2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版必修5

PAGE模塊素養(yǎng)評(píng)價(jià)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2024·焦作高一檢測(cè))集合A=QUOTE,B=QUOTE,則A∩B= ()A.QUOTE B.QUOTEC.R D.(-3,-2)∪(0,1)【解析】選D.解x2+2x>0,得x>0或x<-2;解x2+2x-3<0,得-3<x<1,所以A∩B=(-3,-2)∪(0,1).2.(2024·襄陽(yáng)高一檢測(cè))若a>b>0,c>d>0,則肯定有 ()A.QUOTE>QUOTE B.QUOTE<QUOTEC.QUOTE>QUOTE D.QUOTE<QUOTE【解析】選C.由題可得cd>0,則QUOTE>0.因?yàn)閍>b,c>d>0,則ac>bc,bc>bd,則有ac>bd,所以ac·QUOTE>bd·QUOTE,即QUOTE>QUOTE.3.已知正實(shí)數(shù)a,b滿意4a+b=30,當(dāng)QUOTE+QUOTE取最小值時(shí),實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)是 ()A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7,2)【解析】選A.QUOTE+QUOTE=QUOTE·QUOTE·30=QUOTE(4a+b)=QUOTE≥QUOTE5+2QUOTE=QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE即QUOTE時(shí)取等號(hào).4.(2024·天津高一檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,B=30°,b=QUOTE,c=2,則角A為 ()A.15° B.45°C.15°或105° D.45°或135°【解析】選C.在△ABC中,B=30°,b=QUOTE,c=2,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE,因?yàn)閏>b,所以C>B,又C∈(0,π),所以C=45°或135°,故A=105°或15°.5.《張邱建算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的杰作,該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題:“南山一棵竹,竹尾風(fēng)割斷,剩下三十節(jié),一節(jié)一個(gè)圈,頭節(jié)高五寸①,頭圈一尺三②.逐節(jié)多三分③,逐圈少分三④.一蟻往上爬,遇圈則繞圈.爬到竹子頂,行程是多遠(yuǎn)?”(注釋:①第一節(jié)的高度為0.5尺;②第一圈的周長(zhǎng)為1.3尺;③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺;④每圈周長(zhǎng)比其下面的一圈少0.013尺).問:此民謠提出的問題的答案是 ()A.72.705尺 B.61.395尺C.61.905尺 D.73.995尺【解析】選B.因?yàn)槊恐窆?jié)間的長(zhǎng)相差0.03尺,設(shè)從地面往上,每節(jié)竹長(zhǎng)為a1,a2,a3,…,a30,所以{an}是以a1=0.5為首項(xiàng),以d′=0.03為公差的等差數(shù)列,由題意知竹節(jié)圈長(zhǎng),后一圈比前一圈細(xì)0.013尺,設(shè)從地面往上,每節(jié)節(jié)圈長(zhǎng)為b1,b2,b3,…,b30,由{bn}是以b1=1.3為首項(xiàng),d=-0.013為公差的等差數(shù)列,所以一蟻往上爬,遇圈則繞圈.爬到竹子頂,行程是:S30=QUOTE+30×1.3+QUOTE×(-0.013)=61.395.6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=2,c=2QUOTE,sinA=QUOTE,且b<c,則B= ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.在△ABC中,因?yàn)閍=2,c=2QUOTE,sinA=QUOTE,a<c,可得A=QUOTE,cosA=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得cosC=±QUOTE,即C=QUOTE或QUOTE,因?yàn)閎<c,B為銳角,所以當(dāng)C=QUOTE時(shí),B=QUOTE,沖突,舍去,故C=QUOTE,所以B=π-A-C=QUOTE.7.(2024·淮北高一檢測(cè))已知等比數(shù)列QUOTE中,若a5+a7=8,則a4(a6+2a8)+a3a11的值為 ()A.128 B.64 C.16 【解析】選B.a4(a6+2a8)+a3a11=a4a6+2a4a8+a3a11=QUOTE+2a5a7+QUOTE=QUOTE=64.8.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=QUOTE+QUOTE+QUOTE,則 ()A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥【解析】選B.取特別值,a=2,b=c=-1,則T=-QUOTE<0,解除A,C,D.9.(2024·沈陽(yáng)高一檢測(cè))已知在等差數(shù)列QUOTE中,S9=18,Sn=240,an-4=30(n>9),則項(xiàng)數(shù)n為 ()A.10 B.14 C.17 【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得S9=QUOTE=QUOTE=18,解得a5=2,故a5+an-4=32,而Sn=QUOTE=QUOTE=16n=240,解得n=15.10.(2024·青島高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x2+mx+4,若f(x)>0對(duì)隨意實(shí)數(shù)x∈(0,4)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.[-4,+∞) B.(-4,+∞)C.(-∞,-4] D.(-∞,-4)【解析】選B.由題意得函數(shù)x2+mx+4>0對(duì)隨意實(shí)數(shù)x∈(0,4)恒成立,所以m>-QUOTE對(duì)隨意實(shí)數(shù)x∈(0,4)恒成立.因?yàn)?QUOTE≤-2QUOTE=-4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)),所以m>-4.11.用磚砌墻,第一層(底層)用了全部磚塊的一半多一塊,其次層用了剩下的一半多一塊,…,以此類推,每一層都用了前一層剩下的一半多一塊,假如到第九層恰好把磚用光,那么,共用的磚塊數(shù)為 ()A.1022 B.1024 C.1026 D.1028【解析】選A.設(shè)從上層究竟層磚塊分別為a1,a2,…,a9,則an=QUOTESn+1,那么an-1=QUOTESn-1+1,(n≥2),那么a1=2,an-an-1=QUOTEan,即an=2an-1,因此,每層磚塊數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,所以S9=QUOTE=210-2=1022.12.已知{an}是首項(xiàng)為32的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,且QUOTE=QUOTE,則數(shù)列{|log2an|}前10項(xiàng)和為 ()A.29 B.58 C.116 【解析】選B.設(shè)公比為q,因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為32的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,且QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以1+q3=QUOTE,所以q=QUOTE,所以an=32·QUOTE=27-2n,所以|log2an|=|7-2n|,所以數(shù)列{|log2an|}前10項(xiàng)和為5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.數(shù)列{an}中,若an=QUOTE則其前6項(xiàng)和為.

【解析】由an=QUOTE可得其前6項(xiàng)和為(a1+a3+a5)+(a2+a4+a6)=(1+5+9)+(4+16+64)=15+84=99.答案:9914.(2024·全國(guó)Ⅰ卷)若x,y滿意約束條件QUOTE則z=x+7y的最大值為.

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,目標(biāo)函數(shù)z=x+7y,即:y=-QUOTEx+QUOTEz,其中z取得最大值時(shí),其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值,聯(lián)立直線方程:QUOTE,可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為:AQUOTE,據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為:zmax=1+7×0=1.答案:115.(2024·阜陽(yáng)高一檢測(cè))等差數(shù)列QUOTE,QUOTE的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn且QUOTE=QUOTE,則QUOTE=.

【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列QUOTE,QUOTE的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE16.(2024·柳州高一檢測(cè))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知QUOTEbsinA=acosB,b=2,△ABC的面積為QUOTE,則△ABC的周長(zhǎng)為.

【解析】因?yàn)镼UOTEbsinA=acosB,由正弦定理可得QUOTEsinBsinA=sinAcosB,因?yàn)閟inA≠0,所以QUOTEsinB=cosB,即tanB=QUOTE,所以B=30°,則△ABC的面積S=QUOTEacsin30°=QUOTE=QUOTE,故ac=4QUOTE.由余弦定理可得cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得a+c=2+2QUOTE,所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=4+2QUOTE.答案:4+2QUOTE三、解答題(共70分)17.(10分)(2024·無(wú)錫高一檢測(cè))已知數(shù)列QUOTE滿意:an+1=2an-n+1,a1=3.設(shè)數(shù)列QUOTE滿意bn=an-n.(1)求證:數(shù)列QUOTE是等比數(shù)列;(2)求出數(shù)列QUOTE的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式Sn.【解析】(1)bn+1=an+1-(n+1)=2an-n+1-(n+1)=2(an-n)=2bn,又b1=a1-1=3-1=2,所以數(shù)列QUOTE是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得bn=2n,所以an=2n+n,所以Sn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)=(21+22+…+2n)+(1+2+3+…+n)=QUOTE+QUOTE=2n+1-2+QUOTE.18.(12分)(2024·新高考全國(guó)Ⅰ卷)在①ac=QUOTE,②csinA=3,③c=QUOTEb這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=QUOTEsinB,C=QUOTE,?

注:假如選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】方案一:選條件①.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c.由①ac=QUOTE,解得a=QUOTE,b=c=1.因此,選條件①時(shí)問題中的三角形存在,此時(shí)c=1.方案二:選條件②.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c,B=C=QUOTE,A=QUOTE.由②csinA=3,所以c=b=2QUOTE,a=6.因此,選條件②時(shí)問題中的三角形存在,此時(shí)c=2QUOTE.方案三:選條件③.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c.由③c=QUOTEb與b=c沖突.因此,選條件③時(shí)問題中的三角形不存在.19.(12分)(2024·淮北高一檢測(cè))在△ABC中,∠BAC=QUOTE,D是BC上一點(diǎn),AD⊥AC且AD=1.(1)若AB=QUOTE,求BC;(2)求QUOTE+QUOTE.【解析】(1)∠BAD=∠BAC-∠DAC=QUOTE-QUOTE=QUOTE,在△ABD中,由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=3+1-2×QUOTE×1×QUOTE=1,所以△ABD為等腰三角形,所以∠B=∠BAD=QUOTE,所以∠C=QUOTE-∠B=QUOTE,所以DC=QUOTE=2,故BC=BD+CD=3.(2)方法一:設(shè)∠C=α,在△ACD中,tanα=QUOTE=QUOTE,又∠B=QUOTE-α,∠ADB=QUOTE+α,在△ABD中由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,故QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.方法二:由S△ACD+S△ABD=S△ABC,得QUOTEAC·ADsin∠CAD+QUOTEAB·ADsin∠BAD=QUOTEAB·ACsin∠BAC,兩邊同時(shí)除以QUOTEAB·AC·AD,得QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTE=QUOTE.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16.(1)求不等式g(x)<0的解集;(2)若對(duì)一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)g(x)=2x2-4x-16<0,所以(2x+4)(x-4)<0,所以-2<x<4,所以不等式g(x)<0的解集為{x|-2<x<4}.(2)因?yàn)閒(x)=x2-2x-8.當(dāng)x>2時(shí),f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,所以x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,則x2-4x+7≥m(x-1).所以對(duì)一切x>2,均有不等式QUOTE≥m成立.又QUOTE=(x-1)+QUOTE-2≥2QUOTE-2=2(當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立).所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,2].21.(12分)某探討所支配利用“神七”宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載試驗(yàn),支配搭載新產(chǎn)品A,B,要