2025屆浙江省磐安縣第二中學高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題含解析

2025屆浙江省磐安縣第二中學高二數(shù)學第一學期期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A.21 B.20C.16 D.112．在數(shù)列中，若，則稱為“等方差數(shù)列”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列 B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.是等方差數(shù)列 D.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列3．橢圓與雙曲線有公共的焦點、，與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.4．某地政府為落實疫情防控常態(tài)化，不定時從當?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測．把這批公務(wù)員按001到780進行編號，若018號被抽中，則下列編號也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5225．已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.6．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.7．已知橢圓的左，右焦點分別為，，直線與C交于點M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（）A. B.C. D.8．已知拋物線的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若，則當最大時，（）A. B.1C. D.29．如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．是直線與直線互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要11．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.812．設(shè)函數(shù)的圖象為C，則下面結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.圖象C關(guān)于點對稱C.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)D.圖象C可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則實數(shù)________________14．若點P為雙曲線上任意一點，則P滿足性質(zhì)：點P到右焦點的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點Q，使得Q到左焦點的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______15．已知雙曲線：，，是其左右焦點.圓：，點為雙曲線右支上的動點，點為圓上的動點，則的最小值是________.16．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當時，證明：存在唯一的零點；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）某學校為了調(diào)查本校學生在一周內(nèi)零食方面的支出情況，抽出了一個容量為的樣本，分成四組，，，，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出金額在元的學生有180人.（1）請求出的值；（2）如果采用分層抽樣的方法從，內(nèi)共抽取5人，然后從中選取2人參加學校的座談會，求在，內(nèi)正好各抽取一人的概率為多少.19．（12分）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，點P是橢圓C上位于第二象限的任一點，直線l是的外角平分線，過左焦點作l的垂線，垂足為N，延長交直線于點M，（其中O為坐標原點），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過右焦點的直線交橢圓C于A，B兩點，點T在線段AB上，且，點B關(guān)于原點的對稱點為R，求面積的取值范圍.20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，過點作交于點.求證：（1）平面；（2）平面.21．（12分）已知，：，：.（1）若，為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于另一點（異于橢圓的右頂點），交軸于點，直線與直線相交于點.求證：直線的斜率為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)已知求出，即得解.【詳解】解：由題得，所以.故選：B2、B【解析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進行判斷即可【詳解】選項A中，符合等差數(shù)列的定義，所以是等差數(shù)列，A正確；選項B中，不是常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，選項B錯誤；選項C中，，所以是等方差數(shù)列，C正確；選項D中，所以是等方差數(shù)列，D正確故選：B3、B【解析】求得，可得出，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，設(shè)雙曲線的實軸長為，因為與在第一象限內(nèi)交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因，則，故.故選：B.4、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點，寫出組數(shù)與對應(yīng)抽取編號的關(guān)系式，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，則需要分為組，每組人；設(shè)第組抽取的編號為，故可設(shè)，又第一組抽中號，故可得，解得故，當時，.故選：.5、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程的解為或，且，利用韋達定理即可將用表示，即可判斷各選項的正誤.【詳解】解：因為不等式解集為，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯誤；，故C正確.故選：C.6、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B7、A【解析】根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，設(shè)，進而得，根據(jù)四邊形面積求出點M的坐標，再代入橢圓方程得出關(guān)于e的方程，解方程即可.【詳解】如圖，不妨設(shè)點在第一象限，由橢圓的對稱性得四邊形為平行四邊形，設(shè)點，由，得，因為四邊形的面積為，所以，得，由，得，解得，所以，即點，代入橢圓方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故選：A8、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合換元法、配方法進行求解即可.【詳解】因為點P為該拋物線上的動點，所以點P的坐標設(shè)為，拋物線的焦點為F，所以，拋物線的準線方程為：，因此，令，，當時，即當時，有最大值，最大值為1，此時.故選：B9、A【解析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.10、B【解析】求出直線與平行的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當時，與平行，當時，與平行，則直線與直線平行等價于或，所以是直線與直線互相平行的充分而不必要條件.故選：B11、A【解析】利用空間向量的模公式求解.【詳解】因向量，所以，故選：A12、B【解析】化簡函數(shù)解析式，求解最小正周期，判斷選項A，利用整體法求解函數(shù)的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間，判斷選項BC，再由圖象變換法則判斷選項D.【詳解】，所以函數(shù)的最小正周期為，A錯；令，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，B正確；由，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，C錯；函數(shù)的圖象向右平移個單位得，D錯.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，利用向量的數(shù)量積的坐標運算即可.【詳解】，則，解得故答案為：14、【解析】若Q到的距離為有，由題設(shè)有，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)，即可求離心率的范圍.【詳解】由題意，，即，整理有，所以或，若Q到的距離為，則Q到左、右焦點的距離分別為、，又Q在C的右支上，所以，則，又，綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：若Q到的距離為，根據(jù)給定性質(zhì)有Q到左、右焦點的距離分別為、，再由雙曲線性質(zhì)及已知條件列不等式組求離心率范圍.15、##【解析】利用雙曲線定義，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點為雙曲線右支上的動點知∴∴.故答案為：16、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當時，求導(dǎo)得到，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，可證得命題成立；（2）當且時，不滿足題意，故，又定義域為，講不等式化簡，參變分離后構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性并求出最值，可得實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，由，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；.且，故存在唯一的零點；（2）當時，不滿足恒成立，故由定義域為，可得，令，則，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)取得最大值（1），故實數(shù)的取值范圍是【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)零點的問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的恒成立問題，關(guān)于恒成立問題的幾種常見解法總結(jié)如下：

參變分離法，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值問題；

主元變換法，把已知取值范圍的變量作為主元，把求取值范圍的變量看作參數(shù)；

分類討論，利用函數(shù)的性質(zhì)討論參數(shù)，分別判斷單調(diào)性求出最值；

數(shù)形結(jié)合法，將不等式兩端的式子分別看成兩個函數(shù)，作出函數(shù)圖象，列出參數(shù)的不等式求解18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出[50，60]的頻率，180除以該頻率即為n的值；(2)將的樣本編號為a、b，將的樣本編號為A、B、C，利用列舉法即可求概率.【小問1詳解】由于支出金額在的頻率為，∴.【小問2詳解】采用分層抽樣抽取的的人數(shù)比應(yīng)為2：3，∴5人中有2人零食支出位于，記為、；有3人零食支出在，記為A、B、C.從這5人中選取2人有，，，，，，，，，，共10種情況；其中內(nèi)正好各抽取一人有，，，，，，共6種情況.∴在內(nèi)正好各抽取一人的概率為.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進一步推得，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問1詳解】由題意可知：為的中點，為的中點，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由題意可知，，,①當過的直線與軸垂直時，，,②當過的直線不與軸垂直時，可設(shè)，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)椋睿阶優(yōu)楫敃r，故，由①②可知.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時的三角形的面積問題，考查學生的計算能力和數(shù)學素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是計算三角形面積時要理清運算的思路，準確計算.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連結(jié)、，交于點，連結(jié)，通過即可證明；（2）通過，

可證平面，即得，進而通過平面得，結(jié)合即證.詳解】證明：（1）連結(jié)、，交于點，連結(jié)，底面正方形，∴是中點，點是的中點，.平面，

平面，∴平面.（2），點是的中點，.底面是正方形，側(cè)棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【點睛】本題考查線面平行和線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據(jù)或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計算作答.【小問1詳解】依題意，：，：，得：.當時，：，因為真命題，為假命題，則與一真一假，當真假時，即或，無解，當假真時，即或，解得或，綜上得：或，所以實數(shù)x的取值范圍是；【小問2詳解】因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件