5.1.2 弧度制 高一數(shù)學(xué)新教材配套課件（人教A版必修第一冊(cè)）

5.1.2弧度制5.1任意角和弧度制1.理解弧度制的概念；2.能進(jìn)行角度與弧度的互化；3.會(huì)利用弧度制證明并應(yīng)用扇形周長(zhǎng)及面積公式.學(xué)習(xí)目標(biāo)1自主學(xué)習(xí)1.生活中在度量時(shí)，會(huì)用到不同的單位制，有哪些例子？2.角的度量是否也能用不同的單位制呢？比如，度量長(zhǎng)度可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制.我們學(xué)過用度作為單位來度量角，這種單位制叫做角度制.探究一：弧度制

如圖，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α.在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上的一點(diǎn)P（不同于點(diǎn)O）的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對(duì)應(yīng)圓心角α.

圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值，只與α的大小有關(guān).思考：我們是否可以利用圓的弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系來度量圓心角？我們規(guī)定：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度.半徑為1的圓叫單位圓，如圖，在單位圓O中，的長(zhǎng)為1，∠AOB就是1弧度的角.因此，在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為αrad，那么

正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.1.度量角的兩種制度角度制定義用

作為單位來度量角的單位制1度的角1度的角等于周角的______弧度制定義以

作為單位來度量角的單位制1弧度的角長(zhǎng)度等于

的圓弧所對(duì)的圓心角度弧度半徑長(zhǎng)2.弧度數(shù)的計(jì)算正負(fù)0探究二：在度量零角時(shí)，角度制與弧度制單位不同，但量數(shù)相同，都為0；在度量任一非零角時(shí)，單位不同，量數(shù)也不同.

學(xué)習(xí)了弧度，那么角度制與弧度制之間如何換算呢？3.角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝____180°＝

radπrad＝_____1°＝

rad≈0.01745rad1rad＝

≈57.30°度數(shù)×＝弧度數(shù)弧度數(shù)×＝度數(shù)2π360°180°π√×√√小試牛刀2經(jīng)典例題例1（課本P173例4，例5）

題型一角度制與弧度制的互化總結(jié)：角度與弧度互化技巧1、在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式πrad＝180°是關(guān)鍵，由它可以得到：2、角度化弧度時(shí)，將分，秒化成度，再化成弧度今后在用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，而只寫該角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)。填寫下列特殊角的度數(shù)和弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表：角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合和實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角與它對(duì)應(yīng)。例2將－1125°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判斷它是第幾象限角？題型二用弧度制表示有關(guān)的角所以－1125°是第四象限角.總結(jié)：用弧度制表示終邊相同角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時(shí)，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍.(2)注意角度制與弧度制不能混用.跟蹤訓(xùn)練2用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)的角θ的集合.解終邊落在射線OA上的角為θ＝135°＋k·360°，k∈Z，終邊落在射線OB上的角為θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，題型三利用弧度制證明并利用扇形公式例3（課本P174例6）

四.弧度制下的弧長(zhǎng)與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長(zhǎng)公式：l＝

.αR思考

扇形的面積公式與哪個(gè)平面圖形的面積公式類似？對(duì)應(yīng)的圖形是否也類似？答案

扇形的面積公式與三角形的面積公式類似.實(shí)際上，扇形可看作是一曲邊三角形，弧是底，半徑是底上的高.總結(jié)：扇形的弧長(zhǎng)和面積的求解策略(1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是S＝(其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數(shù)，0<α<2π).(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知一扇形的圓心角是72°，半徑為20，求扇形的面積.解設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l，(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù).解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長(zhǎng)為lcm，半徑為Rcm，①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.當(dāng)R＝1時(shí)，l＝8，此時(shí)，θ＝8rad>2πrad舍去.3當(dāng)堂達(dá)標(biāo)√√解析A，B中弧度與角度混用，不正確；√－315°＝－360°＋45°，660°4.已知一扇形的周長(zhǎng)為4，當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時(shí)，扇形的面積最大？最大值是多少？解設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長(zhǎng)為l，半徑為r，面積為S，所以當(dāng)