2021屆人教a版 平面向量 單元測(cè)試

平面向量

一、單選題

1.已知向量。=（sin。,一2）,向量。=（l,cos。），且汗_|_6，則tan。的值為（）

11

A.2B.—2C.—D,----

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的垂直關(guān)系求得數(shù)量積為。，由同角三角函數(shù)關(guān)系即可求得正切值.

【詳解】

由題：向量不=（sinO,-2）,向量B=（l,cos。），且

=0,即sin6-2cos。=0，

若cos8=0則sin。=0,與sin?。+cos2，=1矛盾；

所以cos。。。，sin6=2cos。，

tan6=2.

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示建立等量關(guān)系，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求

正切值，需要熟練掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算.

2.函數(shù)yutaMqx-1）的部分圖象如圖所示，貝!］（?+礪）.存=（）

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】B

【解析】

乳左、nR

（-X--l=ow：二x=4Jk+2AeZ,由圖象知當(dāng)

左=0時(shí)，x=2.X2,0）,O4=（2,0）,由tan（；x—g）=l得：

jrjrjr

-x--=kf[+-,:.x=4k+3,keZ,：.當(dāng)左=0時(shí)，x=3.

424

"GD,礪=（3,1）,二伊+珂石=@+礪卜（礪-oZ）=O51-cS1=6,故

選B.

考點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.

【方法點(diǎn)晴】本題給出了正切函數(shù)yutaMqx-1）圖象上的4》兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，先通

過(guò)三角求值解決43兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)坐標(biāo)，其策略就是為無(wú)賦值，也就求得了麗0后的

坐標(biāo)；最后求（由+函-存的值時(shí)可以先分別求出（01+礪），而坐標(biāo)，也可以利用

平面向量的線性運(yùn)算把向量而化成礪再來(lái)計(jì)算.

3.已知同=1,網(wǎng)=8,a-（b-a）=-5,則向量￡與方向量的夾角是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

由7(石一￡)=一5可知￡.石=_4，再根據(jù)cos(a,ah

rnri，求解即可.

ITH

【詳解】

'：a-\b-a\-a-b-\a\-a-b-\a\-ab-l=-5

：.ah--4

?..(a?€[0,%]

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的夾角問(wèn)題，屬于較易題.

4.如圖，在正六邊形48coEf中，反=()

A.2EF-3CAB.3EF-2CAC.2EF-5CAD.5EF-2CA

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量加、減法的定義及正六邊形的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】

解：依題意，EC=EF+FA+AC=EF+FA-CA>

FA=DC=DA+AC=2EF-CA>故反=3而-2京

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知向量萬(wàn)=(一1,1)出=(2,-3),則%—日等于()

A.(4,-5)B.(-4,5)C.(0,-1)D.(0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用坐標(biāo)求解即可.

【詳解】

由。=(一1,1)石=(2,—3),可得2M=(-2,2),

所以2。-5=(-4,5)

故答案：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

6.在直角梯形ABCD中，AB±AD,DC||AB,AD=DC=2,AB=4,E、F分

別為AB、BC的中點(diǎn)，以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE的中點(diǎn)為P(如圖所示).若

AP=AAF+^IE15,其中，X、|IGR,則入一口的值是()

、V2B.￡13

A.----c.D.-

444

【答案】A

【解析】

【分析】

本題由已知可得而+也而、/屈

Q=9Z=3啟麗=亞一亞，結(jié)合題

2222

目所給出的福=/1萬(wàn)：+〃而，即可求出入、卜i值，最后得出答案.

【詳解】

因?yàn)橐訟為圓心，AD為半徑的圓弧DE的中點(diǎn)為P,所以Q=注通+注赤

22

因?yàn)樵谥苯翘菪蜛BCD中，AB±AD,DC||AB,AD=DC=2,AB=4,E、F

分別為AB、BC的中點(diǎn)，

故/=礪+而=麗+工沅:

=AB+-ED=E+-AD,ED=AD-AE,

2222

工一30>/2

--A-LIA=

22一行F)

若衣=如，+從而,則<，解得；，故人一〃=注，故選A.

也_一也4

,T-

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的基本定理，考查平面向量的運(yùn)算法則，考查數(shù)形結(jié)合思

想以及化歸思想，鍛煉了學(xué)生的推理能力，難度中檔.

7.已知向量于(1,2),fe=(x,4),若向量a〃b，則x=()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】A

【解析】解：；向量W=(1,2),b=(x,4),向量W〃E，則4-2x=0,x=2,

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，得到4-2x=0,是

解題的關(guān)鍵.

8.已知直線or+Ay+c=0與圓。：％2+y2=i相交于A,口兩點(diǎn)，且則

況在。月上的投影為()

114

A.一一B.-C.一一D.0

223

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由余弦定理求出cosNAOB的值，進(jìn)而由數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，圓0：/+y2=i的圓心為(o,0),半徑r=|o4|=Q卻=1,

又由|鉆|=百,

|QAF1+1-3]_

則cosZAOB=

2|OA||OB|2x1x12

則方在麗上的投影為：I。川cosNAO8=-g

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知通=(—3,—2),AC=(^,1),|BC|=3,則明.蔗=()

A.7B.-7C.15D.-15

【答案】B

【解析】

【分析】

UliUUU1

先根據(jù)BC=3計(jì)算出m的值，再計(jì)算BA-AC

【詳解】

UUllUUIU

因?yàn)锳6=(—3,—2),AC=(〃?,1)

UUUlUUUlLILUlUI?I------；---

所以8C=AC_AB=(〃z+3,3)，即BC=J(m+3)一+9=3=加=-3

UliUUIU

所以胡=(3,2),AC=(-3,1)

UUUUIU

BA-AC=-9+2=-1

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.設(shè)0,分別為AABC的三邊8C,C4,AB的中點(diǎn)，則麗+定=

'1>1—*------

A.ADB.-ADC.-BCD.BC

22

【答案】A

【解析】

試題分析：根據(jù)平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算可得：在MEF中，

EB=EF+FB=EF+-AB，同理FC=FE+EC=FE+-AC,則

22

￡B+FC=(￡F+-AB)+(FE+-AC)=(-AB+-AC)=-(AB+AC)=AD

22222.

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算

11.若O是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足lG-6i：l=lo^+oi：-2o\l，則AABC一定

是

A.等邊三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】試題分析：根據(jù)題意有|礪-無(wú)卜|礪—函+無(wú)—萬(wàn)|，即

\AB+AC\^[AB-A^,從而得到AQ，ad,所以三角形為直角三角形，故選B.

考點(diǎn)：向量的加減運(yùn)算，向量垂直的條件，三角形形狀的判斷.

12.在△ABC中，D、E,F分另UBC、CA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的重心，貝!]

訟+麗—砒等于（）

A.QB.4MDC.4M￡D.4斯

【答案】D

【解析】

試題分析：如圖，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，有加+而+碇=。

故必+話—砒=—2祝=4礪，選D

考點(diǎn)：三角形性質(zhì)，平面向量運(yùn)算

二、填空題

13.平面向量出石的夾角為120。，若問(wèn)=2,慟=1,則忖―3可=

【答案】719

【解析】

【分析】

先計(jì)算的值，由此得出歸-3）的值.

【詳解】

由于卜-3閘=a-6ab+9b=4-12x^-^+9=19,故卜一34=5/1"^.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量的模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.若|。|=2sinl5°,|bI=4cosl5°,乙與B的夾角為30°，則必5的值是_

【答案】石.

【解析】

試題分析：ab=|a|-|/?|cos30°=2sin15-4cos15-cos30°=2sin60°=G

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和倍角的正弦公式.

15.在平面四邊形ABCO中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，AC=4,BD=3,

N4OB=60。，若4萬(wàn)36=2，則而?反=.

【答案】-4

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：AC-BD=|AC|x|B￡）|XCOSZAOB=6.

因?yàn)?.詼=（通+配）?（品+前）

=ABBC+ABCD+BC2+BCCD

=ABBC+ABCD+BC[BC+CD）

=ABBC+ABCD+BCBD

^BC（AB+BD）+ABCD

^BCAD+ABCD

=BCAD-ABDC

ACBD=6=BCAD-ABDC>

又因?yàn)槎?覺(jué)=2，

故可得福?反=-4.

故答案為：-4.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

16.已知￡=（1,一1）,忖=夜,￡，3,則石=.

【答案】（LD或

【解析】

【分析】

設(shè)出坂的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得

【詳解】

1fx—y=0fx=1fx=—1

設(shè)6=(X,y),有｛r2c，解得1,或〈,■

x+y=21y=i[y=-i

故(1,1)或(T-D

故答案為：(1,1)或(-1,-1)

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

17.已知發(fā)=(2,1),05=(1,7),反=(5,1),若麗=x礪，f(x)=DBDC

(x,yeR).

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

/(x)-4

(2)求函數(shù)g(x)=1在條件下的最小值；

J-

X

(3)把y=/(x)的圖像按向量少=(一2,8)平移得到曲線。，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作。W、

ON分別交曲線。于點(diǎn)M、N,直線MN交軸于點(diǎn)Q(0,%)，當(dāng)NMON為銳角時(shí),

求光的取值范圍.

【答案】(1)/(X)=5X2-20X+12；(2)4后；(3)(F,0)U(g,+8).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求y=/(x)的解析式；

(2)通過(guò)矩陣的計(jì)算公式，求出g(x)的表達(dá)式，然后利用基本不等式求最值即可；

(3)根據(jù)向量平移關(guān)系即可求出曲線C的解析式，設(shè)M(利根據(jù)

NMQV為銳角時(shí)，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：(1),/0D=x-0A=(2x,%),D(2x,x),

?.?麗=(1,7),近=(5,1),

.-.B=(1,7),C(5,1),

DB=(1—2x,7—x),DC=(5—2x,1—x),

則/=麗?皮=(l-2x,7-％)<5-2%,1—幻=5/一20%+12,

即/(x)=5x2-20x+12；

(2)由已知得：

f(x)-4

=^-+20=5x-20+—+20=5x+—>2.5x--=4y/i5,

g(x)=

5-XXX\X

X

12即x=2羋e[1,2]時(shí)取到最小值,

當(dāng)且僅當(dāng)5x=一,

x

f(x)-4

函數(shù)g(x)=-1在1<XW2條件下的最小值為4處；

5-

x

(3)?.?y=/(x)=5x2_20x+12=5(x-2)2-8,

y=/(X)的圖象按向量M=(-2,8)平移后得到曲線。為y=；

則直線施V的方程為'：5";=土？.,

5m-5/1m-n

令x=0,則y（）=-5加2,

若/MON為銳角,因?yàn)镸,。,N不口J能共線，則0A/.ON=+25租2/>o,

/.mn<--L或〃切>0,

25

m-—>o,

5255

即y0<o或%>],

故兒的取值范圍是（一8,0）口（1,+8）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，以及向量平移的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力.

18.已知A是拋物線丁=4x上的一點(diǎn)，以點(diǎn)A和點(diǎn)8（2,0）為直徑兩端點(diǎn)的圓。交直

線x=l于M,N兩點(diǎn)，直線/與AB平行，且直線/交拋物線于P,。兩點(diǎn).

（1）求線段MN的長(zhǎng)；

（2）若麗.麗=-3,且直線PQ與圓C相交所得弦長(zhǎng)與|MN|相等，求直線/的方

程.

【答案】（1）2；（2）直線/的方程為x=l或x=3.

【解析】

試題分析：（1）寫出圓的方程，代入x=l,建立關(guān)于M,N點(diǎn)縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理，

IMNI=IVM-YNI-可求解.（2）設(shè)P（x”yJ,Q（x2，y2）由麗?的=-3,得

X|X2+y1y2=-3,則(y12)+yy.=_3,設(shè)直線消X,可解.

1612

、

(V2A

試題解析：（）設(shè),%，圓。方程為（X-2）X*+y(yf)=°，

1AI4J

/

22

令X=],得y2_%y+-^---]=0，；?+YN=No，VNiVN=---1'

MN2

\\=\yM-yN|=VUw+%)2-4%%=JVo-2.

（II）設(shè)直線/的方程為X=，*+〃，P（X1,yJ，。（馬,月），則

x=my+n..

由｛2:消去工，得》-4加了—4〃二0,

:r=4x,

y+>2=4機(jī)，y]y2=-4?,

:麗.麗=—3,%々+乂％=-3,則("%)+_3,

1612

?'?/—4〃+3=0,解得〃=1或〃=3,

,、，1

當(dāng)〃=1或”=3時(shí)，當(dāng)8（2,0）到直線I的距離d=1—

?.?圓心C到直線I的距離等于直線x=1的距離，二2=I1o

8VI+w

2

y（）Q4C.A

又〃2彳一，消去“得穌2"°=64,求得為2=8,

為16

yL_

此時(shí)，，勿_42直線/的方程為x=3,

%

綜上，直線/的方程為x=l或X=3.

19.已知長(zhǎng)方形AOC。中，OA=3,OC=2,E為OC中點(diǎn)，尸為4。上一點(diǎn)，利用

向量知識(shí)判斷當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，NPED=45°.

【答案】點(diǎn)尸在靠近點(diǎn)A的40的三等分點(diǎn)處

【解析】

【分析】

把角NPEZ)看成向量而與麗的夾角，以。4、0(?為基底，用基底表示麗與麗,

再代入兩向量的夾角公式即可解出.

【詳解】

設(shè)。4=。、OC=b＞則2、B為表示平面的一組基底，

且|利=3,\b\=2,a±b'NPEO為向量而與加的夾角，

又。A//。/,可設(shè)。戶=疝，;.E戶=3a一比=/M-g5,

而ED=OD—OE=OC+O4—±OC=OA+-OC=M+—8.

222

/.EPED^(ta--b)-(a+-b)-ta2--b2=91,

224

IEP|=^(ta-^b)2=V9r+1.|ED|=^(5+1^)2=V10.

EPED9/-1A/2

/.cos/PED

\EP\-\ED\~

21

解得f=一或f=--(舍)

36

二點(diǎn)P在AO的一個(gè)3等分點(diǎn)時(shí)，ZPED=45°.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏

輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意坐標(biāo)系的建立.

20.已知向量少=(1,1),b=(sin(x+—),sin(x--)),若函數(shù)/(x)=1-5+cosx+a

66

的最大值為1.

(1)求常數(shù)"的值；

(2)求使/(x)20成立的x的取值集合.

24

【答案】(1)a=-\(2)2k7r<x<2k7r+—,(kGZ)}

【解析】

【分析】

(1)利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合兩角的和差的正弦公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解

析式，通過(guò)函數(shù)的最大值，可以求出常數(shù)。的值；

TTTT\

(2)由(1)得/(x)=2sin(x+^)—l,要使/(x)20成立，只需滿足sin(x+")2彳即

662

可，根據(jù)正弦函數(shù)圖象，可以求出X的取值集合.

【詳解】

一-兀冗

解：f(x)=a-b+cosx+a=1-sin(x+—)+1-sin(x)+cosx+?

66

=sin(x+—)+sin(x--)+cosx-va=2sinxcos工+cosx+〃

666

=2sin(x+—)+tz

最大值=2+a,...。=一1

TT

(2)由⑴得f(x)=2sin(x+-)-1,要使/(x)20成立

6

TT\jrjrSTT

只需滿足sin(x+—)>-即可，所以2br+上4x+上W2Z%+——(keZ)

62666

2乃

解得：2女"<x<2k兀H---(kwZ)

3

所以：滿足/U)>0成立的X的取值集合{刀[2U<x<2k7T+—,(keZ)}

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及利用函數(shù)圖象求正弦型不等式的解集，掌

握正弦的函數(shù)圖象特征是解題的關(guān)鍵.

TT

21.已知向量慶=(sinB,l-cos3)，且與向量力二(1,0)的夾角為彳，其中A,3,C是

△A5C的內(nèi)角.

⑴求角3的大?。?/p>

(2)求sinA+sinC的取值范圍.

【答案】⑴去⑵[￥/]

【解析】

【分析】

sinB11

(1)利用平面向量夾角公式，可得■■/----"=不化簡(jiǎn)后解得cos8=-一，從而可

V2-2cosB22

得結(jié)果；(2)結(jié)合(1)sinA+sinC=sinA+sin1(—A),利用兩角差的正弦公式

展開(kāi)后，再由兩角和的正弦公式化為sin(A+g],根據(jù)W<A+[<M，利用正弦函數(shù)