舉一反三系列高考高中數學同步及復習資料人教A版必修2專題7.6 復數的三角表示（重難點題型檢測）（含答案及解析）

專題7.6復數的三角表示（重難點題型檢測）【人教A版2019】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本節(jié)內容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·高一課時練習）下列結論中正確的是（

）．A．復數z的任意兩個輻角之間都差2πB．任何一個非零復數的輻角有無數個，但輻角主值有且只有一個；C．實數0不能寫成三角形式；D．復數0的輻角主值是0．2．（3分）（2022·全國·高三專題練習）復數z=cos?2A．8π5 B．?8π5 3．（3分）復數12?3A．cos?π3C．cosπ3?4．（3分）（2023·高一課時練習）將復數1+3i對應的向量ON繞原點按順時針方向旋轉π2，得到的向量為OA．3?i B．3+i C．?35．（3分）（2023·高一課時練習）已知i為虛數單位，z1=2cos60°+isinA．4cos90°+iC．4cos30°?i6．（3分）（2022·全國·高三專題練習）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．（3分）（2022·高一課時練習）把復數z1與z2對應的向量OA，OB分別按逆時針方向旋轉π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知zA．?2?2i，3π4 B．?28．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i為虛數單位，若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2A．若z=cosπ6+iB．若z=cosπ5+iC．若z1=2(cos7π12+isin7πD．若z1=3(cosπ12?isinπ二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）以下不是復數?1?3i的三角形式是（A．?2cosπ3C．2sin7π10．（4分）（2022·高一單元測試）已知單位向量OZ1、OZ2分別對應復數z1A．i B．1 C．?1 D．?11．（4分）（2022春·江蘇鹽城·高一階段練習）任何一個復數z=a+bi（其中a,b∈R，i為虛數單位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常稱之為復數A．z2=|z|2 B．當r=2C．當r=1，θ=π3時，z3=?1 D．當r=1，θ=π12．（4分）（2022·高一單元測試）著名的歐拉公式為：eiπ+1=0，其中i2=?1，e為自然對數的底數，它使用了幾個基本的數學常數描述了實數集和復數集的聯系．其廣義一般式是eiA．lnB．若復數z滿足z=12C．若復數eiα與復數eD．復數eiα與復數三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·高一課時練習）?cosα+isinα14．（4分）（2023·高一課時練習）已知z的輻角主值是π4，則它的共軛復數的輻角主值是15．（4分）（2022春·福建漳州·高一期末）如果向量OZ對應復數?2i,OZ繞原點O按順時針方向旋轉π4后再把模變?yōu)樵瓉淼?2倍得到向量OZ116．（4分）（2022春·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下內容：任何一個復數z=a+bi（其中a、b∈R，i為虛數單位）都可以表示成：z=rcosθ+isinθ的形式，通常稱之為復數z的三角形式．法國數學家棣莫弗發(fā)現：zn=①z2②當r=1，θ=π6時，③當r=2，θ=π3時，④當r=1，θ=π4時，若n為偶數，則復數⑤1+i=四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2023·高一課時練習）求復數?1+cos18．（6分）（2022·高一課時練習）如圖，向量OZ對應的復數為1+i，把OZ繞點O按逆時針方向旋轉120°，得到OZ'.求向量19．（8分）（2022·高一課時練習）把下列復數表示成三角形式，并畫出與之對應的向量．(1)6；(2)1+i(3)1?3(4)?320．（8分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）計算下列各式：(1)16cos(2)3cos(3)?1+i21．（8分）（2022·高二課時練習）已知復數z1,z2,（1）若z1=32+12i,向量（2）若z1?z22．（8分）（2022·全國·高一專題練習）一般地，任何一個復數z=a+bi（a，b∈R）都可以表示成rcosθ+isinθ形式，其中，r是復數z的模，θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復數z=a+bi的輻角，rcosθ+(1)畫出復數z=1?i對應的向量，并把z=1?(2)已知z1=cosθ1+isinθ1，專題7.6復數的三角表示（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2023·高一課時練習）下列結論中正確的是（

）．A．復數z的任意兩個輻角之間都差2πB．任何一個非零復數的輻角有無數個，但輻角主值有且只有一個；C．實數0不能寫成三角形式；D．復數0的輻角主值是0．【解題思路】根據復數輻角、輻角主值定義及復數0輻角判斷各項的正誤.【解答過程】A：復數0的輻角為任意值，其兩個輻角之差不一定為2πB：任何一個非零復數的輻角有無數個，但輻角主值有且只有一個，正確；C：0×(cosθ+iD：復數0的輻角主值不唯一，錯誤.故選：B.2．（3分）（2022·全國·高三專題練習）復數z=cos?2A．8π5 B．?8π5 【解題思路】設出輻角為θ，利用公式計算出θ=?25π+2【解答過程】設復數z=cos?2則tanθ=所以θ=?25π+2因為argz∈所以當k=1時，滿足要求，arg所以輻角主值為8π故選：A.3．（3分）復數12?3A．cos?π3C．cosπ3?【解題思路】根據對應象限角的三角函數值及誘導公式，寫出復數的三角形式.【解答過程】由cos(5π3故選：A.4．（3分）（2023·高一課時練習）將復數1+3i對應的向量ON繞原點按順時針方向旋轉π2，得到的向量為OA．3?i B．3+i C．?3【解題思路】先將復數1+3【解答過程】復數1+3i的三角形式是2cos2cos故選：A.5．（3分）（2023·高一課時練習）已知i為虛數單位，z1=2cos60°+isinA．4cos90°+iC．4cos30°?i【解題思路】利用復數三角形式乘法運算法則計算即可.【解答過程】∵z∴=4cos60°+300°=4cos故選：D.6．（3分）（2022·全國·高三專題練習）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據棣莫弗公式及誘導公式代入計算即可．【解答過程】解：由已知得cosπ∴復數cosπ6+故選：C．7．（3分）（2022·高一課時練習）把復數z1與z2對應的向量OA，OB分別按逆時針方向旋轉π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知zA．?2?2i，3π4 B．?2【解題思路】由題可知z1cosπ4+i【解答過程】由題可知z1則z1∴z可知z1對應的坐標為?2,故選：B.8．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i為虛數單位，若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2A．若z=cosπ6+iB．若z=cosπ5+iC．若z1=2(cos7π12+isin7πD．若z1=3(cosπ12?isinπ【解題思路】A.z4=cos4π6B.z5=cosC.z1z2D.z1z2【解答過程】A.若z=cosπ6+isinπ6，則B.若z=cosπ5+isinπC.若z1=2(cos7π12+isin7π12)D.z1=3(cos23π12+isin23π12)故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）以下不是復數?1?3i的三角形式是（A．?2cosπ3C．2sin7π【解題思路】提取復數的模，結合三角函數的值即可化代數形式為三角形式．【解答過程】解：?1?3i=2故選：AD.10．（4分）（2022·高一單元測試）已知單位向量OZ1、OZ2分別對應復數z1A．i B．1 C．?1 D．?【解題思路】根據題意，設復數z1=cosθ1【解答過程】因為單位向量OZ1、設復數z1=cos因為OZ1?OZ所以z1故選：AD.11．（4分）（2022春·江蘇鹽城·高一階段練習）任何一個復數z=a+bi（其中a,b∈R，i為虛數單位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常稱之為復數A．z2=|z|2 B．當r=2C．當r=1，θ=π3時，z3=?1 D．當r=1，θ=π【解題思路】根據復數的相關定義及性質，逐項分析即可得出答案.【解答過程】對于復數z=a+biz2∴z2=根據復數的三角形式，r=2，θ=π6時，此時，z=r=1，θ=π3根據棣莫弗定理，z3r=1，θ=π4時，zn設n=2k,k∈Z?,zn所以k為奇數時，zn為純虛數；k為偶數時z故選：AC.12．（4分）（2022·高一單元測試）著名的歐拉公式為：eiπ+1=0，其中i2=?1，e為自然對數的底數，它使用了幾個基本的數學常數描述了實數集和復數集的聯系．其廣義一般式是eiA．lnB．若復數z滿足z=12C．若復數eiα與復數eD．復數eiα與復數【解題思路】對于A：根據已知得12對于B：由已知計算得z2021對于C：由已知得eiα對應的向量坐標為cosα,sinα對于D:根據向量垂直的坐標表示可判斷．【解答過程】∵12+32∵12+32∵eiα對應的向量坐標為cosα,sinα∴cosαcosβ+sinβsinα=0，即cosα?β=0，又∵eiα=cosα+isinα，復數ie故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2023·高一課時練習）?cosα+isinα【解題思路】設?cosα+isinα【解答過程】令?cosα+i所以r=1cosθ=?cos所以三角形式可寫成cos(故答案為：cos(14．（4分）（2023·高一課時練習）已知z的輻角主值是π4，則它的共軛復數的輻角主值是7π【解題思路】根據復數的三角表示可得z=r22+【解答過程】解：z的輻角主值是π4，則z=rcosπ所以共軛復數z=r則共軛復數的輻角主值是7π故答案為：7π15．（4分）（2022春·福建漳州·高一期末）如果向量OZ對應復數?2i,OZ繞原點O按順時針方向旋轉π4后再把模變?yōu)樵瓉淼?2倍得到向量OZ1【解題思路】先求出復數?2i的三角形式，然后利用三角形式變換求解O【解答過程】解：因為?2i所以由題意可得OZ2=3=3=3×=?3故答案為：?316．（4分）（2022春·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下內容：任何一個復數z=a+bi（其中a、b∈R，i為虛數單位）都可以表示成：z=rcosθ+isinθ的形式，通常稱之為復數z的三角形式．法國數學家棣莫弗發(fā)現：zn①z2②當r=1，θ=π6時，③當r=2，θ=π3時，④當r=1，θ=π4時，若n為偶數，則復數⑤1+i=【解題思路】利用復數的模長公式可判斷①的正誤，利用復數的三角運算可判斷②③④⑤的正誤.【解答過程】對于①，z2所以，z2=r2cos所以，z2=z對于②，當r=1，θ=π6時，z6對于③，當r=2，θ=π3時，z=2cosπ3對于④，當r=1，θ=π4時，取n=4，則z4對于⑤，2cosπ4故答案為：①③⑤.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2023·高一課時練習）求復數?1+cos【解題思路】根據三角很恒等變換換成Z=a+bi=【解答過程】?1+=2sin故復數?1+cos2π18．（6分）（2022·高一課時練習）如圖，向量OZ對應的復數為1+i，把OZ繞點O按逆時針方向旋轉120°，得到OZ'.求向量【解題思路】根據復數乘法的幾何意義，向量OZ'對應的復數是復數1+i與z0【解答過程】解：向量OZ(1+i)(=(1+i)=?1?19．（8分）（2022·高一課時練習）把下列復數表示成三角形式，并畫出與之對應的向量．(1)6；(2)1+i(3)1?3(4)?3【解題思路】對（1）（2）（3）（4）中的復數，先畫出圖像，結合圖像求得輻角主值和模，從而求得其三角形式.【解答過程】（1）設復數的模為r，輻角主值為θ．6對應的向量如下圖中OZ∵r=6，cosθ=1，sinθ=0，又∴θ=0，∴6=6(cos（2）設復數的模為r，輻角主值為θ．1+i對應的向量如下圖中O∵r=2，cosθ=2又θ∈[0,2π)，∴∴1+i（3）設復數的模為r，輻角主值為θ．1?3i對應的向量如下圖中∵r=1+3=2，cosθ=又θ∈[0,2π)，∴∴1?3（4）設復數的模為r，輻角主值為θ．?32+∵r=1，cosθ=?32又θ∈[0,2π∴θ=5∴?320．（8分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）計算下列各式：(1)16cos(2)3cos(3)?1+i【解題思路】根據復數三角形式的乘法運算直接求解即可.【解答過程】(1)16