2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.5.2二項式系數(shù)的性質(zhì)學案含解析北師大版選修2-3

PAGE5.2二項式系數(shù)的性質(zhì)授課提示：對應學生用書第22頁[自主梳理]二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性在(a＋b)n綻開式中，與首末兩端______的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝________增減性與最大值增減性：當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是漸漸增大的；當k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是漸漸減小的.最大值：當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)Ceq\f(n,2)n最大，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)Ceq\f(n－1,2)n，Ceq\f(n＋1,2)n相等，且同時取得最大值各二項式系數(shù)的和①Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝______；②Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝______[雙基自測]1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))10的綻開式中，系數(shù)最大的項是()A．第六項B．第三項C．第三項和第六項D．第五項和第七項2．Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)的值為________．[自主梳理]等距離Ceq\o\al(n－m,n)2n2n－1[雙基自測]1．D綻開式第六項系數(shù)為－Ceq\o\al(5,10)，第五項和第七項系數(shù)為Ceq\o\al(4,10)、Ceq\o\al(6,10)，且Ceq\o\al(4,10)＝Ceq\o\al(6,10).2．1023∵(1＋1)10＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)，∴Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210－1＝1023.授課提示：對應學生用書第22頁探究一賦值法求多項式系數(shù)和[例1]若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[解析](1)令x＝0，則a0＝－1，令x＝1，則a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，則－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由eq\f(①－②,2)得：a1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(1,2)[128－(－4)7]＝8256.(3)由eq\f(①＋②,2)得：a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(1,2)[128＋(－4)7]＝－8128.(4)解法一∵(3x－1)7綻開式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8256－(－8128)＝16384.解法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即為(1＋3x)7綻開式中各項的系數(shù)和，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16384.求綻開式中的系數(shù)或綻開式中的系數(shù)的和、差的關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需依據(jù)所求的綻開式系數(shù)和特征來確定．一般地對字母賦的值為1或－1，但在解決詳細問題時要敏捷駕馭．1．在二項式(2x－3y)9的綻開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；(3)全部奇數(shù)項系數(shù)之和；(4)各項系數(shù)肯定值的和．解析：設(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二項式系數(shù)之和為Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29＝512.(2)令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1，即各項系數(shù)和為－1.(3)由(2)得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59，②①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(59－1,2)，即全部奇數(shù)項系數(shù)之和為eq\f(59－1,2).(4)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(2x)9－r(－3y)r＝(－1)rCeq\o\al(r,9)·29－r3rx9－ryr，因此當r＝1,3,5,7,9時，Tr＋1的系數(shù)小于0，即a1，a3，a5，a7，a9均小于0.∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…＋a8－a9＝59.探究二增減性與最值問題[例2]已知：(xeq\f(2,3)＋3x2)n的綻開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992.(1)求綻開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求綻開式中系數(shù)最大的項．[解析]令x＝1，則綻開式中各項系數(shù)和為(1＋3)n＝22n，又綻開式中二項式系數(shù)和為2n，∴22n－2n＝992，∴n＝5.(1)∵n＝5，綻開式共6項，二項式系數(shù)最大的項為第3、4兩項，∴T3＝Ceq\o\al(2,5)(xeq\f(2,3))3(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)(xeq\f(2,3))2(3x2)3＝270xeq\f(22,3).(2)設綻開式中第r＋1項系數(shù)最大，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(xeq\f(2,3))5－r(3x2)r＝3rCeq\o\al(r,5)xeq\f(10＋4r,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3rC\o\al(r,5)≥3r－1C\o\al(r－1,5),3rC\o\al(r,5)≥3r＋1C\o\al(r＋1,5)))?eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∴r＝4.即綻開式中第5項系數(shù)最大，T5＝Ceq\o\al(4,5)(xeq\f(2,3))5－4(3x2)4＝405xeq\f(26,3).(1)依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．(2)求綻開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需依據(jù)各項系數(shù)的正、負改變狀況，一般采納列不等式(組)，解不等式(組)的方法求解．一般地，假如第r＋1項的系數(shù)最大，則與之相鄰兩項(第r項，第r＋2項)的系數(shù)均不大于第r＋1項的系數(shù)，由此列不等式組可確定r的范圍，再依據(jù)r∈N來確定r的值，即可求出最大項．2．(1＋2x)n的綻開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求綻開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項．解析：T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依題意有Ceq\o\al(5,n)25＝Ceq\o\al(6,n)26?n＝8.∴(1＋2x)8的綻開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5＝Ceq\o\al(4,8)·(2x)4＝1120x4.設第r＋1項系數(shù)最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r－1,8)·2r－1,C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r＋1,8)·2r＋1))?5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∵r∈{0,1,2，…，8}，∴系數(shù)最大的項為T6＝1792x5，T7＝1792x6.探究三證明與組合數(shù)有關的恒等式[例3]求證：Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)Ceq\o\al(n,n)＝eq\f(2n！,n－1！n＋1！).[證明](1＋x)2n綻開式中xn－1的系數(shù)為Ceq\o\al(n－1,2n)＝eq\f(2n！,n－1！n＋1！)，又(1＋x)2n＝(1＋x)n(x＋1)n＝(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)xn－1＋Ceq\o\al(n,n)xn)(Ceq\o\al(0,n)xn＋Ceq\o\al(1,n)xn－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)x＋Ceq\o\al(n,n))，∴等式右邊積中xn－1的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)Ceq\o\al(n,n).∵兩種綻開式xn－1的系數(shù)應相等，∴Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)Ceq\o\al(n,n)＝eq\f(2n！,n－1！n＋1！).解決組合恒等式的問題，關鍵在于構造不同的二項式，利用二項式的不同綻開方法，比較系數(shù)得到相應的恒等式．有時取二項式中字母為某些特別值也可得到相應的組合恒等式．3．求證：(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2＝eq\f(2n！,n！n！).證明：已知(1＋x)2n＝(1＋x)n·(1＋x)n＝(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)，(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)中xn的系數(shù)為第一個因式中xr的系數(shù)與其次個因式中xn－r的系數(shù)的乘積的和．因為xr的系數(shù)Ceq\o\al(r,n)與xn－r的系數(shù)Ceq\o\al(n－r,n)相等，所以(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)中xn的系數(shù)為(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2.又(1＋x)2n的綻開式中xn的系數(shù)為Ceq\o\al(n,2n)，因此有(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2＝Ceq\o\al(n,2n)＝eq\f(2n！,n！n！).混淆各項的系數(shù)和與各項的二項式系數(shù)和致誤[典例]在(1－2x)7的綻開式中，各項的二項式系數(shù)和為________；各項的系數(shù)和為________；各項系數(shù)的肯定值之和為________．[解析]各項的二項式系數(shù)和為27＝128；令x＝1，則得各項的系數(shù)和為(1－2)7＝－1；令x＝－1，則得各項系數(shù)的肯定值之和為(1＋2)7＝2187.[答案]128－12187[錯因與防范]1.這類問題，極易忽視一些條件或混淆一些概念導致題目解答錯誤．2．設a，b為常數(shù)，則(ax＋b)n的綻開式中各項的二項式系數(shù)和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.在(ax＋b)n的綻開式中令x＝1，則得(ax＋b)n的綻開式中各項的系數(shù)和為(a＋b)n.3．求綻開式的系數(shù)和關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需依據(jù)所求的綻開式系數(shù)和特征來定．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的綻開式中各項系數(shù)的和為2，則該綻開式中常數(shù)項為()A．－40 B．－20C．20 D．40(2)(x2＋x－1)9(2x＋1)4的綻開式中全部x的奇次冪的系數(shù)之和等于________，全部x的偶次冪(包括x0)的系數(shù)之和等于________．解析：(1)對于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5，可