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文檔簡介
5.1.2弧度制5.1任意角和弧度制1.理解弧度制的概念;2.能進行角度與弧度的互化;3.會利用弧度制證明并應(yīng)用扇形周長及面積公式.學(xué)習(xí)目標(biāo)1自主學(xué)習(xí)1.生活中在度量時,會用到不同的單位制,有哪些例子?2.角的度量是否也能用不同的單位制呢?比如,度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制,度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制.我們學(xué)過用度作為單位來度量角,這種單位制叫做角度制.探究一:弧度制
如圖,射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α.在旋轉(zhuǎn)過程中,射線OA上的一點P(不同于點O)的軌跡是一條圓弧,這條圓弧對應(yīng)圓心角α.
圓心角α所對的弧長與半徑的比值,只與α的大小有關(guān).思考:我們是否可以利用圓的弧長與半徑的關(guān)系來度量圓心角?我們規(guī)定:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度單位用符號rad表示,讀作弧度.半徑為1的圓叫單位圓,如圖,在單位圓O中,的長為1,∠AOB就是1弧度的角.因此,在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對的圓心角為αrad,那么
正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負角的弧度數(shù)是一個負數(shù),零角的弧度數(shù)是0.1.度量角的兩種制度角度制定義用
作為單位來度量角的單位制1度的角1度的角等于周角的______弧度制定義以
作為單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于
的圓弧所對的圓心角度弧度半徑長2.弧度數(shù)的計算正負0探究二:在度量零角時,角度制與弧度制單位不同,但量數(shù)相同,都為0;在度量任一非零角時,單位不同,量數(shù)也不同.
學(xué)習(xí)了弧度,那么角度制與弧度制之間如何換算呢?3.角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°=
rad2πrad=____180°=
radπrad=_____1°=
rad≈0.01745rad1rad=
≈57.30°度數(shù)×=弧度數(shù)弧度數(shù)×=度數(shù)2π360°180°π√×√√小試牛刀2經(jīng)典例題例1(課本P173例4,例5)
題型一角度制與弧度制的互化總結(jié):角度與弧度互化技巧1、在進行角度與弧度的換算時,抓住關(guān)系式πrad=180°是關(guān)鍵,由它可以得到:2、角度化弧度時,將分,秒化成度,再化成弧度今后在用弧度制表示角時,“弧度”二字或“rad”通常略去不寫,而只寫該角對應(yīng)的弧度數(shù)。填寫下列特殊角的度數(shù)和弧度數(shù)的對應(yīng)表:角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合和實數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系;每一個角都有唯一的一個實數(shù)與它對應(yīng);反過來,每一個實數(shù)也都有唯一的一個角與它對應(yīng)。例2將-1125°寫成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α<2π.并判斷它是第幾象限角?題型二用弧度制表示有關(guān)的角所以-1125°是第四象限角.總結(jié):用弧度制表示終邊相同角的兩個關(guān)注點(1)用弧度制表示終邊相同的角2kπ+α(k∈Z)時,其中2kπ是π的偶數(shù)倍,而不是整數(shù)倍.(2)注意角度制與弧度制不能混用.跟蹤訓(xùn)練2用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)的角θ的集合.解終邊落在射線OA上的角為θ=135°+k·360°,k∈Z,終邊落在射線OB上的角為θ=-30°+k·360°,k∈Z,題型三利用弧度制證明并利用扇形公式例3(課本P174例6)
四.弧度制下的弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R,弧長為l,α(0<α<2π)為其圓心角,則(1)弧長公式:l=
.αR思考
扇形的面積公式與哪個平面圖形的面積公式類似?對應(yīng)的圖形是否也類似?答案
扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實際上,扇形可看作是一曲邊三角形,弧是底,半徑是底上的高.總結(jié):扇形的弧長和面積的求解策略(1)記公式:弧度制下扇形的面積公式是S=(其中l(wèi)是扇形的弧長,R是扇形的半徑,α是扇形圓心角的弧度數(shù),0<α<2π).(2)找關(guān)鍵:涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計算問題,關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.跟蹤訓(xùn)練3
(1)已知一扇形的圓心角是72°,半徑為20,求扇形的面積.解設(shè)扇形弧長為l,(2)已知扇形的周長為10cm,面積為4cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π),弧長為lcm,半徑為Rcm,①代入②得R2-5R+4=0,解得R1=1,R2=4.當(dāng)R=1時,l=8,此時,θ=8rad>2πrad舍去.3當(dāng)堂達標(biāo)√√解析A,B中弧度與角度混用,不正確;√-315°=-360°+45°,660°4.已知一扇形的周長為4,當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時,扇形的面積最大?最大值是多少?解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π),弧長為l,半徑為r,面積為S,所以當(dāng)
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