新課程2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第5講古典概型學(xué)案含解析

PAGE第5講古典概型[考綱解讀]1.理解古典概型及其概率計算公式，會計算一些隨機事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率．(重點、難點)2.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講始終是高考的熱點之一．預(yù)料2024年將會考查：①古典概型的基本計算；②古典概型與其他學(xué)問相結(jié)合．題型以解答題為主，也可能出選擇題、填空題，與實際背景相結(jié)合，試題難度中等.1．基本領(lǐng)件的特點(1)任何兩個基本領(lǐng)件都是eq\o(□,\s\up3(01))互斥的．(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成eq\o(□,\s\up3(02))基本領(lǐng)件的和．2．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件eq\o(□,\s\up3(01))只有有限個．(2)等可能性：每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性eq\o(□,\s\up3(02))相等．3．假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本領(lǐng)件的概率都是eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(1,n)；假如某個事務(wù)A包括的結(jié)果有m個，那么事務(wù)A的概率P(A)＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).1．概念辨析(1)在一次試驗中，其基本領(lǐng)件的發(fā)生肯定是等可能的.()(2)“在相宜條件下，種下一粒種子視察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本領(lǐng)件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(3)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事務(wù)．()(4)從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)同時拋擲兩枚骰子，則向上的點數(shù)之和是7的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案A解析記拋擲兩枚骰子向上的點數(shù)分別為a，b，則可得到數(shù)組(a，b)共有36組，其中滿意a＋b＝7的共有6組，分別為(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率為P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)從1,2,3,4這四個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)答案A解析從1,2,3,4中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共12種等可能發(fā)生的結(jié)果，其中大于30的兩位數(shù)有31,32,34,41,42，43，共6個，所以這個兩位數(shù)大于30的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(3)從5名醫(yī)生(3男2女)中隨機等可能地選派兩名醫(yī)生，則恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)答案D解析從5名醫(yī)生中選派兩名醫(yī)生的基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，恰選1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生的基本領(lǐng)件m＝Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6，所以所求事務(wù)概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選D.(4)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析全部可能的排列方法有Aeq\o\al(3,3)＝6種，2本數(shù)學(xué)書相鄰的排列方法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4種(先排列數(shù)學(xué)書，再把兩本數(shù)學(xué)書作為整體和語文書進行排列)．所以依據(jù)概率的計算公式，所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選C.題型一古典概型的簡潔問題1．(2024·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，這25種基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是相等的．第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務(wù)數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.2．將A，B，C，D這4名同學(xué)從左至右隨機地排成一排，則“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)”的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案B解析A，B，C，D4名同學(xué)排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24種排法．當(dāng)A，C之間是B時，有2×2＝4種排法，當(dāng)A，C之間是D時，有2種排法，所以所求概率為eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4).3．(2024·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦．在全部重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D.eq\f(11,16)答案A解析在全部重卦中隨機取一重卦，其基本領(lǐng)件總數(shù)n＝26＝64，恰有3個陽爻的基本領(lǐng)件數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20，所以在全部重卦中隨機取一重卦，該重卦恰有3個陽爻的概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故選A.1.求古典概型概率的步驟(1)推斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事務(wù)，設(shè)出所求事務(wù)A；(2)分別求出基本領(lǐng)件的總數(shù)n與所求事務(wù)A中所包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事務(wù)A的概率.2.基本領(lǐng)件個數(shù)的確定方法方法適用條件列表法此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標(biāo)法樹狀圖法樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適合于有依次的問題及較困難問題中基本領(lǐng)件數(shù)的探求排列、組合法當(dāng)基本領(lǐng)件個數(shù)符合排列、組合模型時，可以用排列、組合數(shù)公式干脆計數(shù)1.(2024·湖南雅禮中學(xué)模擬)甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨機送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡都送給丁的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)答案C解析全部的狀況有(甲送給丙、乙送給丁)(甲送給丁，乙送給丙)(甲、乙都送給丙)(甲、乙都送給丁)共4種，這4種狀況發(fā)生的可能性是相等的．其中甲、乙將賀年卡都送給丁的狀況只有一種，所以甲、乙將賀年卡都送給丁的概率是eq\f(1,4).2.(2024·南昌模擬)2024年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都打算選歷史，假如他們都對后面四科沒有偏好，則他們選課相同的概率為()A.eq\f(1,36)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)答案D解析小明與小芳選課全部可能的結(jié)果有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種，他們選課相同的結(jié)果有Ceq\o\al(2,4)種，故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6).題型二古典概型的交匯問題角度1古典概型與平面對量相結(jié)合1.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，平面對量a＝(m，n)，b＝(1，－3).(1)求使得事務(wù)“a⊥b”發(fā)生的概率；(2)求使得事務(wù)“|a|≤|b|”發(fā)生的概率.解由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)全部可能的取法共有36種.(1)若a⊥b，則有m－3n＝0，即m＝3n，符合條件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2種，所以事務(wù)“a⊥b”發(fā)生的概率為eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)若|a|≤|b|，則有m2＋n2≤10，符合條件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6種，故所求概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).角度2古典概型與函數(shù)、方程相結(jié)合2.(2024·武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地勻稱的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為a和b，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率是()A.eq\f(7,36)B.eq\f(1,2)C.eq\f(19,36)D.eq\f(5,18)答案C解析投擲骰子兩次，所得的點數(shù)a和b滿意的關(guān)系為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a≤6，a∈N*，,1≤b≤6，b∈N*，))∴a和b的組合有36種，若方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解，則Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.當(dāng)b＝1時，沒有a符合條件；當(dāng)b＝2時，a可取1；當(dāng)b＝3時，a可取1,2；當(dāng)b＝4時，a可取1,2,3,4；當(dāng)b＝5時，a可取1,2,3,4,5,6；當(dāng)b＝6時，a可取1,2,3,4,5,6.故滿意條件的組合有19種，則方程ax2＋bx＋1＝0有實數(shù)解的概率P＝eq\f(19,36)，故選C.3.(2024·遼寧省試驗中學(xué)模擬)設(shè)a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6}，則函數(shù)f(x)＝logeq\s\do15(eq\f(a,b))x是增函數(shù)的概率為________.答案eq\f(1,2)解析由已知條件，得eq\f(a,b)的全部取值種數(shù)為3×4＝12.當(dāng)eq\f(a,b)>1時，f(x)為增函數(shù)，符合此條件的eq\f(a,b)有eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，eq\f(7,2)，eq\f(5,4)，eq\f(7,4)，eq\f(7,6)，共6種，所以函數(shù)f(x)＝logeq\s\do15(eq\f(a,b))x是增函數(shù)的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).角度3古典概型與幾何問題結(jié)合4.將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________.答案eq\f(7,12)解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種等可能的結(jié)果，其中滿意直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，則當(dāng)a＝1時，b＝1,2,3,4,5,6，共6種，當(dāng)a＝2時，b＝2,3,4,5,6，共5種，同理當(dāng)a＝3時，有4種，當(dāng)a＝4時，有3種，當(dāng)a＝5時，有2種，當(dāng)a＝6時，有1種，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(種)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).角度4古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合5.(2024·綿陽模擬)目前有聲書正受到越來越多人的寵愛．某有聲書公司為了解用戶運用狀況，隨機選取了100名用戶，統(tǒng)計出年齡分布和用戶付費金額(金額為整數(shù))狀況如下圖.有聲書公司將付費高于20元的用戶定義為“愛付費用戶”，將年齡在30歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”．已知抽取的樣本中有eq\f(3,8)的“年輕用戶”是“愛付費用戶”.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否有95%的把握認(rèn)為用戶“愛付費”與其為“年輕用戶”有關(guān)？愛付費用戶不愛付費用戶合計年輕用戶非年輕用戶合計(2)若公司采納分層抽樣方法從“愛付費用戶”中隨機選取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行訪談，求抽取的2人恰好都是“年輕用戶”的概率.P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)依據(jù)題意可得2×2列聯(lián)表如下：愛付費用戶不愛付費用戶合計年輕用戶244064非年輕用戶63036合計3070100由表中數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×24×30－40×62,30×70×64×36)≈4.76>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為“愛付費用戶”和“年輕用戶”有關(guān).(2)由分層抽樣可知，抽取的5人中有4人為“年輕用戶”，1人為“非年輕用戶”，則從這5人中隨機抽取2人的基本領(lǐng)件共有Ceq\o\al(2,5)＝10個．其中滿意抽取的2人均是“年輕用戶”的事務(wù)共有Ceq\o\al(2,4)＝6個．所以從中抽取2人恰好都是“年輕用戶”的概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).1.求解古典概型的交匯問題的步驟(1)依據(jù)相關(guān)學(xué)問構(gòu)建事務(wù)滿意的條件.(2)依據(jù)條件列舉全部符合的基本領(lǐng)件.(3)利用古典概型的概率計算公式求概率.2.破解概率與統(tǒng)計圖表綜合問題的“三步曲”1.把一顆骰子投擲兩次，視察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，其次次出現(xiàn)的點數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(11,12)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,18)答案B解析易知全部基本領(lǐng)件有36個，若m∥n，則eq\f(a,1)＝eq\f(b,2)，即b＝2a.所以m與n共線包含的基本領(lǐng)件為(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3個，所以m與n不共線的概率為1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12).2.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,3)答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由題意知全部的基本領(lǐng)件有9個，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，其次個數(shù)表示b的取值．滿意a2>b2的有6個基本領(lǐng)件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事務(wù)的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).3.在集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________.答案eq\f(1,3)解析點P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6種狀況，只有(2,1)，(2,2)這2個點在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4.(2024·武漢六校聯(lián)考)某工廠有25周歲以上(含25周歲)的工人300名，25周歲以下的工人200名，為了探討工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)依據(jù)“25周歲以上(含25周歲)組”的頻率分布直方圖，求25周歲以上(含25周歲)組工人日平均生產(chǎn)件數(shù)的中位數(shù)的估計值(四舍五入保留整數(shù))；(2)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(3)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80的工人為生產(chǎn)能手，請你依據(jù)已知條件完