上海市寶山區(qū)上海大學市北附屬中學2025屆高一上數學期末達標檢測試題含解析

上海市寶山區(qū)上海大學市北附屬中學2025屆高一上數學期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．棱長為1的正方體可以在一個棱長為的正四面體的內部任意地轉動，則的最小值為A. B.C. D.2．若＜α＜π，化簡的結果是（）A. B.C. D.3．設集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么()A.M＝N B.N?MC.M?N D.M∩N＝?4．若都是銳角，且，，則A. B.C.或 D.或5．設函數,A3 B.6C.9 D.126．已知是銳角，那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角7．下列命題中是真命題的個數為（）①函數的對稱軸方程是；②函數的一個對稱軸方程是；③函數的圖象關于點對稱；④函數的值域為A1 B.2C.3 D.48．已知函數的上單調遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．若集合，，則（）A. B.C. D.10．已知函數的圖象經過點，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線與圓相交于A，B兩點，則線段AB的長為__________12．每一個聲音都是由純音合成的，純音的數學模型是函數.若的部分圖象如圖所示，則的解析式為________.13．二次函數的部分對應值如下表：342112505則關于x不等式的解集為__________14．大圓周長為的球的表面積為____________15．點關于直線的對稱點的坐標為______.16．計算：sin150°＝_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，有一塊半徑為4的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上，連接OC兩點，OC與OB所形成的夾角為.（1）寫出這個梯形周長y和的函數解析式，并寫出它的定義域；（2）求周長y的最大值以及此時梯形的面積.18．設函數，將該函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，函數的圖象關于y軸對稱.（1）求的值，并在給定的坐標系內，用“五點法”列表并畫出函數在一個周期內的圖象；（2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）設關于x的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍.19．已知函數與.（1）判斷的奇偶性；（2）若函數有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.20．已知，（1）求，的值；（2）求的值21．設函數是定義域為R的奇函數.（1）求；（2）若，求使不等式對一切恒成立的實數k的取值范圍；（3）若函數的圖象過點，是否存在正數，使函數在上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由題意可知正方體的外接球為正四面體的內切球時a最小，此時R=，.2、A【解析】利用三角函數的平方關系式，根據角的范圍化簡求解即可【詳解】=因為＜α＜π所以cos<0,結果為,故選A.【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系式的應用，三角函數式的化簡求值，考查計算能力3、C【解析】變形表達式為相同的形式，比較可得【詳解】由題意可即為的奇數倍構成的集合，又，即為的整數倍構成的集合，，故選C【點睛】本題考查集合的包含關系的判定，變形為同樣的形式比較是解決問題的關鍵，屬基礎題4、A【解析】先計算出，再利用余弦的和與差公式，即可.【詳解】因為都是銳角，且，所以又，所以，所以，，故選A.【點睛】本道題考查了同名三角函數關系和余弦的和與差公式，難度較大5、C【解析】.故選C.6、C【解析】由題知，故，進而得答案.【詳解】因為是銳角,所以,所以,滿足小于180°的正角.其中D選項不包括，故錯誤.故選：C7、B【解析】根據二次函數的性質、三角函數的性質以及圖象，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對①：函數的對稱軸方程是，故①是假命題；對②：函數的對稱軸方程是：，當時，其一條對稱軸是，故②正確；對函數，其函數圖象如下所示：對③：數形結合可知，該函數的圖象不關于對稱，故③是假命題；對④：數形結合可知，該函數值域為，故④為真命題.綜上所述，是真命題的有2個.故選：.8、C【解析】利用二次函數的圖象與性質得，二次函數f（x）在其對稱軸左側的圖象下降，由此得到關于a的不等關系，從而得到實數a的取值范圍【詳解】當時，，顯然適合題意，當時，，解得：，綜上：的取值范圍是故選：C【點睛】本小題主要考查函數單調性的應用、二次函數的性質、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題9、A【解析】解一元二次不等式化簡集合B，再利用交集的定義直接計算作答.【詳解】解不等式，即，解得，則，而，所以.故選：A10、C【解析】將點的坐標代入函數解析式，求出的值即可.【詳解】因為函數的圖象經過點，所以，則.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】算出弦心距后可計算弦長【詳解】圓的標準方程為：，圓心到直線的距離為，所以，填【點睛】圓中弦長問題，應利用垂徑定理構建直角三角形，其中弦心距可利用點到直線的距離公式來計算12、【解析】結合正弦函數的性質確定參數值．【詳解】由圖可知，最小正周期，所以，所以.故答案為：．【點睛】本題考查由三角函數圖象確定其解析式，掌握正弦函數的圖象與性質是解題關鍵．13、【解析】根據所給數據得到二次函數的對稱軸，即可得到，再根據函數的單調性，即可得解；【詳解】解：∵，∴對稱軸為，∴，又∵在上單調遞減，在上單調遞增，∴的解集為故答案為：14、【解析】依題意可知，故求得表面積為.15、【解析】設點關于直線的對稱點為，由垂直的斜率關系，和線段的中點在直線上列出方程組即可求解.【詳解】設點關于直線的對稱點為，由對稱性知，直線與線段垂直，所以，所以，又線段的中點在直線上，即，所以，由，所以點關于直線的對稱點的坐標為：.故答案為：.16、【解析】利用誘導公式直接化簡計算即可得出答案.【詳解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.故答案為：【點睛】本題考查了誘導公式的應用,屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）20，【解析】（1）過點C作，表示出，，即可寫出梯形周長y和的函數解析式；（2）令，結合二次函數求出y的最大值，求出此時的，再計算梯形面積即可.【小問1詳解】由題意得.半圓形鋼板半徑為4，則，過點C作.在和中，有，，.在中，因為，為等腰三角形，故，所以，.，.【小問2詳解】由.令，則，則.則當時，周長y有最大值，最大值20，此時，.故梯形的高，，.18、（1），圖象見解析；（2）（3）【解析】（1）化簡解析式，通過三角函數圖象變換求得，結合關于軸對稱求得，利用五點法作圖即可；（2）利用整體代入法求得的單調遞增區(qū)間.（3）化簡方程，利用換元法，結合一元二次方程根的分布求得的取值范圍.【小問1詳解】.所以，將該函數的圖象向左平移個單位后得到函數，則，該函數的圖象關于軸對稱，可知該函數為偶函數，故，，解得，.因為，所以得到.所以函數，列表：000作圖如下：【小問2詳解】由函數，令，，解得，，所以函數的單調遞增區(qū)間為【小問3詳解】由（1）得到，化簡得，令，，則.關于的方程，即，解得，.當時，由，可得；要使原方程在上有兩個不相等的實數根，則，解得.故實數的取值范圍為.19、（1）偶函數（2）【解析】（1）根據奇偶性定義判斷；（2）函數只有一個零點，轉化為方程只有一個根，用換元法轉化為二次方程只有一個正根（或兩個相等正根），再根據二次方程根分布分類討論可得小問1詳解】∵的定義域為R，∴，∴為偶函數.【小問2詳解】函數只有一個零點即即方程有且只有一個實根.令，則方程有且只有一個正根.①當時，，不合題意；②當時，若方程有兩相等正根，則，且，解得；滿足題意③若方程有一個正根和一個負根，則，即時，滿足題意.∴實數a的取值范圍為.20、（1），（2）【解析】（1）首先利用誘導公式得到，再根據同角三角函數的基本關系計算可得；（2）利用誘導公式化簡，再將弦化切，最后代入求值即可；【小問1詳解】解：因為，，所以，又解得或，因為，所以【小問2詳解】解：21、（1）（2）（3）【解析】（1）根據是定義域為R的奇函數，由求解；（2），得到b的范圍，從而得到函數的單調性，將對一切恒成立，轉化為對一切恒成立求解；（3）根據函數的圖象過點，求得b，得到，令，利用復合函數求最值的方法求解.【小問1詳解】解：函數是定義域為R的奇函數，所以，