%s/s）中；

2.將（4,/）裝入幀緩沖存儲器中，畫出第一個點；

3.計算決策參數(shù)的第一個值：p0=2Ay-Ax；

4.從k二0開始，在沿線的每個4處，進(jìn)行下列檢測：

假如<0,下一個待畫點是（4+1,以），且外+1=外+2八y；

否則下一個待畫點是（項.+1,以+1）,且Pk+i=Pk+2Ay-2Ax；

5.重復(fù)步驟4,共AxT次。

作業(yè)一

1.圖形與圖像的聯(lián)系與區(qū)別。

2.顯存與幀緩存是一回事嗎？一顯示器可顯示256種顏色，其分辨率為

1024*1024,則需要的幀緩存容量至少為多少？

3.顯卡的主要組成有哪些？簡述顯卡的工作原理。

4.編程題：用VC或其他語言編寫程序，實現(xiàn)完整的Bresenham畫線算法。

3.2圓的掃描轉(zhuǎn)換一一中點畫圓法

{x-xcy+{y-ycf=r-

圖3—8圖3—9

坐標(biāo)系中任意一點(X,y)與圓的位置關(guān)系：在圓內(nèi)、在圓上和在圓外。

「＜0(x,y)位于圓邊界內(nèi)

farciedy)=x~+y2＜=0(x,y)位于圓邊界上

、＞0(x,y)位于圓邊界外

圖3To

￡力區(qū)（、，/）=、2+/一爐為中點畫圓算法的決策參數(shù)

第k步的決策參數(shù)以：Xr

2

Pk=farcied+l,yk-0.5）=（xk+1）+（yk-0.5）2—戶

Pk<0,中點在圓內(nèi)，選擇繪制（々+1，”）；

Pk>0,中點在圓外,選擇繪制（4+1,以-1）；

Pk=o,選擇繪制?+1,%-1）或?+1,"）都可以,約定繪制6+

（XQ%）—（4+』+1）

ykpk<°

4+1=為:+1"+1=

力—1PkN°

中點畫圓算法第k步的決策參數(shù)：

Pk=fcircle^k+Lh一0.5)=乂+I)2+(然一OS)?—/

中點畫圓算法第k+1步的決策參數(shù)：

222

Pk+1=fcircle(Xk+l+1，然+1一0?5)=(4+1+1)+(%+1一0.5)-r

Pk+\~Pk=(4+i+1)2+(%+i-。.5)2___+1)2+(然_0.5)2-r2]

222

二[(%+1)2—(/+1)]+[(加-0.5)-(然-0.5)]

Pm=A+K%+IP一@+1)?]+[(%]一OS：—(%_Oy

"A<°

X

k+\=Z+1，J4+1

》女一1P20

74+24+3=夕后+24+]+1A<°

Pk+\~

Pk+2*+3-2(yk-1)=pk+24+1+1-2yA+iPk?。

Pk+2?+1)+1=A+2/+1+1Pk<。

Pk+i~

Pk+20+1)+1—2(yk-1)=pk+2%a+1+1-2yk+ipk>0

在起始位置（0,r）處，初始決策參數(shù)為：

PO=/circled-0?5）=1+（一一0.5）2—/=[一尸

由此可見，如果計算出第一個決策參數(shù)Po,其它的決策參數(shù)”

可以由遞推算出（遞推算法中只有整數(shù)的加減法，易于硬件實現(xiàn)），

根據(jù)決策參數(shù)的符號可以決定選擇哪個象素點繪制，直到八分圓繪制

完畢。其它七個八分圓可由圓的對稱性進(jìn)行繪制。

中點畫圓算法：

1.輸入圓的半徑r和圓心（血,%）,得到圓心在原點的圓周上的第一點為：

（*0，歹0）—（0,r）；

2.計算決策參數(shù)的初始值：Po=j--；

3.從k=0開始，進(jìn)行下列檢測：

假如夕％<°,下一個待畫點是（4+1,以），Pk+i=Pk+2x,+1+1.

否則下一個待畫點是（4+1，%-1），且4+1=Pk+2/+1-2/+]+1.

4.確定在其它七個八分圓的對稱點；

5.將每個計算出的象素位置（x,y）移動到中心在（兒,％）的圓路徑上，

并畫坐標(biāo)值。x=x+xc,y=y+yc

6.重復(fù)步驟3—5,直至x>yo

3.3橢圓的掃描轉(zhuǎn)換一一中點畫橢圓法

橢圓中心在坐標(biāo)原圖3—11中心（％,〉,），長半

點的標(biāo)準(zhǔn)位置橢圓軸q和短半軸外的橢圓

“平移變換

橢圓中心在其它地

方的標(biāo)準(zhǔn)位置橢圓

H旋轉(zhuǎn)變換

非標(biāo)準(zhǔn)位置的橢圓

圖3—12橢圓的對稱性

橢圓某點處的斜率為：

dy_2小

dx

在區(qū)域1和區(qū)域2的交界處斜率為一1

蟲=7

dx

圖3-13橢圓的處理區(qū)域

r\2c2

2Gx=2rxy

所以從區(qū)域1移至區(qū)域2的條件是＞2rry

中心在坐標(biāo)原點（0,0）的標(biāo)準(zhǔn)位置橢圓，定義橢圓函數(shù)為:

<0（x,y）位于橢圓邊界內(nèi)

z*z\22.2222

/ellipse。，y)=GX+G歹~rxry\=0（x,y）位于橢圓邊界上

>0（x,y）位于橢圓邊界外

為中點畫橢圓算法的決策參數(shù),區(qū)域1的決策參數(shù)記為A：

PL=狐pseKOk)=ryXk+-rxry

凡=，颯e6+1，為一。-5）二弓2@+廳+々2（”一o《J一九2

第k步繪制（與，然）假設(shè)第k+1步繪制（X-i，力+1）

,1左＜0第k+1步繪制（乙+L以）％+1=%

plk20第k+i步繪制E+1,%—1）以+i=yk-i

在區(qū)域1,中點畫橢圓算法第k+l步的決策參數(shù)：xkx古1xt2

凡+1二狐/々+1+1，九+1一。5)圖3T4區(qū)域1(孫川

PL+l=d(/+l+1)2+1(九+1—0.5)2_r2r2

風(fēng)L日人+1)+If+/出廠0.5)2-

2

P1k+i="+1)2+2r；(Xk+1)+rv+&2(%+]—0.5)2_立+小力一。5了一日/一。5了

風(fēng)+廣風(fēng)+2G2(4+1)+d+/[(加―0.5)2_u_0.5力

pl"i=plk+2%2(/+1)+勺2+&2K_o5)2_(%—?！?]

pik<°=yk

風(fēng)+1=plk+2r；g+1)+Y=plk+2r^xk+1+r：

plk>0>人+i二>左—1

2

“k+i="L，+2r：(4+1)+々2+2r^-yk+1)=plk+2r^xk+x+ry-2r^yk+]

由此可見，在區(qū)域1中如果我們能計算出第一個決策參數(shù)川o,其

它的決策參數(shù)pl可以由遞歸算出，把兩個候選象素的中點代到?jīng)Q策

參數(shù)中，根據(jù)決策參數(shù)的符號可以決定選擇哪個象素點繪制，直到區(qū)

域1繪制完畢。在區(qū)域1中，決策參數(shù)的初始值可通過橢圓函數(shù)在起始

點(0,々)處求值得到：

2

P】o=feinPse^+1，4一0,5)=rv-r^ry+%

區(qū)域2的決策參數(shù)記為p2k：

P2k=/ellipse(Xk，/)=ryXk+J—

x22

P?k=feinPse{k+0$,%—1)=r}(xk+0.5)+/(%—Ip一YY

第k步繪制(/，/)假設(shè)第k+1步繪制(x《+i,力+i)

P2k—。弟k+1步繪制(x/c+\,yk—1)4+i=x%+1

P2k>0第k+1步繪制(與,以—1)xk+i=xk

在區(qū)域2,中點畫橢圓算法第k+1步的決策參數(shù)：

P2k+1=fellipse(Xk+\+°5，》左+1-D

(《加_)

p2k+l=YZ+1+05)2+2(]2_r2r2圖3-15區(qū)域2(%"Q

p2k+i=/(/+1+0.5)2+1[他一1)—1)[2一G2G2

2222

p2k+i=d(/+i+0?5『+rx(yk-1)-2r\yk-1)+-4葉++0.5)-r^xk+0.5)

陽+1圈-2/-1)+尋日(％+0.5)2+0.5)2]

P2m=P2k—2/（%-1）+1+不[（/討+O.5）2一（4+o.5）2]

P2k<0Z+i=4+1

2

P2g=P2k-2/（力_1）+1+2G2（/+1）=p2「2/%+]+/+2ryxk+i

P2k>。*+i=*卜

P2k+i=P2「2G之（%-1）+&2=p2k_2G2弘+]+丫；

由此可見，在區(qū)域2中如果我們能計算出第一個決策參數(shù)p20,

其它的決策參數(shù)夕2可以由遞歸算出，把兩個候選象素的中點代到?jīng)Q

策參數(shù)中，根據(jù)決策參數(shù)的符號可以決定選擇哪個象素點繪制，直

到區(qū)域2繪制完畢。在區(qū)域2中，決策參數(shù)的初始值可由區(qū)域1中最后

點（x/）求值得到：

p2o=/ellipse^+gy—1）=42a+0.5）2+/（y—if--j；

中心在坐標(biāo)原點的標(biāo)準(zhǔn)位置橢圓掃描轉(zhuǎn)換算法：將

1.輸入橢圓長短軸。弓，得到橢圓第一點為：（/，比）二（0,勺）勺

7717

2.計算區(qū)域1中決策參數(shù)的初始值：21。=弓-4弓+］丁；

3.在區(qū)域1中，從k=0開始，進(jìn)行下列檢測，直至2弓

假如pl%<0,下一個待畫點是（4+1,力），plk+l=風(fēng)+2弓2/+］+弓2；

否則下一個待畫點是（4+1,然一1）,21左+1=夕1A+262々+1+々2一2心2%+1；

確定其它三個象限中的對稱點

4.使用區(qū)域1中最后點（xj）來計算區(qū)域2決策參數(shù)的初始值：

22

p2o=+OS）?+rv（j/-l）-rvY

5.在區(qū)域2中，從k二0開始，進(jìn)行下列檢測，直至尸0：

22

假如-2%>0,下一個待畫點是心，丁-1）,夕2什］二22A「2不”X+G；

否則下一個待畫點是（4+1,%—1），夕2八］=p2k—2々2%+］+1+2與2隊小

確定其它三個象限中的對稱點

第四章二維幾何變換

4.1基本變換

4.2矩陣表示和齊次坐標(biāo)

4.3復(fù)合變換

4.4其他變換

4.5二維笛卡爾坐標(biāo)系間的變換

4.1基本變換

4.1.1平移

平移是將圖形從一個位置移到另一個位置的變換。

x'=%+tx

y'=y+ty

用列向量表示坐標(biāo)點p,p'：?P'(X',y)

ty

X，-|「X

p=p=?p(x,y)

令T=4

tx

山

得到平移變換的矩陣表示為:圖4—12點平移到夕'點

P'=P+T

4.1.2旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)是將圖形繞某一旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)一定角度的變換。

x'=/cos0+6)=rcos^cos^-rsin^sin^

y'=〃sin(0+e)=_cos0sine+rsin°cos。

x二rcos(f),y=rsin^

x'=xcos0-ysinO?P'（X；y）

y'=xsmO+ycosO

r

。一。?P（x,y）

Acossin、3

令R=r

sin。cos。\

'M

得到繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示為：

cos0-sin。*圖4—2p點繞原點旋轉(zhuǎn)到p'點

y'sin。cos0y_

P'=R-P

4.1.3縮放

縮放是將圖形相對于某一固定點放大或縮小的變換。

X'=X?sx

了二＞0

?P（x,y）

y5）

得到相對于坐標(biāo)原點縮放變換的

矩陣表示為：

圖4—3p點相對于原點x方向縮

放力,y方向縮放力得到夕'點

P'=SP

4.2矩陣表示和齊次坐標(biāo)

平移、旋轉(zhuǎn)和縮放三種基本變換的矩陣表示分別為：

P=P+TP=RPP=SP

1.對圖形做相對于坐標(biāo)原點先旋轉(zhuǎn)(R)、再縮放(S)的變換：

先旋轉(zhuǎn)變換：P'=R.P

再縮放變換：P'=SP=S(RP)=(SR)?P=MP

2.對圖形先做平移變換(T),再相對于坐標(biāo)原點做縮放變換(S)：

先平移變換：P=P+T

再縮放變換：P'=S?尸=S-(O+T)=S-P+S-T

表4-1兩個例子中的矩陣運算次數(shù)

一個占

1八、、三千個點三千個點(合并后)

例12次x6000次x3001次x

例21次x,l次+3000次x,3000次+3001次x,3000次+

在實際圖形系統(tǒng)中，經(jīng)常對圖形做多個變換，這就需要進(jìn)行大量的矩陣計算。

為了減少計算量，比較好的方法是將多個變換矩陣合并成一個復(fù)合變換矩陣。

所謂齊次坐標(biāo)就是用n+1維向量來表示n維向量，向量(2,％2,…，招)的齊

次坐標(biāo)表示是其中h為非0實數(shù)。二維點(x,y)的齊次坐

標(biāo)表示為(hx,hy,h),通常向1=1,(x,y)的齊次坐標(biāo)表示為(x,y,1)。

平移變換：

?P'(M,y5)

x'=x+4ty

?p(x,y)

y'=y+ty

用齊次坐標(biāo)表示坐標(biāo)點P,P\

tx

10X

令平移矩陣

79,6)=01y

001

得到平移變換的矩陣表示為:

對于繞坐標(biāo)原點的旋轉(zhuǎn)變換：

?P'（X：y）

x'=xcosO-ysinO

y'=xsin夕+ycos夕r

eep（x,y）

用齊次坐標(biāo)表示坐標(biāo)點，”

cos。一sin。0

令旋轉(zhuǎn)矩陣尺（。）=sin<9cos<90

001

得到繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示為:

一sin。0x

cos。0y

011

p=R（e）?p

對于相對于坐標(biāo)原點的縮放變換：

%'二X?sx

歹'二》巴

>p(x,y)

用齊次坐標(biāo)表示坐標(biāo)點p,p'

?p'(x',y)

邑oo

令縮放矩陣S（Sx，s,）=0Sy0

001

得到相對于坐標(biāo)原點縮放變換的矩陣表示為:

0

Sy

0

）?

采用齊次坐標(biāo)后，所有基本變換表示成矩陣的乘法，圖形在做多個變

換時，可將各變換矩陣按先后次序相乘，形成一個復(fù)合變換矩陣M；圖形上

的坐標(biāo)點只須與M相乘，便可完成一連串變換，得到新的坐標(biāo)點。

4.3復(fù)合變換

4.3.1復(fù)合平移

復(fù)合平移是將圖形做二次以上的平移變換。

在二維坐標(biāo)系中，將點)(x,y)平移兩次，第一次在x方向、y方向分別平

移&，&，第二次在x方向、y方向分別平移的心，得到點

P=T（M>&（%，%）?口

=[7&2，3）"（&，％）]，

1o%]ri0%+4.2

T9242）,T（&,外1）=。1%?01。=01,+ty2

001J[ooijL°01

=T（1+&2冊+。2）

P=TQxl+&2，4+&）,0

4.3.2復(fù)合旋轉(zhuǎn)

復(fù)合旋轉(zhuǎn)是將圖形繞坐標(biāo)原點進(jìn)行多次旋轉(zhuǎn)變換。

將點Mx/)旋轉(zhuǎn)兩次，先繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)q角，再繞坐標(biāo)原點逆

時針旋轉(zhuǎn)。2角，得到點夕：

P'=R(2)?［火⑹,口=網(wǎng)2)?P

cos^2-sin6)20cos6]—sin40

?sin4cos。10

R?.RG)=sin2cos^20

001001

cosdcos02-sin0{sin02-sinqcosa-cos61sin020

cos61sin2+sin仇cos%cos，cosa—sin仇sin%。

001

cos(^+02)-sin(4+2)0

sin(a+2)cos{01+^2)0=K(a+a)

001

4.3.3復(fù)合縮放

復(fù)合縮放是將圖形相對于坐標(biāo)原點進(jìn)行多次縮放變換。

將點）（兀V）縮放兩次，先相對于坐標(biāo)原點縮放外,再相對于坐標(biāo)原

點縮放%,%,得到點夕：

尸'=862%2）3（%?。?尸］

=[8(&2%2>5(%巴1)],尸

K°o[「S"00

S(Sx2，S”>S(%i，Syi)=05^20.0s.0

001JLo01

Sjcl,Sx200

二0Syi'sy20

001

=S(Sxi?Sx2，s,i-Sy2)

戶'=5(%1?12,5..5丁2).尸

4.3.4繞（匕,％）點的旋轉(zhuǎn)變換

當(dāng)旋轉(zhuǎn)點不為坐標(biāo)原點，而是任一點（芍,以），圖形繞（5,乂）旋轉(zhuǎn)夕

角的旋轉(zhuǎn)變換：

1.平移圖形使旋轉(zhuǎn)點（芍,外）與坐標(biāo)原點重合，平移變換矩陣為7（-%,-%）；

2.圖形繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)。，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為&（夕）；

3.平移圖形使旋轉(zhuǎn)點回到其原始位置，平移變換矩陣為。

繞（當(dāng),乂）旋轉(zhuǎn)。角旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合變換陣/=T（Xr，yAR3）?T（f,—y）

圖4—4繞（再旋轉(zhuǎn)。角的旋轉(zhuǎn)變換

〃=7KJ)H(e)?T(f券)

■

10%cos^-sin^010-xr

01sin5COS000

yr1_K

00i001001

cos5-sin0xr(1-cos5)+sin5

二sin。cos5yr(1-cos5)-xrsin5

001

P=MP

4.3.5相對于（號,力）點的縮放變換

當(dāng)固定點不為坐標(biāo)原點，而是任一點（Xf//），圖形相對于縮放

系數(shù)為％,S?的縮放變換：

1.平移圖形使固定點（號,〃）與坐標(biāo)原點重合，平移變換矩陣為T（-X/,-刀.）；

2.圖形相對于坐標(biāo)原點縮放工,S），縮放變換矩陣為8（%,%）；

3.平移圖形使固定點回到其原始位置，平移變換矩陣為

相對于（號,〃）點縮放變換的復(fù)合變換陣M=?S（Sx，%>T{-xf-yf）

圖4—5相對于（x/J/Jl勺縮放變換

(

二

X

—

)

J

7,

c

)，

?s

s(

K二

J)

sn

4.3.6變換的次序

圖形先后做多個變換MM，…,M〃,復(fù)合變換矩陣M由各變換矩陣依次

相乘得到，要注意各變換矩陣相乘的次序。

例：如圖所示，對同一三角形分別進(jìn)行兩次復(fù)合變換，請畫出每次復(fù)合變

換后三角形的位置。復(fù)合變換矩陣分別為：

R(90°廠7一1,0)7(—1,0)/(90〉

圖4-6變換矩陣相乘的次序不同得到的變換結(jié)果不同

4.4其他變換

4.4.1反射（對稱）

圖4—7反射變換

abde反射變換

100-1關(guān)于x軸

-1001關(guān)于y軸

ab0-100-1關(guān)于原點

0110關(guān)于y=x

常用的反射變換矩陣通式：M"de0

0010-1-10關(guān)于y=-x

■4.4.2錯切

圖4—8錯切變換

-

x'X1bO-Xx+byX’v'錯切變換

y'=Msh-y—d10y—dx+yb彳O,d=0x+byy關(guān)于x軸

ii001i1b=0,dw0Xdx+y關(guān)于y軸

1bO-

相對于x、y軸的錯切變換矩陣通式：Mshd10

001

圖形相對于與X或y軸平行的直線做錯切變換可由以下兒步完成:

1.平移圖形使直線與x或y軸重合；

2.圖形相對于x或y軸做錯切變換；

3.平移圖形使直線回到其原始位置。

例：對圖形相對于直線y二T做錯切變換，錯切參數(shù)為1/2。

%%

M=7(0-(；)1(0,1)=010

001

4.5二維笛卡爾坐標(biāo)系間的變換

yi

vi

cP(U,V)

2?

iL__________

u

o237

(1)

yi

vip

P、%。

2?5

pbP'S-

1一

u

。23r

(3)

yiPN=P'uv

=R(-30。).以

2=H(—30)7(—2,—1)?七

1=M%

(2)

yi

M=7?(-30)-7(-2,-l)

cos(-30)-sin(-30)OT1

sin(-30)cos(-30)00

01

yi

%=MP”

"(V3+%一

1

ou'

如圖兩個笛卡爾坐標(biāo)系：xy系和uv系。

圖形從xy系坐標(biāo)變換到uv系坐標(biāo)，必須建立uv系到xy

系的變換：

oXX

1.平移UV系，使UV系的坐標(biāo)原點與xy系的原點重合;a

10_XQ

丁（一/，一y0）=°1_7o

001

2.旋轉(zhuǎn)uv系8角，使u軸與X軸重合。

cos。sin。0

R（—8）=—sin。cos。0

001

將這兩個矩陣合并成復(fù)合矩陣：

M=R（—”（一/,一為）

圖4—9笛卡爾坐標(biāo)系間變換

yi

在許多情況下，兩坐標(biāo)系中U軸和X軸的夾角8并

不知道，此時可利用UV軸的軸向量來完成旋轉(zhuǎn)變換：

/U

U軸的單位向量為u(ux,uy)

22

Ux+uy=1

Ux

-------1Jcin—=U

COS0=-yOUx

\u^+u2xA2+u2

yy

圖利用軸向量

cos。sin。0~uo-4—10

x進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

R(叫=-sin。cos。0—-uy%0

001001

V軸的單位向量為V（匕，V，，它是由單位向量〃旋轉(zhuǎn)90度得到的

V=-u.V=uXvVXcos90°-sin90°0ux

-

-4UUysin90°cos90°0u

yo州y

1[1

—V

R(-e)=~Uyux0匕yD00

001001

因此，由UV坐標(biāo)軸的單位向量可得到兩坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換陣。

第五章二維觀察

5.1例子與基本概念

5.2觀察流程

5.3建模變換

5.4觀察變換

5.5規(guī)范化變換

5.6視口變換

5.1例子與基本概念

裁

剪

窗

口

X

(-0.5,-0.5)

(-2.0,-2.0)

建模(局部)坐標(biāo)系世界(全局)坐標(biāo)系設(shè)備坐標(biāo)系設(shè)備坐標(biāo)系

ModelingCoordinateWorldCoordinateDeviceCoordinateDeviceCoordinate

圖5-1用OpenGL顯示一個簡單的兩維圖形

裁男/觀察窗口(cIipping/viewingwindow)：場景中要顯示的區(qū)域。

屏幕(screen)：圖形顯示器輸出的最大區(qū)域。

窗口(window)：小于或等于屏幕區(qū)域。

視口(viewport)：小于或等于窗口區(qū)域。

二維觀察變換(ViewingTransformation)：圖形由世界坐標(biāo)系裁剪窗口映射

到設(shè)備坐標(biāo)系視口的過程。

5.2觀察流程

?HelloME區(qū)I

裁剪窗口yn*

~7iXn

(-0.5,-0.5)

(-2.0,-2.0)