2021屆人教a版 平面向量 單元測試 (二)

平面向量

一、單選題

1.在平行四邊形4%X中，E為48中點，BD交CE于F,則衣=()

2—.1-,3—■1—■1—.1—.?—■1—.

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

33442432

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量加法法則把南轉(zhuǎn)化為正，方再利用數(shù)量關(guān)系把麗化為麗，從而可表

示結(jié)果.

【詳解】

如圖，?.?平行四邊形ABC。中，E為A8中點,

.DFDC?

?.--------=2,

FBBE

2i

：.DF=-DB,

3

AF=AD+DF

=AD+-DB

3

=AD+|（A8-AZ））

2——1——

-AB+-AD,

33

故選A.

【點睛】

此題考查了向量加減法則，平面向量基本定理，難度不大.

2.已知點C在線段AB的延長線上，且桐=畫配=,曲，則Z等于（）

A.3B.1C.-3D.-1

33

【答案】D

【解析】因為點C在線段AB的延長線上，且2照=|荏1,所以麗=2萬心,則

蕊=3月G所以分弓=故選D

33

3.在等腰梯形A8CD中，己知AB//OC,A6=2，BC=\1.NABC=60°，動點E

———1-

和尸分別在線段8c和OC上，且瓦=%阮,DF=—7冗，則衣.衣的最小

42

值為（）

2971715

A.—B.-C.—D.—

188188

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

__11__

AB-AD=iX'x-=~>A8?0C=2X1=2,

____11—.—.1

AD-BC=lXlx-=->fiC-DC=lxix（--）=f

2

則

荏.赤=（而+碼.（而+而L+/i而）?（而1

4--二+L八身

4482228

I01C

當(dāng)且僅當(dāng)一=一，即入=1時取等號，即最小值一.

2228

故選：D.

4.已知向量d=(2,1),d-b=10,|a+b\=5yf2M\b\=()

A.V5B.710C.5D.25

【答案】C

【解析】

【分析】

【詳解】

將+b|=5企平方得5+2x10+fa123=50?1?b2=25,|b|=5>選C.

5.已知|礪|=1,|礪|=6,礪?而=0,點C在乙408內(nèi)，且NAOC=30°,設(shè)

0。=加。4+〃。3(如“€/?),則一等于()

n

1/7

A.-B.---C.3D.5/3

33

【答案】C

【解析】

試題分析：

?.?網(wǎng)=1,畫=百，礪.而=0,礪人礪，礪.巫=^x6cos60=平反

=^xl|0C|,3.蘇=|反卜1XCOS300=F|反卜lx?|反J,.?.阮在x軸方

向上的分量為京。。|,06在y軸方向上的分量為方-|。。|,

VOC=mOA+nOB=y/3nl+mJ,:.||0C|=73/?,^\OC\=m,兩式相比可得：

%=3,故選C.

n

考點：1、平面向量的數(shù)量積公式；2、平面向量基本定理及垂直向量.

6.若向量況=(3,2),，豆=(—5,2),則點B的坐標(biāo)為()

A.(1,7)B.(-2,4)C.(1,3)D.(5,3)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算得到OB=04+Afi=(-2,4),得到答案.

【詳解】

Ofi=04+=(3,2)+(-5,2)=(-2,4),故B(-2,4).

故選：B.

【點睛】

本題考查了向量的坐標(biāo)運算，意在考查學(xué)生的計算能力.

7.已知向量而=(l,cosa),元=(sina,》，且記〃亢，貝!Jsinacosa等于()

【答案】A

【解析】

試題分析：若沅〃元，則1?T-sina-cosa=0,求得sinacosa=故選A.

考點：向量的平行運算.

8.已知￡=(1,2),b=(m,m+3),c=(w-2,-l),若々/歷，則方1=()

A.-7B.-3C.3D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

利用兩個向量平行的坐標(biāo)表示列方程求得加，進而求得61的值.

【詳解】

由a//B,得2/〃—(m+3)=。,則/篦=3,b=(3,6)>c=(1,-1)>所以5e=—3.

故選B.

【點睛】

本小題主要考查兩個向量平行的坐標(biāo)表示，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)

題.

9.如圖，在正方形ABC。中，點E是。C的中點，點廠是3C的一個三等分點，那

么EF=()

1-111

A.-AB——ADB.-AB+-AD

2342

1一1—1一2—

C.-AB+-ADD.-AB——AD

3223

【答案】D

【解析】

—?1—*■

ff—EC=-DC

試題分析：在4CEF中，EF=EC+CF因為點E為DC的中點，所以2.因為

2f

CF=-CB

點F為BC的一個三等分點，所以3.所以

—1—2—1—2—?1—2—

EF=-DC+-CB=-.AB+-DA=-^--AD

232323,故選D.

考點：平面向量基本定理.

10.若平面向量向量I滿足同=2,問=4,a-b=4,\c-a+b\=y/3,則卜一.的

最大值為()

A.V73-V3B.V73+V3C.2屈一0D.2屈+G

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)向量瓦5的夾角為e,

則小5=|"||5|cos6=8cos6=4,

八1C冗

cos，=一,0=—.

23

于是可設(shè)。=(2,0)4=(2,26),令c=(x,y),

則一/+5=(x,y+2\/3),

由題意得k-&+a2=W+(y+2g)2=3,表示點(x,y)在以(0,-2百)為圓心，半徑為

、萬的圓上.

又忑_5=(x_2,y_2揚，

|c-i>|="(x-2,+(y_26)2，表示圓上的點(x,y)與點(2,273)間的距離，

'.\c-b\的最大值為J(0—2產(chǎn)+(—26—26)2+6=2>/13+.

故選D.

【點睛】

由于向量具有數(shù)形兩方面的性質(zhì)，所以在解答向量的有關(guān)問題時可借助坐標(biāo)，將向量的

問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算的問題，如本題中最值的計算問題，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)

系，將向量模的問題轉(zhuǎn)化為距離問題求解，考查數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的運用，同時也考查計

算能力.

11.設(shè)而，3為非零向量，貝！1“存在正數(shù)2,使得肩=彳3”是“正工>0”的()

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.充分不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得(而，刀=0，再由數(shù)量積運算即可說明成立；必要

性中，由數(shù)量積運算可得(疝刀e[0,90),不一定有正數(shù)X,使得/=/l[,所以不

成立，即可得答案.

【詳解】

充分性:若存在正數(shù)4,使得蘇=加則(加,〃)=0'，m-n=|/n||n|cos0°=同〃卜0,

得證;

必要性：若加G〉o,piij(m,n)e[o;9oj,不一定有正數(shù)X,使得正=23故不成

立；

所以是充分不必要條件

故選：D

【點睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，

屬于簡單題.

二、填空題

12.在平行四邊形ABCD中，AB=2,BC=6，ZB=3()°,點E,尸分別在邊

BECF

BC,CO上(不與端點重合)，且丫==，貝！I題.通的取值范圍為.

ECDF

【答案】-

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，由=可設(shè)BE=tBC==tCD=2t,從而寫出

ECDF

E,F的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得到答案.

【詳解】

以B為坐標(biāo)原點，BC為x軸，BC垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

由一=——可設(shè)BE=iBC=6t,CF=tCD=2t,又NB=30°

ECDF

則A(6I)，川島0),川后+石切，

.?.恁=(?-6,-1),而=(41-1),

(2\2]

.?.荏?喬=4(而-碼-(1)=3/一期+1=3t--\

又0</<1,

21

.??當(dāng)，=一時，最小值為一一；當(dāng)/=0時，最大值為1.

33

故荏?衣的取值范圍為一;，11

故答案為一;,1).

【點睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，二次函數(shù)的性質(zhì)；把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中

(建立坐標(biāo)系)，就賦予了有關(guān)點和向量的具體坐標(biāo)，這樣就能進行相應(yīng)的向量運算和

代數(shù)運算，使問題得到解決.

13.如圖，在梯形A8CO中，AB//CD且DC=2AB=2BC,E為8C的中點，AC

與DE交于點O.若12CB-CD=5OA-OD'則/BCD的余弦值為.

3

【答案】—

17

【解析】

【分析】

取8中點G,連接AG,3G,且8GnAC=R,連接E,F,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)

-3ff4f——

和平行線分線段成比例的關(guān)系可求得04=gC4,。。=w，設(shè)C8=1,CD=2,

51--18

利用平面向量的線性運算和數(shù)量積的運算律化簡已知等式可求得手C88=不，由

平面向量數(shù)量積的定義可求得結(jié)果.

【詳解】

取CO中點G,連接AG,BG,且8GAAC=尸，連接瓦尸，

-,-CD=2AB,G為CD中點，..AB=CG,又AB//CG，

T1

???四邊形ABCG為平行四邊形，???尸為AC中點，即E4=—C4,

2

又E為BC中點，：.EF//CG且EF=LcG,:.EF

-CD,

24

f17

-=—=OF=-OC=-CF=—CA,即。尸=—C4,

OCCD4451010

f->->T.->

：.OA=OF+FA=-CA,

5

OPFF14f4T

又上一=—=-,：.OD=4OE=-DE,即。。=一切,

ODCD455

OA-OD=-CA-ED=—\CB+BA-CD-CE=一CB+-CD-CD——CB

5525L)kJ25l2JI2

19(1T3Tt6f9ff6f

=--CD2+-CBCD--CB2\^-CD2+—CBCD--CB2,

25(242J252525

不妨設(shè)CB=1,CD=2,

ff249f1651f—18

由12%&?=5以訪得：12。8。=彳+18。。-于即彳8。=不

J。JJJ

fT1863

CBCD^2cosNBCD=—=—,.'.cos/BCD=—.

511717

3

故答案為：一.

【點睛】

本題考查平面向量中的向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平面向量的線性運算化簡

己知等式，得到平面向量數(shù)量積的結(jié)果；本題中的難點是確定與AC長度的比例關(guān)

系，需借助于平行線分線段成比例進行推導(dǎo).

14.如圖，設(shè)公、是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，［、1分別是與3軸、y軸

正方向同向的單位向量，若麗=石+3公，貝卜.

【答案】V19

【解析】

因為向卜=J(24+3￡)2=也+9+12家￡=J13+12cos60。=M，所

以應(yīng)填M.

15.若向量a,5,c兩兩所成的角相等，且同=1,|同=1,忙卜3,貝!|應(yīng)+5+5

1=?

【答案】5或2

【解析】

【分析】

24一2一2

三個向量兩兩夾角相等，則這個角可能為0也可能為胃，利用。=a轉(zhuǎn)化為向量的

數(shù)量積.

【詳解】

向量口瓦｝兩兩所成的角相等，則夾角可能為。也可能為

(1)若夾角為0,則卜+3+<?|=伺+忖+H=1+1+3=5；

(2)若夾角為普，則a/=HMcos音=lxlx(-；)=-g,同理a-c=-'|,

--3

bc=——，

2

^+b+c[=(a+b+c)2=a+b+c+2a-b+2a-c+2b-c

133

=,+12+32+2x(——)+2X(--)+2X(--)=4,

222

.，.|a+6+c|=2.

故答案為5或2.

【點睛】

本題考查求向量的模，解題關(guān)鍵是把向量模的運算轉(zhuǎn)化為向量積，根據(jù)是數(shù)量積的性質(zhì)：

-2-2

a=a.同時本題中注意平面上三個向量兩兩夾角相等，則這個角可能為0也可能為

2萬

T

三、解答題

16.一架飛機從A地向北偏西60的方向飛行l(wèi)(XX)Am到達8地，然后向C地飛行.設(shè)

C地恰好在A地的南偏西60，并且AC兩地相距2000切?，求飛機從8地到C地的

位移.

【答案】飛機從8地到C地的位移大小是10()()6切2，方向是南偏西30.

【解析】

【分析】

畫圖，設(shè)A在東西基線和南北基線的交點處.由題意可知NBAC=60,，過點8作東西

基線的垂線，交AC于。，可知AABD為等邊三角形，BD=CD=m)bn,

NCBD=NBCD=30。,再求解8C，即可.

【詳解】

如圖，

南

設(shè)A在東西基線和南北基線的交點處.

依題意，麗的方向是北偏西60，|而1=100()斯〃，

〃的方向是南偏西60°,\AC\=2000km,

所以N84C=60、

過點B作東西基線的垂線，交AC于力，

則ZVIBC)為正三角形，

所以8D=CQ=l()0(Rm,

ZCBD=ZBCD=-ZBDA=30.

2

所以NA8C=90°.

BC=ACsin60°=2000x—=1000y/3km，|BC|=1000百人根.

2

答：飛機從8地到C地的位移大小是1()00月初7，方向是南偏西301

【點睛】

本題考查向量的模長，作輔助線是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

17.若2萬是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，且1=24-5,2=31—35,試判斷乙I能

否作為該平面的一組基底.

【答案】己2能作為該平面的一組基底.

【解析】

【分析】

存在實數(shù)2使得2=丸2,則2￡-5=/1(3￡-3&,方程無解得到證明.

【詳解】

設(shè)存在實數(shù)X使得2=丸7，則%—B=/l(3?-3b),

即(2—3/l)￡+(3/l-l)B=().

由于不共線，從而2—32=32—1=0,但這樣的X是不存在的,

從而c,d不共線，故c,d能作為該平面的一組基底.

【點睛】

本題考查了向量的基底問題，判斷是否共線是解題的關(guān)鍵.

18.已知向量a=(cos空,sin&)，b=(cos—,-sin—),且xe[-工,工].

222234

TT—?—?—?—?

(1)^x=—,求。?方及|。+切的值；

12

(2)若/(尤)=￡?》一|￡+向，求/(x)的最大值和最小值.

【答案】(1)52+6；(2)-1.

【解析】

試題分析：(1)由x=2,得￡”=且，得出2+B的坐標(biāo)，進而可求解|々+加的值;

122

13jrqrI

⑵化簡/(x)=2(cosx—a)2—1，根據(jù)xe[—.?./KcosxWl,即可求解

fix)的最大值和最小值.

/、I,乃-r3xx.3x.x八7tyj3

試題解析：(1)當(dāng)工=一時，a,b=cos-cos——sin一sin—=cos2x=cos—=——

12222262

——3尤x3xx

丁a-\-b-(cos+cos9s^n-s^n，

1.1a+B|=J(cosT+cos/2十(sin^-sin^)I2=j2+2cos2x=飛2+6

71Ji\

(2),**x[----,—]f**?—<cosx<1,

342

Ia+B|=」(cos—+cos—)2+(sin——sin—)2=j2+2cos2x=,4cos2x=2cosx

V2222

°173

所以/(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-l=2(cos~~

,**XG[,—1,一<COSX<1,

342

13

???當(dāng)COSX=Q時，/(x)取得最小值-當(dāng)COSX=1時，/(X)取得最大值T.

考點：向量的運算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

19.如圖所示，設(shè)",N,P是“IBC三邊上的點，且麗=!而，CN^^-CA,

33

麗=；43,若麗="，AC=b>試用。*將麗，而表示出來.

___2_1_uim?r2r

【答案】MN二一一a+-b,NP=-a一一b

3333

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合圖象，利用向量的加法法則和減法法則，表達而與標(biāo)，即可求解.

【詳解】

...1.2——1-2(——\2-1-

MN=CN-CM=——AC——CB=——b——(a-b\^——a+-b,

3333、,33

NP^AP-AN=-AB--AC=-a--b

3333

【點睛】

本題考查向量的加法和減法法則，屬于基礎(chǔ)題.

20.已知向量聯(lián)上的坐標(biāo)分別是(—6,8),(3,4),求:

（1））工的夾角的余弦值;

（2）\a-2b\及Q-25）?a+b.

7

【答案】（1）—:（2）108

25

【解析】

試題分析：（1）由向量夾角的坐標(biāo)運算公式可得結(jié)果；（2）由

-2b\=J（^a-2b^=yla2-4cnb+b'可得模長，根據(jù)

西一25）（2萬+