湖北省西南三校合作體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

湖北省西南三校合作體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙兩名同學(xué)同時從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時間步行，一半時間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時到體育館 D.不確定誰先到體育館2．某考點(diǎn)配備的信號檢測設(shè)備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機(jī)以每分鐘50米的速度從設(shè)備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘3．實(shí)數(shù)且，，則連接，兩點(diǎn)的直線與圓C：的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切C.相交 D.不能確定4．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個等級，如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，下面說法錯誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是103D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是9日到11日5．若，，，則a，b，c與1的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.6．礦山爆破時，在爆破點(diǎn)處炸開的礦石的運(yùn)動軌跡可看作是不同的拋物線，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍，這個范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示．已知某次礦山爆破時的安全拋物線的焦點(diǎn)為，則這次爆破時，礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為（）A. B.2C. D.7．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內(nèi)，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直9．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.10．已知一個圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.11．已知點(diǎn)，，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.12．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則的面積為__________14．螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點(diǎn)開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如下圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q，作第3個正方形MNPQ，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，直角三角形EMQ面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，…，，若數(shù)列的前n項(xiàng)和恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.15．若，滿足約束條件，則的最小值為__________16．已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.18．（12分）已知P，Q的坐標(biāo)分別為，，直線PM，QM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是.設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B.當(dāng)，且滿足時，求面積的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)月均用電量的眾數(shù)；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計(jì)劃采用階梯電價(jià)，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應(yīng)該按那一檔電價(jià)收費(fèi)，說明理由.21．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，直線垂直于平面分別為的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn).（1）證明：與不垂直；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對于甲：，得對于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而，故，乙花時間多，甲先到體育館故選：A2、C【解析】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，求得直線和圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進(jìn)而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結(jié)束，因?yàn)榈降木嚯x為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘故選：C.3、B【解析】由題意知，m，n是方程的根,再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意知，m，n是方程的根，，，過，兩點(diǎn)的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù)，對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”，故A正確對于B，從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故B正確對于C，14個數(shù)據(jù)中位數(shù)為：，故C錯誤對于D，觀察折線圖可知D正確故選：C5、C【解析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并求其導(dǎo)數(shù)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關(guān)系.【詳解】令，則當(dāng)時，，當(dāng)時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.6、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)求出p值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，p>0，解得，于是得拋物線的方程為，由得，，即拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，，所以礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為.故選：D7、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，，，，設(shè)的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.8、C【解析】由韋達(dá)定理可得方程的兩根之積為，從而可知直線、的斜率之積為，進(jìn)而可判斷兩直線的位置關(guān)系【詳解】設(shè)方程的兩根為、，則直線、的斜率，故與相交但不垂直故選：C9、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒10、B【解析】設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計(jì)算可得，利用扇形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B11、B【解析】由可求出直線過定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點(diǎn)，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：B12、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由平行線的性質(zhì)求出斜率，由點(diǎn)斜式求出直線方程，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，所以漸近線方程為，不妨設(shè)直線FB的方程為，將代入雙曲線方程整理，得，解得，，所以，所以故答案為：.14、或【解析】先求正方形邊長的規(guī)律，再求三角形面積的規(guī)律，從而就可以求和了，再解不等式即可求解.【詳解】由題意，由外到內(nèi)依次各正方形的邊長分別為，則，，……，，于是數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.由題意可得：，即……，于是.，故解得或.故答案為：或15、【解析】作出線性約束條件的可行域，再利用截距的幾何意義求最小值；【詳解】約束條件的可行域，如圖所示：目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最小值，即.故答案為：16、【解析】根據(jù)焦點(diǎn)在軸的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征可得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，解得.所以的取值范圍為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)即證；（2）利用坐標(biāo)法，結(jié)合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問1詳解】，是的中點(diǎn)，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問2詳解】，，，取的中點(diǎn)，連接，則，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得，∵二面角的大小為，，解得，，則三棱錐的體積.18、（1）（2）【解析】【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，整理得曲線的方程：【小問2詳解】因?yàn)閳A的半徑為1，直線：與圓相切，則，，設(shè)，將代入得，，，，，所以，，因?yàn)?，令，在上單調(diào)減，，所以19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)镺為在平面ABCD內(nèi)的射影，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設(shè)CD的中點(diǎn)為P，連接BP，因?yàn)?，，，所以，且，則.因?yàn)?，所以，易知，所?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?【小問2詳解】由（1）知平面ABCD，所以可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，，所在直線分別為x，z，以平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)O且垂直于OA的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以,,，，設(shè)平面的法向量為，，，則可取平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，，，則令，得平面的一個法向量為.設(shè)平面與平面的平面角為，由法向量的方向可知與法向量的夾角大小相等，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.20、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價(jià)收費(fèi)，理由見解析【解析】（1）在區(qū)間對應(yīng)的小矩形最高，由此能求出眾數(shù)；（2）利用各個區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數(shù)的估計(jì)值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區(qū)間內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點(diǎn)175作為眾數(shù)的估計(jì)值，所以眾數(shù)的估計(jì)值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數(shù)的估計(jì)值為：，則月均用電量的平均數(shù)的估計(jì)值為，又∵∴該居民該戶居民應(yīng)該按第二檔電價(jià)收費(fèi).21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，則，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據(jù)概率的加法公式和獨(dú)立事件的概率公式，即得解【小問1詳解】設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，其中設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，，事件與事件相互獨(dú)立根據(jù)事件獨(dú)立性定義得：甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率為【小問2詳解】記“甲獲勝”為事件，事件、事件、事件彼此互斥根據(jù)概率加法公式和事件獨(dú)立性定義得：甲獲勝的概率為22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所