2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.2圓與圓的方程2.2.3.2圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案含解析北師大版必修2_第1頁(yè)
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PAGE2.3.2圓與圓的位置關(guān)系考綱定位重難突破1.能依據(jù)兩個(gè)圓的方程,推斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.2.能依據(jù)兩圓的位置關(guān)系,求有關(guān)直線或圓的方程.3.了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.重點(diǎn):對(duì)兩圓內(nèi)切、外切時(shí)位置關(guān)系的推斷和應(yīng)用.難點(diǎn):常與方程、有關(guān)圓的平面幾何學(xué)問(wèn)結(jié)合命題方法:用坐標(biāo)法解決與圓有關(guān)的平面幾何問(wèn)題.授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第53頁(yè)[自主梳理]圓與圓的位置關(guān)系及判定已知兩圓C1:(x-x1)2+(y-y1)2=req\o\al(2,1),C2:(x-x2)2+(y-y2)2=req\o\al(2,2),則圓心分別為C1(x1,y1),C2(x2,y2),半徑分別為r1,r2,圓心距d=|C1C2|=eq\r(x1-x22+y1-y22).則兩圓C1,C2有以下位置關(guān)系位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心距與半徑圖形表示兩圓相離0,d>r1+r2兩圓內(nèi)含d<|r1-r2|兩圓相交,2|r1-r2|<d<r1+r2兩圓內(nèi)切1d=|r1-r2|兩圓外切d=r1+r2,[雙基自測(cè)]1.圓(x-2)2+(y+2)2=9與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是()A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含解析:兩圓的圓心分別是(2,-2),(0,0),半徑分別是3和1,所以圓心距為eq\r(2-02+-2-02)=2eq\r(2),2<2eq\r(2)<4,所以兩圓相交.答案:C2.若兩圓x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(1,121) B.[1,121]C.(1,11) D.[1,11]解析:兩圓的圓心分別為(0,0),(-3,4),半徑分別為eq\r(m)和6,它們有公共點(diǎn),所以兩圓相切或相交.∴|eq\r(m)-6|≤eq\r(32+42)≤eq\r(m)+6,解得1≤m≤121.答案:B3.兩圓(x-1)2+(y-1)2=2和(x+2)2+(y-4)2=3的公切線的條數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4解析:兩圓的圓心分別是(1,1),(-2,4),半徑分別是eq\r(2)和eq\r(3),圓心距為eq\r(-2-12+4-12)=3eq\r(2),因?yàn)?eq\r(2)>eq\r(2)+eq\r(3),所以兩圓相離,所以兩圓有4條公切線.答案:D4.已知兩圓x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=30相交于A,B兩點(diǎn),則直線AB的方程是________.解析:把圓(x-1)2+(y-3)2=30的方程化為x2+y2-2x-6y=20,與圓x2+y2=10兩邊相減,得2x+6y=-10,即x+3y+5=0為直線AB的方程.答案:x+3y+5=05.已知兩圓x2+y2=1和(x+2)2+(y-a)2=25沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________.解析:由已知,得兩圓的圓心分別為(0,0),(-2,a),半徑分別為1,5,圓心距d=eq\r(0+22+0-a2)=eq\r(a2+4).∵兩圓沒(méi)有公共點(diǎn),∴eq\r(a2+4)<5-1或eq\r(a2+4)>5+1,解得-2eq\r(3)<a<2eq\r(3)或a<-4eq\r(2)或a>4eq\r(2).答案:(-∞,-4eq\r(2))∪(-2eq\r(3),2eq\r(3))∪(4eq\r(2),+∞)授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第54頁(yè)探究一圓與圓的位置關(guān)系判定[典例1]已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0與圓C2:x2+y2+2x=0.(1)當(dāng)m=1時(shí),圓C1與圓C2是什么關(guān)系?(2)當(dāng)m=4時(shí),圓C1與圓C2是什么關(guān)系?(3)若兩圓有三條公切線,求實(shí)數(shù)m的值;(4)是否存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含?[解析](1)∵m=1.∴兩圓的方程分別可化為C1:(x-1)2+(y+2)2=9.C2:(x+1)2+y2=1.兩圓的圓心距d=eq\r(1+12+-22)=2eq\r(2),又∵r1+r2=3+1=4,|r1-r2|=|3-1|=2,∴|r1-r2|<d<r1+r2.∴圓C1與圓C2相交.(2)當(dāng)m=4時(shí),兩圓的方程分別可化為C1:(x-4)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1.兩圓的圓心距d=eq\r(4+12+-22)=eq\r(29),又∵r1+r2=3+1,∴d>r1+r2.∴圓C1與圓C2相離.(3)圓C1的方程為(x-m)2+(y+2)2=9,∴圓心C1(m,-2),半徑r1=3,圓C2的方程為(x+1)2+y2=1,∴圓心C2(-1,0),半徑r2=1,當(dāng)兩圓有三條公切線時(shí),它們相外切,因此|C1C2|=r1+r2,即eq\r(m+12+-22)=4,解得m=-1±2eq\r(3).(4)假設(shè)存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含,則eq\r(m+12+-22)<3-1,即(m+1)2<-2<0,明顯不等式無(wú)解.故不存在m使得圓C1與圓C2內(nèi)含.1.推斷兩圓的位置關(guān)系,通常采納幾何法,而不是用兩圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)推斷,因?yàn)樗鼈冎g并不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,如兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),兩圓可能內(nèi)切,也可能外切;兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),它們可能相離,也可能內(nèi)含,無(wú)法確定是哪一種位置關(guān)系.2.利用幾何法推斷兩圓位置關(guān)系可按如下步驟進(jìn)行:(1)計(jì)算兩圓的半徑r1,r2;(2)計(jì)算兩圓的圓心距d;(3)得出d,r1,r2之間的等量(不等量)關(guān)系;(4)推斷兩圓的位置關(guān)系.1.當(dāng)a為何值時(shí),兩圓C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0的位置關(guān)系為:(1)外切?(2)相交?(3)外離?解析:將兩圓的一般方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程得,C1:(x-a)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2=4,所以兩圓的圓心和半徑分別為:C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.設(shè)兩圓的圓心距為d,則d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.(1)當(dāng)d=5,即2a2+6此時(shí)a=-5或a=2.(2)當(dāng)1<d<5,即1<2a2+6此時(shí)-5<a<-2或-1<a<2.(3)當(dāng)d>5,即2a2+6a+5>25時(shí),兩圓外離,此時(shí)a>2或探究二圓與圓相切的問(wèn)題[典例2]試求與圓(x-2)2+(y+1)2=4相切于點(diǎn)(4,-1),且半徑等于1的圓的方程.[解析]設(shè)所求圓的圓心為P(a,b),所以eq\r(a-42+b+12)=1.①若兩圓外切,則有eq\r(a-22+b+12)=1+2=3.②由①②,解得a=5,b=-1.所以所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1.若兩圓內(nèi)切,則有eq\r(a-22+b+12)=2-1=1.③由①③,解得a=3,b=-1.所以所求圓的方程為(x-3)2+(y+1)2=1.綜上,可知所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.求公切線的五個(gè)步驟(1)推斷公切線的條數(shù).(2)設(shè)出公切線的方程.(3)利用切線性質(zhì)建立所設(shè)字母的方程,求解字母的值.(4)驗(yàn)證特別狀況下的直線是否為公切線.(5)歸納總結(jié).留意對(duì)于求公切線問(wèn)題,不要漏解,應(yīng)先依據(jù)兩圓的位置關(guān)系來(lái)推斷公切線的條數(shù).2.求與圓M:(x-1)2+y2=1外切,且與直線x+eq\r(3)y=0相切于點(diǎn)Q(3,-eq\r(3))的圓N的方程.解析:設(shè)所求圓N的圓心為N(a,b),半徑為r.因?yàn)樗髨AN與直線x+eq\r(3)y=0相切于點(diǎn)Q(3,-eq\r(3)),所以直線NQ垂直于直線x+eq\r(3)y=0,所以kNQ=eq\f(b+\r(3),a-3)=eq\r(3),即b=eq\r(3)a-4eq\r(3),圓N的半徑r=|NQ|=eq\r(a-32+b+\r(3)2)=eq\r(a-32+\r(3)a-4\r(3)+\r(3)2)=2|a-3|.因?yàn)閳AN與圓M:(x-1)2+y2=1外切,所以|MN|=eq\r(a-12+b2)=1+r=1+2|a-3|,即eq\r(a-12+3a-42)=1+2|a-3|.對(duì)該式探討如下:①當(dāng)a≥3時(shí),可得a=4,b=0,r=2,所以圓N的方程為(x-4)2+y2=4;②當(dāng)a<3時(shí),可得a=0,b=-4eq\r(3),r=6,所以圓N的方程為x2+(y+4eq\r(3))2=36.于是所求圓N的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+4eq\r(3))2=36.探究三圓與圓相交的問(wèn)題[典例3]已知圓O:x2+y2=25和圓C:x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B兩點(diǎn).(1)求線段AB的垂直平分線的方程;(2)求AB所在直線的方程;(3)求公共弦AB的長(zhǎng)度.[解析](1)由于兩圓相交于A,B兩點(diǎn),所以線段AB的垂直平分線就是兩圓的圓心的連線.又圓O:x2+y2=25的圓心O(0,0),圓C:(x-2)2+(y-1)2=25的圓心C(2,1),所以kOC=eq\f(1,2),由點(diǎn)斜式得y=eq\f(1,2)x,即x-2y=0.故AB的垂直平分線的方程為x-2y=0.(2)將兩圓方程相減即得公共弦AB所在直線的方程為4x+2y-5=0.(3)圓x2+y2=25的圓心到直線AB的距離d=eq\f(|5|,\r(20))=eq\f(\r(5),2),所以公共弦AB的長(zhǎng)|AB|=2eq\r(r2-d2)=2eq\r(25-\f(5,4))=eq\r(95).1.兩圓相交時(shí),公共弦所在的直線方程的求法:若圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,即兩圓方程相減即得.2.公共弦長(zhǎng)的求法:(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).(2)幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形,依據(jù)勾股定理求解.3.已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng).解析:設(shè)兩圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2+2x-6y+1=0①,x2+y2-4x+2y-11=0②))的解,①-②得:3x-4y+6=0.∵A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)都滿意此方程,∴3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.易知圓C1的圓心(-1,3),半徑r=3.又C1到直線AB的距離為d=eq\f(|-1×3-4×3+6|,\r(32+42))=eq\f(9,5).∴|AB|=2eq\r(r2-d2)=2eq\r(32-\f(9,5)2)=eq\f(24,5).即兩圓的公共弦長(zhǎng)為eq\f(24,5).巧用圓系方程解題[典例]求圓心在直線x+y=0上,且過(guò)兩圓x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程.[解析]設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,同除以1+λ可得,x2+y2+eq\f(2λ-2,1+λ)x+eq\f(2λ+10,1+λ)y-eq\f(8λ+24,1+λ)=0,此圓的圓心Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(λ-1,1+λ),-\f(λ+5,1+λ))).又因?yàn)閳A心在直線x+y=0上,所以-eq\f(λ-1,1+λ)-eq\f(λ+5,1+λ)=0,得λ=-2.所以所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.[感悟提高]1.一般地,過(guò)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后再由其他條件求出λ,即可得圓的方程.2.利用圓系,恰當(dāng)設(shè)出所求圓的方程是解本題的關(guān)鍵,將方程整理后,圓心坐標(biāo)的表示要精確.最終的結(jié)果要整理成圓的一般方程(或標(biāo)準(zhǔn)方程).[隨堂訓(xùn)練]對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第55頁(yè)1.圓C1:x2+y2+4x-4y+7=0和圓C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切線有()A.1條 B.3條C.4條 D.以上均不正確解析:∵C1(-2,2),r1=1,C2(2,5),r2=4,∴|C1C2|=5=r1+r2,∴兩圓相外切,因此公切線有3條,因此選B.答案:B2.圓x2+y2-2x-5=0和圓x2+y2+2x-4y-4=0的交點(diǎn)為A、B,則線段AB的垂直平分線的方程為()A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0解析:圓x2+y2-2x-5=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-1)2+y2=6,其圓心是(1,0);圓x2+y2+2x-4y-4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+1)2+(y-2)2=9,其圓心是(-1,2).線段AB的垂直平分線就是過(guò)兩圓圓心的直線,驗(yàn)證可得A正確.答案:A3.已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x-5)2+(y+7)2=16相切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A.(x-5)2+(y-7)2=25B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(

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