高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義第09章平面解析幾何第9節(jié)第01課時(shí)圓錐曲線中的最值與范圍問題

第九節(jié)圓錐曲線的綜合應(yīng)用考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)圓錐曲線的綜合應(yīng)用2017·全國卷Ⅱ·T20·12分定點(diǎn)、定值問題數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2015·全國卷Ⅱ·T20·12分定值問題命題分析高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以解答題為主，難度較大，考題大多圍繞直線與圓錐曲線的位置關(guān)系展開對定值，最值，參數(shù)取值范圍等問題的考查.第一課時(shí)圓錐曲線中的最值與范圍問題圓錐曲線中的最值問題[明技法]圓錐曲線中求解最值問題的常用方法(1)建立函數(shù)模型：利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值．(2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值．(3)數(shù)形結(jié)合：利用相切、相交的幾何性質(zhì)求最值．[提能力]【典例】(2018·安陽月考)設(shè)橢圓M：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4．(1)求橢圓M的方程；(2)若直線y＝eq\r(2)x＋m交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，P(1，eq\r(2))為橢圓M上一點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．解：(1)由題可知，雙曲線的離心率為eq\r(2)，則橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，由2a＝4，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)，故橢圓M的方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1．(2)聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x＋m，,\f(x2,2)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2＋2eq\r(2)mx＋m2－4＝0，由Δ＝(2eq\r(2)m)2－16(m2－4)＞0，得－2eq\r(2)＜m＜2eq\r(2)．且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(\r(2),2)m，,x1x2＝\f(m2－4,4)，))所以|AB|＝eq\r(1＋2)|x1－x2|＝eq\r(3)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(3)·eq\r(\f(1,2)m2－m2＋4)＝eq\r(3)·eq\r(4－\f(m2,2))．又P到直線AB的距離為d＝eq\f(|m|,\r(3))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(\r(3),2)·eq\r(4－\f(m2,2))·eq\f(|m|,\r(3))＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(m2,2)))·m2)＝eq\f(1,2\r(2))eq\r(m28－m2)≤eq\f(1,2\r(2))·eq\f(m2＋8－m2,2)＝eq\r(2)．當(dāng)且僅當(dāng)m＝±2∈(－2eq\r(2)，2eq\r(2))時(shí)取等號，所以(S△PABmax)＝eq\r(2)．[刷好題]1．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<2)與y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則△ABF的面積的最大值為________.解析：不妨設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(eq\r(4－b2)，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2b×eq\r(4－b2)＝beq\r(4－b2)＝eq\r(b24－b2)≤eq\f(b2＋4－b2,2)＝2(當(dāng)且僅當(dāng)b2＝4－b2，即b2＝2時(shí)取等號)，故△ABF面積的最大值為2．答案：22．(2018·長春模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．(1)若eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，求直線AB的斜率；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．解：(1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y2－4my－4＝0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.因?yàn)閑q\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，所以y1＝－2y2.②聯(lián)立①和②，消去y1，y2，得m＝±eq\f(\r(2),4)．所以直線AB的斜率是±2eq\r(2)．(2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB．因?yàn)?S△AOB＝2·eq\f(1,2)·|OF|·|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝4eq\r(1＋m2)，所以當(dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．圓錐曲線中的范圍問題[明技法]圓錐曲線中求解范圍問題的常用方法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．[提能力]【典例】(2018·貴陽監(jiān)測)已知橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，且橢圓C上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為eq\r(3)－eq\r(2)．(1)求橢圓C的方程；(2)已知過點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E，使∠AEB＝90°，求直線l的斜率k的取值范圍．解：(1)設(shè)橢圓的半焦距長為c，則由題設(shè)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a－c＝\r(3)－\r(2)，))解得a＝eq\r(3)，c＝eq\r(2)，∴b2＝1，故橢圓C的方程為eq\f(y2,3)＋x2＝1．(2)由已知可得，以AB為直徑的圓與x軸有公共點(diǎn)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)為M(x0，y0)，將直線l：y＝kx＋2代入eq\f(y2,3)＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，Δ＝12k2－12，x1＋x2＝eq\f(－4k,3＋k2)，x1x2＝eq\f(1,3＋k2)．∴x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－2k,3＋k2)，y0＝kx0＋2＝eq\f(6,3＋k2)，|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)eq\f(\r(12k2－12),3＋k2)＝eq\f(2\r(3)\r(k4－1),3＋k2)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝12k2－12＞0，,\f(6,3＋k2)≤\f(1,2)|AB|，))解得k4≥13，即k≥eq\r(4,13)或k≤－eq\r(4,13)．故直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－eq\r(4,13)]∪[eq\r(4,13)，＋∞)．[刷好題](2018·貴陽月考)設(shè)橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,8－a2)＝1(a＞0)的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓E的焦距為4．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓外一點(diǎn)M(m,0)(m＞a)作傾斜角為eq\f(5π,6)的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若橢圓E的右焦點(diǎn)F在以弦CD為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)∵橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,8－a2)＝1(a＞0)的焦點(diǎn)在x軸上，a2＝b2＋c2，∴a2＞8－a2，即a2＞4，又∵a2－(8－a2)＝4，∴a2＝6，所以橢圓方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1．(2)因?yàn)橹本€l的傾斜角為eq\f(5π,6)，則直線l的斜率k＝taneq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),3)，∴直線l的方程為y＝－eq\f(\r(3),3)(x－m)(m＞eq\r(6))，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(3),3)x－m，,x2＋3y2＝6，))消去y得2x2－2mx＋m2－6＝0，∴x1＋x2＝m，x1x2＝eq\f(m2－6,2)，且Δ＝(－2m)2－8(m2－6)＞0，即m2∵橢圓的右焦點(diǎn)F在以弦CD為直徑的圓的內(nèi)部，∴e