專題訓(xùn)練：等腰三角形的分類討論（解析版）

等腰三角形的分類討論題型01遇邊或角需討論【典例分析】【例1-1】（23-24七年級下·重慶萬州·期末）一個等腰三角形的兩邊長分別為5，10，那么這個等腰三角形的周長為（

）A．20 B．25 C．20或25 D．不確定【答案】B【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，理解三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題目給出等腰三角形有兩條邊長為5和10，而沒有明確腰、底分別是多少，所以分兩種情況進(jìn)行討論，并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，再計(jì)算其周長即可．【詳解】解：①當(dāng)10為腰長時，三角形的三邊長為：10、10、5，滿足三角形的三邊關(guān)系，其周長為10＋10＋5＝25；②當(dāng)5為腰長時，三角形的三邊長為：5、5、10，此時，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不合題意．綜上所述，該等腰三角形的周長為25．故選：B【例1-2】（23-24七年級下·重慶·階段練習(xí)）已知等腰三角形的周長為18，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長為．【答案】8或5【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．由于長為4的邊可能為腰，也可能為底邊，故應(yīng)分兩種情況討論．【詳解】解：當(dāng)腰為5時，另一腰也為5，則底為，∵，符合題意，當(dāng)?shù)诪?時，腰為，符合題意，∴該三角形的底邊長為8或5．故答案為：8或5【例1-3】（23-24八年級上·浙江紹興·期末）一個等腰三角形的周長是．(1)若腰長是底邊長的2倍，求這個等腰三角形各邊的長．(2)若其中一邊的長為，求這個等腰三角形其余兩邊的長．【答案】(1)(2)與，或與【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，等腰三角形的定義等知識，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)等腰三角形的底邊長為，則腰長為，根據(jù)“周長是”列方程求解即可；（2）根據(jù)等腰三角形的定義，分腰為與底為兩種情況分別求出其他兩邊即可；【詳解】（1）解：設(shè)等腰三角形的底邊長為，則腰長為，由題意得：，解得：∴，這個等腰三角形的底邊長為，腰長分別為，，即各邊長分別是；（2）當(dāng)腰為時，底邊長為：，∴其余兩邊分別為，此時能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)诪闀r，腰長為：，∴其余兩邊分別為，此時能構(gòu)成三角形；綜上所述：其余兩邊分別為與，或與【變式演練】【變式1-1】（23-24八年級下·河南鄭州·期中）若等腰三角形的一邊長，周長為，則該等腰三角形的腰長為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題主要查了等腰三角形的定義．分兩種情況：若等腰三角形的腰長為，若等腰三角形的底邊長為，即可求解．【詳解】解：若等腰三角形的腰長為，則底邊長為，此時，符合題意；若等腰三角形的底邊長為，則腰長為，此時，符合題意；∴該等腰三角形的腰長為或．故選：D．【變式1-2】（23-24八年級上·廣東珠海·期中）已知等腰三角形周長為，一邊為，則另外兩邊長為．【答案】，【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分3cm是腰長與底邊長兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷求解即可，解題的關(guān)鍵在于要分情況并利用三角形三邊關(guān)系判定是否能組成三角形．【詳解】解：如果腰長為，則底邊長為．三邊長為，，，∵，不符合三角形三邊關(guān)系定理，這樣的三邊不能圍成三角形，∴如果底邊長為．所以腰長為，三邊長為，，，符合三角形三邊關(guān)系定理，∴另外兩邊長為，．故答案為：，．【變式1-3】（23-24八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，在中，，．點(diǎn)在邊上運(yùn)動（不與重合），連接作，交邊于點(diǎn)．在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，當(dāng)是等腰三角形時，求的度數(shù)．

【答案】的度數(shù)為或【分析】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合，分類討論，①如圖所示，；②如圖所示，；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解，解題的關(guān)鍵是等腰三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】解：∵，∴，則，①如圖所示，，即是等腰三角形，

∵，∴，∴；②如圖所示，，即是等腰三角形，

∴，∴；③∵不與重合，，∴以的等腰三角形不存在；綜上所述，的度數(shù)為或題型02遇中線、高或垂直平分線需討論【典例分析】【例2-1】（22-23八年級上·山西呂梁·期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的底角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題要分情況討論．當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況．【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時，如圖1，∵，，，是等腰三角形，∴三角形的底角為；②當(dāng)為鈍角三角形時，如圖2，∵，，，是等腰三角形，∴三角形的底角為；∴三角形的底角為或；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角，做題時，考慮問題要全面，必要的時候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【例2-2】（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為32°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，考查了直角三角形的兩個銳角互余;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，利用分類討論的思想是解答此題的關(guān)鍵．分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出它的底角的度數(shù)．【詳解】

解：①若是銳角三角形，在中，設(shè)，于D，∴，，∴，底角為；②若是鈍角三角形，在中，設(shè)，于D，，，則，∴底角為所以等腰三角形底角的度數(shù)是或．故答案為：或．【例2-3】（23-24八年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）在等腰三角形中，的垂直平分線交直線于點(diǎn)E，連接，如果，那么的度數(shù)為．【答案】或【分析】分類討論，當(dāng)點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長線時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，設(shè)，則，∵是的垂直平分線，∴，∴，則，∵是的外角，且，∴，即，解得，，∴；如圖所示，∵是的垂直平分線，∴，∴是等腰三角形，且，∴，∵，∴，∵，∴．綜上所述，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，理解等腰三角形的性質(zhì)，掌握內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式演練】【變式2-1】（23-24八年級上·浙江寧波·階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線將這個三角形的周長分成12，9兩部分，則等腰三角形的腰長為．【答案】6或8【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；設(shè)腰長為x，底邊長為y，根據(jù)等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為12和9兩部分，列方程解得即可．【詳解】解：設(shè)腰長為x，底邊長為y，則或，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)，都符合三角形的三邊關(guān)系．因此三角形的底邊長為9或5，等腰三角形的腰長為6或8．故答案為：6或8【變式2-2】（23-24八年級上·上海黃浦·期末）已知等腰中，邊的垂直平分線交直線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．【答案】或或【分析】本題主要考查了等邊對等角，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分當(dāng)是銳角三角形時，當(dāng)是鈍角三角形時，三種情況畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對等角得到，再根據(jù)角度之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)是銳角三角形時，且點(diǎn)D在線段上，∵點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴；如圖所示，當(dāng)是銳角三角形時，且點(diǎn)D在線段的延長線上，∵點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴；如圖所示，當(dāng)是鈍角三角形時，點(diǎn)D在線段的延長線上，∵點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∴；綜上所述，的度數(shù)為或或．故答案為；或或．【變式2-3】（22-23八年級上·湖北荊門·期中）（1）在等腰中，，一腰上的中線將三角形的周長分成15和9兩部分，求這個等腰三角形的腰長及底邊長．（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，求這個等腰三角形的底角的度數(shù)．【答案】（1）腰長為10，底邊長為4；（2）這個等腰三角形的底角的度數(shù)是或【分析】（1）設(shè)，則，分兩種情況：①當(dāng)，時，②當(dāng)，時，分別列方程求出x得到腰長，即可求出底邊；（2）分①若是銳角三角形，②若三角形是鈍角三角形兩種情況求解【詳解】解：（1）設(shè)，則，①當(dāng)，時，則，∴，∴，，∴這個等腰三角形的腰長為10，底邊長為4；②當(dāng)，時，則，∴，∴，，∵，∴此時不成立．

綜上，這個等腰三角形的腰長為10，底邊長為4；（2）在中，設(shè)于D．①若是銳角三角形，，∴底角；

②若三角形是鈍角三角形，，∴底角

綜上，這個等腰三角形的底角的度數(shù)是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角求角度，三角形外角的性質(zhì)，在解題時要注意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵題型03遇動態(tài)問題需討論【典例分析】【例3-1】（21-22八年級上·安徽滁州·階段練習(xí)）點(diǎn)是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是的圖像上的動點(diǎn)，則滿足上述條件的等腰可以畫出（）個．A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時．分別畫出點(diǎn)C的位置．【詳解】解：如圖所示，①當(dāng)時，滿足條件的點(diǎn)為：；②當(dāng)時，滿足條件的點(diǎn)為：；③當(dāng)時，滿足條件的點(diǎn)為：；綜上所述，滿足條件的等腰三角形可以畫出5個；故選D．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的概念及畫法，在點(diǎn)C不確定的情況下的分類討論的思想方法是解答此題的關(guān)鍵【例3-2】（23-24八年級上·浙江杭州·期中）如圖，直線a，b交于點(diǎn)O，，點(diǎn)A是直線a上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線b上運(yùn)動，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則．

【答案】或【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，分點(diǎn)B位于下方和上方兩種情況分別求解即可，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)B位于下方時，如圖：

，，又，；當(dāng)點(diǎn)B位于上方時，如圖：

是等腰三角形，，是等邊三角形，，故答案為：或．【例3-3】（22-23八年級上·江蘇徐州·期中）如圖，，點(diǎn)C是邊上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)P在角的另一邊上運(yùn)動，當(dāng)是等腰三角形，°．【答案】或或【分析】分三種情況討論：①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，

①當(dāng)時，∴∴．②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；綜上所述，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵【變式演練】【變式3-1】（2023八年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，直線，交于點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，且始終位于直線的上方，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則．

【答案】或或【分析】根據(jù)題意，分三種情況討論，①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：如圖，要使為等腰三角形需分三種情況討論：

①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；綜上，的度數(shù)是或或．故答案為：40或70或100．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵【變式3-2】（21-22八年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A是直線a上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線b上運(yùn)動，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則∠OAB的度數(shù)是．【答案】50°或65°或80°或25°【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分四種情況討論：①以為頂點(diǎn)時的等腰△OA，②以A為頂點(diǎn)時的等腰△OA，③以O(shè)為頂點(diǎn)時的等腰△OA，④以O(shè)為頂點(diǎn)時的等腰△OA，分別求得符合的點(diǎn)B，即可得解．【詳解】解：要使△OAB為等腰三角形分四種情況討論：①以為頂點(diǎn)時的等腰△OA，當(dāng)時，∠OAB=∠1=50°；②以A為頂點(diǎn)時的等腰△OA，當(dāng)時，∠OAB=180°-2×50°=80°；③以O(shè)為頂點(diǎn)時的等腰△OA，當(dāng)時，∠OAB=∠OBA=(180°-50°)=65°；④以O(shè)為頂點(diǎn)時的等腰△OA，當(dāng)時，∠OAB=∠OBA=∠1=25°；綜上所述，∠OAB的度數(shù)是50°或65°或80°或25°，故答案為：50°或65°或80°或25°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵【變式3-3】（21-22八年級下·山東青島·期中）如圖，直線a，b交于點(diǎn)O，∠α=40°，點(diǎn)A是直線a上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線b上運(yùn)動，且始終位于直線a的上方，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則∠OAB=°．【答案】40或70或100【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB=AB時，②當(dāng)OA=AB時，③當(dāng)OA=OB時，分別求得符合的點(diǎn)B，即可得解．【詳解】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：

①當(dāng)OB1=AB1時，∠OAB=∠α=40°；②當(dāng)OA=AB2時，∠OAB=180°-2×40°=100°；③當(dāng)OA=OB3時，∠OAB=∠OBA=（180°-40°）=70°；故答案為：40或70或100．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵題型04構(gòu)造等腰三角形時需討論【典例分析】【例4-1】（23-24八年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）如果等腰三角形的各邊長是整數(shù)，周長為9，那么這樣的等腰三角形有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定；所構(gòu)成的等腰三角形的三邊必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．由已知條件，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，結(jié)合邊長是整數(shù)進(jìn)行分析．【詳解】解：等腰三角形周長為9，且各邊長為整數(shù)，等腰三角形的邊長只能為：1，4，4；或3，3，3；共兩個．故選：B．【例4-2】（23-24八年級上·江西宜春·期末）已知的邊，周長為16，當(dāng)為等腰三角形時，則邊的長度是．【答案】6或4或5【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分為腰和底兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形的定義即可解答．【詳解】解：當(dāng)為腰時，若為腰，則；若為底，則；當(dāng)為底時，則，綜上，的長度是：6或4或5．故答案為：6或4或5【例4-3】（20-21八年級上·浙江衢州·期末）（1）已知△ABC中，∠A=20°，∠B＝40°，請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形．（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來．只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）（2）已知△ABC中，∠A是其最小的內(nèi)角，過頂點(diǎn)C的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請?zhí)角蟆螦CB與∠A之間的關(guān)系.【答案】（1）圖形見詳解；（2）與之間的關(guān)系是：或或或，為小于45°的任意銳角．【分析】（1）已知角度，要分割成兩個等腰三角形，可以運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，先計(jì)算出可能的角度，或者先從草圖中確認(rèn)可能的情況及角度，然后畫上；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，需要把三角形分成兩個等腰三角形的各種情形列方程，可得出角與角之間的關(guān)系．【詳解】（1）如圖共有2種不同的分割法．圖1中，為等腰三角形底角；圖2中，為等腰三角形頂角；（2）設(shè)，，則：，過點(diǎn)C的直線交邊AB于點(diǎn)D.在中，①若是頂角，如圖，則，，∴只能，即：，可得：，化解得：，②若是底角，第一種情況：在中，，則，，在中，若，則，即：，化簡得：，即：；若，則，即：，化簡得：，即：，為小于45°的任意銳角；若，則，即：，化簡得：，即：；第二種情況：在中，時，，，∴，∵為的一個外角，∴，這與題設(shè)是最小角矛盾，不符合題意（舍去），∴當(dāng)是底角時，不成立．綜上所述，與之間的關(guān)系是：或或或，為小于45°的任意銳角．【點(diǎn)睛】題目主要考查了等腰三角形的性質(zhì)；第（1）問是計(jì)算與作圖相結(jié)合的探索．本問對學(xué)生運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)等基礎(chǔ)知識解決問題的能力都有較高的要求；第（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，由“特殊”到“一般”，“分類討論”把直角三角形分成兩個等腰三