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第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪教學(xué)目標(biāo)
理解n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念(重點(diǎn))01
掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡、求值(重點(diǎn)、難點(diǎn))02掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(重點(diǎn)、難點(diǎn))03
04
n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪學(xué)科素養(yǎng)
n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念數(shù)學(xué)抽象
直觀想象
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)邏輯推理
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡、求值數(shù)學(xué)運(yùn)算
數(shù)據(jù)分析
數(shù)學(xué)建模
n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪01知識(shí)回顧RetrospectiveKnowledge指數(shù)
為了研究指數(shù)函數(shù),我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實(shí)數(shù)。初中已經(jīng)學(xué)過整數(shù)指數(shù)冪.冪指數(shù)底數(shù)讀作“a的n次方”或“a的n次冪”求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪.指數(shù)運(yùn)算整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):整數(shù)指數(shù)冪:02新
知
探
索NewKnowledgeexplore
為了研究指數(shù)函數(shù),我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實(shí)數(shù).在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時(shí),我們把正方形場地的邊長c關(guān)于面積S的函數(shù),記作.像這樣以分?jǐn)?shù)為指數(shù)的冪,其意義是什么呢?下面從已知的平方根、立方根的意義入手展開研究.乘方運(yùn)算開方運(yùn)算乘方和開方是互逆運(yùn)算因?yàn)?±4)2=16,所以±4叫做16的平方根;因?yàn)?±3)2=9,所以±3叫做9的平方根;因?yàn)?3=8,所以2叫做8的立方根;因?yàn)?-2)3=-8,所以-2叫做-8的立方根;如果x2=a,那么x叫做a的平方根;如果x3=a,那么x叫做a的立方根;類似地,
因?yàn)?±2)4=16,我們把±2叫做16的4次方根;
因?yàn)?5=32,我們把2叫做32的5次方根;n次方根
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),0的n次方根為0,這時(shí),a的n次方根用符號(hào)表示.
例如:奇次方根
1.正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù);
2.負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù);3.0的奇次方根為0.n次方根定義:
一般地,如果xn=a,則x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.奇次方根
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí):正數(shù)的n次方根是有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù),這時(shí)候,正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)表示,負(fù)的n次方根用符號(hào)表示.正的n次方根和負(fù)的n次方根合并寫成;
例如:0的n次方根為0.
n次方根定義:
一般地,如果xn=a,則x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.偶次方根
負(fù)數(shù)有沒有偶次方根,因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù).偶次方根
2.負(fù)數(shù)沒有偶次方根;1.正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù);3.0的偶次方根為0.
負(fù)數(shù)有沒有偶次方根?為什么??偶次方根(n為奇數(shù))(當(dāng)n是偶數(shù),且a>0)0的任何次方根都是0,記作.根式:式子叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).n次方根定義:
一般地,如果xn=a,則x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.根式根據(jù)n次方根的意義,可得:
表示
的n次方根,
一定成立嗎?如果不一定成立,那么
等于什么?探究根式性質(zhì)例1
求下列各式的值:
當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí),根式是否也能表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式呢?把根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式的時(shí)候,例如:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:規(guī)定:
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
一般的,無理數(shù)指數(shù)冪
aα(a>0,α為無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),冪中的指數(shù)的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù),并拓展到了實(shí)數(shù).
實(shí)數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).對(duì)任意實(shí)數(shù)r,s,均有下面的性質(zhì):指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)例2
求下列各式的值:根式化簡與求值的思路及注意點(diǎn):(1)思路:首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式,然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡.(2)注意點(diǎn):①正確區(qū)分“”與“”兩式;(注意分析是否有意義)②運(yùn)算時(shí)注意變式、整體代換,以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的運(yùn)用,必要時(shí)要進(jìn)行討論.例3
用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式:例4
計(jì)算下列各式(式子中的字母均是正數(shù)):例4
計(jì)算下列各式(式子中的字母均是正數(shù)):03拓展提升ExpansionAndPromotion化簡并求值:利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值的方法:(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí),一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù),化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)
冪,化小數(shù)為分?jǐn)?shù),同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序;(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時(shí),若能明確被開方數(shù)的符號(hào),
則可以對(duì)根式進(jìn)行化簡運(yùn)算;(3)對(duì)于含有字母的化簡求值的結(jié)果,一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示.04歸納總結(jié)SumUp奇次方根
1.正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù);
2.負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù);3.0的奇次方根為0.n次方根定義:
一般地,如果xn=a,則x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.偶次方根
1.正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù);2.負(fù)數(shù)沒有偶次方根;3.0的偶次方根為0.(n為奇數(shù))(當(dāng)n是偶數(shù),且a>0)0的任何次方根都是0,記作.根式:式子叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).n次方根定義:
一般地,如果xn=a,則x
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