2024-2025高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo) 實(shí)驗(yàn)理論含答案

2024-2025高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)實(shí)驗(yàn)理論含答案實(shí)驗(yàn)理論物理學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)科學(xué)，幾乎所有的物理定律都來(lái)自于物理實(shí)驗(yàn)并不斷地受到新的物理實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，因此研究物理實(shí)驗(yàn)是每個(gè)對(duì)物理感興趣的同學(xué)必須做的工作，正因?yàn)槿绱?，物理?shí)驗(yàn)在物理競(jìng)賽中也占有重要的地位，不論是全國(guó)物理競(jìng)賽，還是國(guó)際奧林匹克物理競(jìng)賽，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容都要占30%—50%的比例。一、

有關(guān)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)知識(shí)（一）實(shí)驗(yàn)誤差的概念1、為什么要討論測(cè)量誤差任何物質(zhì)都有自身的各種各樣的特性，反映這些特征的量所具有的客觀真實(shí)數(shù)值，稱(chēng)為真值。測(cè)量的目的就是力圖得到真值，但是由于測(cè)量的方法、儀器、環(huán)境和測(cè)量者本身都必然存在著某些不理想情況，所以測(cè)量不能無(wú)限精確，在絕大多數(shù)情況下，測(cè)量結(jié)果與客觀存在的真值之間總有一定的差異，這就是測(cè)量誤差，測(cè)量誤差的大小反映我們的測(cè)量偏離客觀真實(shí)數(shù)值的大小，反映測(cè)量結(jié)果的可信程度。從某種意義上說(shuō)，不給出測(cè)量誤差的測(cè)量結(jié)果是沒(méi)有意義的，是無(wú)法使用的，例如我們測(cè)量出某種合金的密度是（3.2，即說(shuō)明這種合金的密度不會(huì)小于，不會(huì)大于。如果用這種合金制造飛機(jī)，就可以估計(jì)出飛機(jī)的最大和最小質(zhì)量。相反，如果測(cè)出的密度沒(méi)有誤差范圍，是沒(méi)有實(shí)際使用意義的。測(cè)量誤差是反映測(cè)量結(jié)果好壞的物理量，它與實(shí)驗(yàn)的各個(gè)方面都有密切的關(guān)系，例如，我們要根據(jù)測(cè)量誤差的限度制定實(shí)驗(yàn)方案，即確定實(shí)驗(yàn)原理和步驟，并選用器材，在實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中，要千方百計(jì)減小誤差，最后，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，確定實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，由此可見(jiàn)，考慮實(shí)驗(yàn)誤差是貫穿于實(shí)驗(yàn)全過(guò)程的事。2、實(shí)驗(yàn)誤差的分類(lèi)（1）絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差誤差按其表達(dá)形式可分為絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。1）絕對(duì)誤差：測(cè)量值與真值之差的絕對(duì)值叫絕對(duì)誤差，定義為：絕對(duì)誤差（）=絕對(duì)誤差反映了測(cè)量值偏離真值的大小。2）相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差無(wú)法表示測(cè)量質(zhì)量的高低，例如在測(cè)量上海到北京的距離時(shí)，如果絕對(duì)誤差是1米，測(cè)量質(zhì)量已很高；但是如果測(cè)量百米跑道時(shí)產(chǎn)生1米的誤差，則測(cè)量質(zhì)量就不好了，為了說(shuō)明測(cè)量質(zhì)量的高低，我們還要引入相對(duì)誤差的概念，其定義為：相對(duì)誤差（E）=絕對(duì)誤差（）真值（A）相對(duì)誤差常用百分?jǐn)?shù)的形式來(lái)表示：（2）系統(tǒng)誤差和偶然誤差誤差按其性質(zhì)及其產(chǎn)生的原因，又可以分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。1）系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差的特征是帶有確定的方向性，在相同的條件下，對(duì)同一量進(jìn)行多次測(cè)量，誤差的正負(fù)保持不變，如果測(cè)量值偏大，則總是偏大；如果測(cè)量值偏小，則總是偏小，系統(tǒng)誤差的來(lái)源主要有以下幾個(gè)方面：原理誤差：由于測(cè)量所依據(jù)的理論公式的近似性（不完善性）而造成的誤差，例如，單擺的周期公式，它成立的條件是擺角趨近于零，否則就是一個(gè)近似公式；又如用伏安法測(cè)電阻時(shí)，因忽略了電流表的分壓作用或電壓表的分流作用，測(cè)得的結(jié)果只能是近似值。儀器誤差：由于測(cè)量?jī)x器本身的缺陷而造成的誤差，例如尺子過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短、秒表零點(diǎn)不準(zhǔn)、天平不等臂、砝碼不夠標(biāo)準(zhǔn)等等。環(huán)境誤差：由于測(cè)量時(shí)周?chē)沫h(huán)境（溫度、壓力、濕度等）不理想而造成的誤差。例如在20℃時(shí)定標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)電阻在30℃的環(huán)境中使用等。很明顯，由于系統(tǒng)誤差有固定的偏向性，所以用多次測(cè)量求平均值不能減小系統(tǒng)誤差，但如果我們找到了某個(gè)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，就可以采取一定的方法去減小它的影響，或者對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。2）偶然誤差：偶然誤差的特征是帶有隨機(jī)性（因此偶然誤差也叫隨機(jī)誤差）。在測(cè)量中，如果已經(jīng)基本消除了引起系統(tǒng)誤差的一切因素，而測(cè)量結(jié)果仍然無(wú)規(guī)則地彌散在一定的范圍內(nèi)，這種誤差叫偶然誤差。偶然誤差的可能來(lái)源是：測(cè)量者自身感官（如聽(tīng)覺(jué)、視覺(jué)、觸覺(jué)）的分辨能力不盡相同，外界環(huán)境的干擾等等。偶然誤差是無(wú)法控制的，但它的出現(xiàn)卻服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。常見(jiàn)的一種規(guī)律是：大于真值和小于真值的測(cè)量值了現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；而且誤差較小的測(cè)量值比誤差較大的測(cè)量值出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多；偏離真值很大的測(cè)量值出現(xiàn)的機(jī)會(huì)趨于零。因此，用增加測(cè)量次數(shù)求平均值的方法，可以減小偶然誤差。關(guān)于因儀器損壞，設(shè)計(jì)錯(cuò)誤，操作不當(dāng)而造成的測(cè)量錯(cuò)誤，則不是測(cè)量誤差。（二）偶然誤差1、直接測(cè)量中偶然誤差的估算所謂直接測(cè)量，就是直接用測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量得到結(jié)果。（1）單次測(cè)量的誤差估算在物理實(shí)驗(yàn)中，有時(shí)由于對(duì)測(cè)量的精度要求不高，或由于測(cè)量對(duì)象的不可重復(fù)性，對(duì)一個(gè)物理量的直接測(cè)量只進(jìn)行一次，這種測(cè)量方法叫做單次測(cè)量。單次測(cè)量結(jié)果的誤差因測(cè)量工具的不同常有以下幾種確定方法：1）取測(cè)量?jī)x器最小刻度的1/5或1/2作為測(cè)量誤差，例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm作為測(cè)量誤差,一般溫度計(jì)取0.2℃或0.5℃作為測(cè)量誤差等等.2)天平取其感量作為測(cè)量誤差,例如物理天平可取0.02g,托盤(pán)天平可取0.1g作為測(cè)量誤差.3)機(jī)械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操縱表的人難免按之過(guò)早或過(guò)遲,因此可取0.1s或0.2s作為測(cè)量誤差.手動(dòng)的電子秒表盡管可以顯示0.01s,但由于同樣的原因也只能取0.1s或0.2s作為測(cè)量誤差,0.01s位上的數(shù)字是沒(méi)有實(shí)際意義的.4)電表(電壓表、電流表)的測(cè)量誤差有特定的確定方法：每個(gè)電表都有一個(gè)準(zhǔn)確度級(jí)別（0.2級(jí)、0.5級(jí)、1級(jí)、2.5級(jí)、4級(jí)），電表的測(cè)量誤差不會(huì)大于其量程和它的級(jí)別的百分階段之一的乘積.例如有一個(gè)0.5級(jí)的電流表,量程為3A,那么其測(cè)量誤差5)電阻箱同樣也用級(jí)別表示誤差的大小，但電阻箱級(jí)別和電表的級(jí)別略有不同。n級(jí)電阻箱的測(cè)量誤差為其當(dāng)時(shí)阻值與n%的乘積。（2）多次測(cè)量結(jié)果和誤差估算測(cè)量某一個(gè)物理量時(shí)，為了減小偶然誤差，在可能的情況下，應(yīng)多次重復(fù)測(cè)量。如果在相同的條件下對(duì)某一物理量進(jìn)行了n次測(cè)量，各次測(cè)量分別為，那么其平均值）根據(jù)誤差統(tǒng)計(jì)誤差，可證明在一組測(cè)量n次的數(shù)據(jù)中，其算術(shù)平均值最接近于真值，此算術(shù)平均值稱(chēng)為測(cè)量的最佳值。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n無(wú)限增加時(shí)，最佳值將無(wú)限接近于真值。一般就將最佳值為多次測(cè)量的結(jié)果。嚴(yán)格地說(shuō)，誤差是測(cè)量值和真值的差，但由于真值不可能得到，而且當(dāng)測(cè)量次數(shù)多時(shí)，最佳值很接近于真值，因此可以用最佳值代替真值來(lái)估算誤差。仍以上例來(lái)說(shuō)明誤差的估算方法?！?）測(cè)量結(jié)果的表示測(cè)量結(jié)果應(yīng)該包括數(shù)值、誤差和單位三個(gè)部分。通常將測(cè)量的結(jié)果寫(xiě)成單位。其中是測(cè)量值，可以是一次測(cè)量值，也可以是多次測(cè)量的最佳值，是絕對(duì)誤差。為了更清楚地表示測(cè)量質(zhì)量的好壞，還應(yīng)同時(shí)寫(xiě)出其相對(duì)誤差.這里要說(shuō)明兩點(diǎn)：①在誤差運(yùn)算的過(guò)程中，一般只取一到二位有效數(shù)字，最后表示絕對(duì)誤差的值一般只取一位而且應(yīng)該和測(cè)量最佳值的最末一位對(duì)齊，為了確保誤差范圍的有效性，一般是只入不舍。②測(cè)量結(jié)果為并不表示x為兩個(gè)值，而是表示x一般在這個(gè)范圍之內(nèi)。2、間接測(cè)量中偶然誤差的估算所謂間接測(cè)量，就是應(yīng)用直接測(cè)量得到的值，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到自己所需要的結(jié)果。例如測(cè)一塊圓柱體金屬的密度，可以先通過(guò)直接測(cè)量得到它的直徑D、高h(yuǎn)和質(zhì)量m，然后用公式計(jì)算出密度。因?yàn)橛?jì)算中所用的直接測(cè)量值都是有誤差的，所以算出來(lái)的間接測(cè)量值當(dāng)然也是有誤差的。下面就討論在不同類(lèi)型的計(jì)算中，怎樣由直接測(cè)量的誤差得到間接測(cè)量的誤差。設(shè)x為間接測(cè)量的量，而A、B、C…為直接測(cè)量的量，它們之間滿(mǎn)足一定的關(guān)系，即x=f(A,B,C…).如果各直接測(cè)得量表示為將這些量代入f(A,B,C…)中，便可以求得其中為間接測(cè)得量的最佳值，是間接測(cè)得量的絕對(duì)誤差。（1）加法運(yùn)算中的誤差若x=A+B+C+…則其中最佳值絕對(duì)誤差由于A、B、C都是互相獨(dú)立的，它們的絕對(duì)誤差可能為正，也可能為負(fù)。在最不利的情況下，可能出現(xiàn)的最大誤差是。我們規(guī)定此可能的最大誤差為x的誤差。（2）減法運(yùn)算中的誤差若x=A-B-C-…則其中最佳值絕對(duì)誤差按前面所講，在最不利情況下，取由此可見(jiàn)，加減運(yùn)算結(jié)果的絕對(duì)誤差等于各直接測(cè)得量的絕對(duì)誤差之和。（3）乘法運(yùn)算中的誤差若則其中最佳值絕對(duì)誤差由于(即比或更小的小量),可以忽略不計(jì),所以,.在最不利的情況下,取,于是相對(duì)誤差為(4)除法運(yùn)算中的誤差若則)其中最佳值絕對(duì)誤差,在最不利的情況下,取.相對(duì)誤差為=由此可見(jiàn),乘除運(yùn)算結(jié)果的相對(duì)誤差等于各直接測(cè)得量的相對(duì)誤差之和.這個(gè)討論雖然是從兩個(gè)因子乘除的運(yùn)算中推導(dǎo)出來(lái)的,但可以推廣到任意多個(gè)因子乘除的運(yùn)算中去,如果加、減、乘、除運(yùn)算中有的因子是公認(rèn)的理論值或測(cè)量值，那么可以不考慮它的誤差。（5）乘方和開(kāi)方運(yùn)算中的誤差若。如果n是整數(shù)就是乘方運(yùn)算，如果n是分?jǐn)?shù)就是開(kāi)方運(yùn)算。（6）三角函數(shù)運(yùn)算的誤差若若若若若若上列式中分別表示x和A的絕對(duì)誤差。限于數(shù)學(xué)工具，以上公式我們不作推導(dǎo)。掌握了間接測(cè)量的誤差傳遞公式，不但可以在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后估算出實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能的誤差，還可以在實(shí)驗(yàn)前幫助我們確定實(shí)驗(yàn)方案和改進(jìn)實(shí)驗(yàn)操作。請(qǐng)看下面一例：試用單擺測(cè)量某地的重力加速度，可提供的工具除了單擺之外還有米尺、秒表等，要求測(cè)得的g的相對(duì)誤差小于1%。根據(jù)單擺的周期公式根據(jù)誤差傳遞公式可知因?yàn)橐?，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆峙?，可確定操作目標(biāo)為：，擺長(zhǎng)是用米尺測(cè)量的，一般取，因考慮到擺線可能有一定的伸縮性，取較妥（已留有相當(dāng)?shù)挠嗟兀Ｒ虼藬[長(zhǎng)周期是用秒表測(cè)量的，以開(kāi)、停表都有0.2秒的誤差計(jì),,因此總計(jì)時(shí)圖5-1圖5-1這樣我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中用擺長(zhǎng)為1m左右的單擺,用秒表測(cè)出它擺動(dòng)100次左右的時(shí)間,即可達(dá)到題設(shè)的要求.如圖11-1所示的比重瓶是一種有準(zhǔn)確的固定體積的容器(瓶中裝滿(mǎn)液體,然后將塞子蓋上,多余的液體會(huì)從塞子中央的細(xì)管中溢出,這樣便保持了瓶中液體一定的體積),要求用此瓶測(cè)定一種小金屬粒的密度,可提供的儀器還有天平、砝碼和蒸餾水。這個(gè)實(shí)驗(yàn)的原理不復(fù)雜，先測(cè)了金屬粒的質(zhì)量，再測(cè)出裝滿(mǎn)水的比重瓶的質(zhì)量最后將金屬粒放進(jìn)裝滿(mǎn)水的比重瓶中，測(cè)出帶金屬粒和水的比重瓶的質(zhì)量。這樣，被金屬粒排出的水的質(zhì)量便是，這部分水的體積是，這也就是金屬粒的體積，于是金屬粒的密度便是實(shí)驗(yàn)操作中一個(gè)有待決定的問(wèn)題是：金屬粒是多放一些好還是少放一些好？因?yàn)榈南鄬?duì)誤差其中有公認(rèn)值，故可以忽略。對(duì)同一架天平來(lái)說(shuō),是確定的,不難看出,當(dāng)金屬粒放得比較多時(shí),上面兩式的分母都比較大,相對(duì)誤差就比較小.因此盡量多放些金屬粒,能減小實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差.(三)有效數(shù)字及其運(yùn)算1、有效數(shù)字如上所述，用實(shí)驗(yàn)儀器直接測(cè)量的數(shù)值都含有一定的誤差，因此測(cè)得的數(shù)據(jù)都只能是近似數(shù)，由這些近似數(shù)通過(guò)計(jì)算而求得的間接測(cè)量值也是近似數(shù)。為了使間接測(cè)量結(jié)果合理些，對(duì)近似數(shù)的表示和計(jì)算都有一些規(guī)則，以便確切地表示測(cè)量和運(yùn)算結(jié)果的近似性。從儀器上讀出來(lái)的數(shù)值，經(jīng)常有一位數(shù)是估計(jì)出來(lái)的，或多或少存在著誤差。例如米尺的最小刻度是mm(0.001m)，那么用米尺測(cè)量長(zhǎng)度可讀到十分之一毫米(0.0001m).0.001m這一位可以從米尺上讀出來(lái)，是可靠的，0.001m位前面的數(shù)都是可靠數(shù)，0.0001m這一位是測(cè)量者估讀出來(lái)的，估讀的數(shù)字因人而異，因此是有疑問(wèn)的，稱(chēng)為存疑數(shù)。由于0.0001m位已存疑，在它以后各位數(shù)的估讀已無(wú)必要。我們把可靠數(shù)加上最后一位存疑數(shù)，一起記錄下來(lái)，統(tǒng)稱(chēng)為有效數(shù)字。在應(yīng)用有效數(shù)字進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）自然數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9如出現(xiàn)在測(cè)量中，均為有效數(shù)字。“0”出現(xiàn)在其它數(shù)字之后或之間為有效數(shù)字，如出現(xiàn)在其它數(shù)字之前就不是有效數(shù)字了，它們只起定位作用。例如0.08020，前面兩個(gè)零不是有效數(shù)字，后面四個(gè)數(shù)都是有效數(shù)字，因此它有四位有效數(shù)字。（2）讀數(shù)時(shí)，必須按照儀器要求讀出測(cè)量值，即使末位是“0”，也不能任意舍去。在數(shù)學(xué)中我們認(rèn)為2.10cm、2.100cm、2.1000cm是相同的，而在物理中卻表示了用三種不同的測(cè)量工具所測(cè)量的結(jié)果，其估讀的可疑數(shù)分別在0.01cm、0.001cm、0.0001cm這些位上，所以我們決不能在測(cè)量結(jié)果后面任意加上或丟掉“0”。（3）有效數(shù)字是由測(cè)量對(duì)象和測(cè)量?jī)x器所決定的，單位的換算不能改變有效數(shù)字的位數(shù)，因而必須注意單位換算時(shí)的正確表示法。例如將3.70m化成毫米單位，不能寫(xiě)成3700mm而應(yīng)該用指數(shù)表示法寫(xiě)成,仍表示三位有效數(shù)字；將280mm換成以米作單位，不能寫(xiě)成2.8m,而要寫(xiě)成2.80m。2、有效數(shù)字的運(yùn)算法則在有效數(shù)字運(yùn)算過(guò)程中，為了做到不因運(yùn)算而引進(jìn)“誤差”或損失有效位數(shù)，以不影響測(cè)量結(jié)果的精確度為原則，人們對(duì)有效數(shù)字的近似運(yùn)算法則作了統(tǒng)一規(guī)定。（1）有效數(shù)字的加減我們通過(guò)下面兩個(gè)例子的運(yùn)算，了解一下加、減運(yùn)算中有效數(shù)字的取法。

計(jì)算時(shí)，我們?cè)诖嬉蓴?shù)下面加橫線，以使之與可靠數(shù)字相區(qū)別，在相加結(jié)果35.37中，由于第三位數(shù)“3”已為存疑數(shù)字，后面的一位便毫無(wú)意義，按四舍五入的原是處理，本例應(yīng)向前進(jìn)位，與成35.4，有效數(shù)字為3位。同理，相減的結(jié)果應(yīng)該為22.72，舍去了尾數(shù)“4”，有效數(shù)字為4位。在上面的例子中，如果我們按照位數(shù)對(duì)齊相加或相減諸數(shù)，并以其中存疑位數(shù)最靠前的量為基準(zhǔn)，事先進(jìn)行四舍五入，取齊諸量的尾數(shù)，則可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，而結(jié)果仍然相同。仍用上面兩個(gè)算式為例，具體算法如下：

這個(gè)結(jié)論可以推廣到多個(gè)量相加或相減的運(yùn)算中去。（2）有效數(shù)字的乘除我們通過(guò)下面兩個(gè)例子的運(yùn)算，了解一下乘、除運(yùn)算中有效數(shù)字的取法

計(jì)算過(guò)程中，凡是有存疑數(shù)字參于運(yùn)算而得到的量都是不可靠的。在運(yùn)算結(jié)果中，存疑數(shù)字只保留一位，其后面的存疑數(shù)字是沒(méi)有意義的。因此上面兩個(gè)例子的結(jié)果分別為110和173，有效數(shù)字都是三位。從以上兩個(gè)例子中可以看到，兩個(gè)量相乘（或除）的積（或商）其有效數(shù)字與諸因子中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。這個(gè)結(jié)論可以推廣到我個(gè)量相乘除的運(yùn)算中去。（3）有效數(shù)字的乘方、開(kāi)方按照確定乘法運(yùn)算結(jié)果有效位數(shù)的方法，可知乘方運(yùn)算的結(jié)果，x的有效位數(shù)應(yīng)與其底數(shù)A的有效位數(shù)相同。當(dāng)n是分?jǐn)?shù)時(shí)，就是開(kāi)方運(yùn)算，也可看作是乘方的逆運(yùn)算，根的有效位數(shù)與被開(kāi)方數(shù)的有效位數(shù)相同。以上這些結(jié)論，在一般情況下是成立的，但也有例外/只要我們掌握了有效數(shù)字的意義和存疑數(shù)了取舍的原則，是不難處理的。還應(yīng)該指出，有效數(shù)字講的是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄和運(yùn)算的規(guī)則，它不能代替絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的計(jì)算。在實(shí)驗(yàn)中，如果兩者發(fā)生矛盾，以誤差計(jì)算法則為準(zhǔn)。如果因?yàn)楦黜?xiàng)誤差的積累，使間接測(cè)量的絕對(duì)誤差較大，這樣就便得根據(jù)有效數(shù)字運(yùn)算法則算出來(lái)的本來(lái)應(yīng)該可靠的位數(shù)也產(chǎn)生了誤差，那么就將這一位數(shù)作為存疑數(shù)，后面多余的存疑數(shù)全部舍去。（四）系統(tǒng)誤差圖5-2圖5-21、由實(shí)驗(yàn)原理的不完善帶來(lái)的系統(tǒng)誤差以伏安法電阻為例，不論是圖11-2（a）所示的電流表外接，還是圖11-2（b）所示的電流表內(nèi)接，都舊有系統(tǒng)誤差的，對(duì)此系統(tǒng)誤差，有兩種辦法處理，一種是對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正，另一種是地實(shí)驗(yàn)線路進(jìn)行補(bǔ)償。圖5-4以圖5-2（a）線路為例，如果事先已知電壓表的內(nèi)阻，即可對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正，如果電壓表和電流表的讀數(shù)分別為U和I圖5-4如果電壓表的內(nèi)阻未知，則可改進(jìn)實(shí)驗(yàn)線路，進(jìn)行電流補(bǔ)償（圖5-3（a））或電壓補(bǔ)償（圖5-3（b））。仔細(xì)地調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器R，使電流表的讀數(shù)為零。此時(shí)因?yàn)閍、b兩點(diǎn)等勢(shì)，所以電壓表的讀數(shù)就是的電流，這樣就消除了由于電流表分壓及電壓表分流而帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。注意，圖5-3只是電流補(bǔ)償和電壓補(bǔ)償?shù)脑韴D，在實(shí)際操作中，還須有一些附加部件。例如在電流計(jì)上必須串一個(gè)滑動(dòng)變阻器以保護(hù)電流計(jì)，電路未調(diào)平衡時(shí)將滑動(dòng)變阻器置于阻值最大處，隨著逐漸調(diào)平衡慢慢減小滑動(dòng)變阻器的阻值直至零。2、由于測(cè)量?jī)x表不準(zhǔn)確帶來(lái)的系統(tǒng)誤差圖5-3所示的補(bǔ)償電路解決了由于實(shí)驗(yàn)原理不完善帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。但電壓表和電流表的準(zhǔn)確度是很有限的（一般中學(xué)里用的電表都是2.5級(jí)的，即使大學(xué)專(zhuān)業(yè)實(shí)驗(yàn)室中的電表也只有0.5級(jí)），這會(huì)給測(cè)量結(jié)果帶來(lái)較大的誤差。為了用準(zhǔn)確程度要高得多的電阻代替電表來(lái)測(cè)量，我們可以這樣來(lái)分析一下圖5-3（a）的電路，將R分畫(huà)成兩個(gè)電阻（圖5-4）。我們假定有四個(gè)電阻‖，，根據(jù)歐姆定律這樣，如果三個(gè)電阻都已知，也就測(cè)得了。將圖5-4改畫(huà)成圖5-5，都用電阻箱。這就是我們熟知的惠斯通電橋。電阻箱的準(zhǔn)確度要比電表高得多，中學(xué)里用的多數(shù)為0.2級(jí)，稍好一些的即可達(dá)0.02級(jí)。3、由外界環(huán)境帶來(lái)的系統(tǒng)誤差用量熱器做熱學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)和外界的熱交換是一個(gè)比較難解決的問(wèn)題，此時(shí)我們可以用“異號(hào)抵消”的思想來(lái)減小這一系統(tǒng)誤差。在用混合法測(cè)定冰的熔解熱的實(shí)驗(yàn)中，將量熱器假定成一個(gè)完美的絕熱系統(tǒng)，但這在職實(shí)驗(yàn)中是無(wú)法做到的，我們采用“異號(hào)抵消”法來(lái)盡量減小量熱器和周?chē)h(huán)境之間的熱傳遞給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，環(huán)境溫度可以認(rèn)為是不變的。適當(dāng)選取量熱器內(nèi)水的初溫和水、冰的質(zhì)量，使量熱器在實(shí)驗(yàn)的前一部分時(shí)間內(nèi)向周?chē)h(huán)境放熱，在實(shí)驗(yàn)的后一部分時(shí)間內(nèi)從周t1tθt1tθt2T1TθT2圖5-6S1S2怎樣才能使量熱器的放、吸熱基本相同呢？我們以時(shí)間t為橫軸，以量熱器溫度T為縱軸，可得如圖11-6所示的圖線。AB是冰塊投入前的自散熱線，BCD是冰的熔解線，DE是自然吸熱線，從這段時(shí)間內(nèi)，量熱器的溫度高于室溫，量熱器向周?chē)h(huán)境放出來(lái)的熱量可用BFC這個(gè)曲邊三角形的面積來(lái)表示（暫不作證明）。從這段時(shí)間內(nèi)，量熱器的溫度低于室溫，量熱器從周?chē)h(huán)境吸收的熱量可用曲邊三角形CGD的面積來(lái)表示，適當(dāng)?shù)乜刂扑某鯗睾退?、冰的質(zhì)量，使相差不多，即可認(rèn)為量熱器與外界基本沒(méi)有熱交換。（五）圖線法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)1、圖線法的作用和優(yōu)點(diǎn)物理實(shí)驗(yàn)中的圖線法，是用作圖來(lái)得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果，它是一種應(yīng)用得很廣泛的處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法。特別是在有些科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律和結(jié)果還沒(méi)有完全掌握或還沒(méi)有找到明確的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，采用作出的圖線來(lái)表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，能形象、直觀地顯示出物理量變化的規(guī)律。圖線法有取平均的效果。一般的圖線是根據(jù)許多組數(shù)據(jù)擬全出來(lái)的平滑曲線或直線，這樣的圖線就有多次測(cè)量取平均的作用。圖線法還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)某些錯(cuò)誤。如果在描圖過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某個(gè)點(diǎn)偏離得特別遠(yuǎn)，則提示測(cè)量或數(shù)據(jù)計(jì)算中可能有錯(cuò)誤，應(yīng)重新測(cè)量或進(jìn)行校對(duì)。2、作圖線的規(guī)則（1）作圖線必須用坐標(biāo)紙，我們一般采用毫米方格紙坐標(biāo)紙的大小根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效位數(shù)來(lái)確定，一般的原則是：測(cè)量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖線中也應(yīng)該是可靠的，測(cè)量數(shù)據(jù)中的存疑數(shù)字在圖線中應(yīng)該是估畫(huà)的，即坐標(biāo)中的最小格對(duì)應(yīng)于測(cè)量值的有效數(shù)字中可靠數(shù)字的最后一位。（2）坐標(biāo)軸的坐標(biāo)與比例通常以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量。在坐標(biāo)軸的末端近旁標(biāo)明所代表的物理量及單位。作圖線時(shí)，根據(jù)需要橫軸和縱軸的標(biāo)度可以不同，兩軸的交點(diǎn)也不一定要從零開(kāi)始。要力求整個(gè)圖線比較對(duì)稱(chēng)地占據(jù)整個(gè)圖紙，不要偏在一角或一邊。（3）圖線的標(biāo)點(diǎn)與連線根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，用削尖的鉛筆在坐標(biāo)圖紙上對(duì)應(yīng)地以“⊙”標(biāo)出各數(shù)據(jù)的點(diǎn)。同一坐標(biāo)紙上如有不同的圖線，應(yīng)當(dāng)用不同的符號(hào)，如“+”，“△”等來(lái)標(biāo)點(diǎn)。當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)標(biāo)好后，用直尺或曲線板等作圖工具，把它們連成直線或光滑曲線。除特殊情況（如校準(zhǔn)曲線）外，絕不允許連成折線，也不允許連成“蛇線”。圖線不一定通過(guò)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但要求數(shù)據(jù)點(diǎn)在圖線兩旁有較均勻的分布。（4）在坐標(biāo)紙上應(yīng)標(biāo)明圖的名稱(chēng)，一般要求在圖紙上部附近的空曠位置寫(xiě)出簡(jiǎn)要完整的圖名，文字要用仿宋體。3、用圖解法求直線的斜率和截距如果圖線為直線，其函數(shù)式為y=kx+b，那么可以從圖線上解出其斜率k和截距b。具體求法是在直線上任意取兩點(diǎn)兩點(diǎn)不能靠得太近，一般取在靠近直線兩端的地方。在直線上確定這兩點(diǎn)的坐標(biāo)之后，即可列出方程組解方程組，得直線斜率 如果x坐標(biāo)的起點(diǎn)為零，則可直接從圖線上讀取直線與y軸的交點(diǎn)的y的坐標(biāo)，就是直線的截距b。如果x坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不為零，則要在圖線上再取一點(diǎn)有要注意的是都要由圖線上取得，不可用原來(lái)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。為了減少誤差，這三個(gè)點(diǎn)的確良x坐標(biāo)可取整數(shù)，讀坐標(biāo)值時(shí)，只要讀取它們的y坐標(biāo)即可。4、曲線化直在實(shí)驗(yàn)中，會(huì)遇到各種各樣的函數(shù)形式，其中一次函數(shù)的圖線最容易精確繪制，并且可以根據(jù)圖線求出所需要的數(shù)據(jù)（一般是求出圖線的斜率k和截距b，然后再根據(jù)k和b求出所需實(shí)驗(yàn)結(jié)果）。所以，我們常通過(guò)一些變換，將曲線函數(shù)化成直線函數(shù)，這一工作可稱(chēng)為“化直”。物理實(shí)驗(yàn)中常遇到下列函數(shù)圖線類(lèi)型函數(shù)式例子物理公式直線勻變速運(yùn)動(dòng)拋物線單擺雙曲線玻意耳定律平方反比庫(kù)侖定律指數(shù)曲線阻尼振動(dòng)下面具體說(shuō)明怎樣將上述函數(shù)“化直”：（1）拋物線，設(shè)y=Y,（2）雙曲線，設(shè)y=Y,（3）平方反比，設(shè)y=Y,（4）指數(shù)曲線，設(shè)作了上列變換后，再作~X圖線，便可得到直線。5、圖線法求實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖線法求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一般步驟是：（1）改變實(shí)驗(yàn)條件多次重復(fù)測(cè)量，得到一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；（2）進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，得到直線形函數(shù)（3）擬合出圖線（直線）；（4）求出圖線的斜率k和截距b；（5）從k和b中間求出所需要的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。6、圖線法探索物理規(guī)律在已知物理規(guī)律（如上例中已知）時(shí)，可以用圖線法來(lái)求實(shí)驗(yàn)結(jié)果；如果物理規(guī)律尚不清楚，也可以用圖線法來(lái)探索物理規(guī)律。先看一個(gè)物理學(xué)史上的事例：歐姆當(dāng)年研究電壓、電流和電阻三者之間的關(guān)系時(shí)，非但沒(méi)有測(cè)量電壓、電流、電阻的電表，連電壓、電流、電阻的概念都沒(méi)有。他以導(dǎo)線的長(zhǎng)度L代表電阻，以放在通電導(dǎo)線旁邊的小磁針的偏轉(zhuǎn)角度代表電流強(qiáng)度，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：L（英寸）24610183466134（度）30528125922417812579440.3280.3560.3860.4460.5610.8001.272.27

我們可以通過(guò)以下步驟來(lái)探索當(dāng)電壓一定時(shí)，電流（）和電阻（L）的關(guān)系。20406080100120140（英寸）20406080100120140（英寸）1/θ度3

2

1圖5-920406080100120140（英寸）θ度300

200

100圖5-8（1）以縱軸代表，橫軸代表L，作出~L圖線（圖11-8）（2）根據(jù)圖11-8初步判斷與L成反比關(guān)系，因此再算出一系列值，并試作圖線（圖11-9），得到一條不過(guò)原點(diǎn)的直線。這說(shuō)明與L不成反比關(guān)系，但和L卻成線性關(guān)系。（3）設(shè),其中k為圖線的斜率，b為圖線在縱軸上的截距，上式可化成（4）在圖線上取兩點(diǎn)：求出圖線的斜率從圖11-9中可直接看出圖線的截距，所以這個(gè)式子和我們今天常用的全電路歐姆定律已完全一樣了，式中6600代表電動(dòng)勢(shì)，20代表內(nèi)阻。7、圖線法的局限性由于圖線一般都是靠目視而擬合出來(lái)的（這種方法叫直覺(jué)擬合），因此在擬合過(guò)程中人的因素難免要起作用。同一組數(shù)據(jù)，兩個(gè)人通過(guò)直覺(jué)擬合得到的結(jié)果一般不可又紅又專(zhuān)完全一樣，這就說(shuō)明圖線法處理數(shù)據(jù)的過(guò)程又會(huì)給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來(lái)一些新的“誤差”。因此，直覺(jué)擬合作圖法是一種比較粗略的數(shù)據(jù)處理方法，一般不討論結(jié)果的誤差。（六）線性回歸法直覺(jué)擬合法最大的缺陷就是無(wú)法克服連線時(shí)的主觀隨意性，也就是說(shuō)，直接擬合很難找到一條離各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)最近的圖線。那么是否可以通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法找到這條最佳的圖線呢？這就是下面要討論的問(wèn)題。1、線性回歸法（最小二乘法）假定變量x和y的關(guān)系是線性的y=kx+b其圖線是一條直線。在實(shí)驗(yàn)中測(cè)得n組數(shù)據(jù)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定上面線性方程中的k和b。為了理論上計(jì)算的需要，假定中只有是有誤差的。在實(shí)際處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)據(jù)時(shí)，可以把兩個(gè)變量中相對(duì)業(yè)說(shuō)誤差較小的變量作為x。我們對(duì)回歸直線提了的標(biāo)準(zhǔn)是：要求從各數(shù)據(jù)點(diǎn)到回歸直線的豎直距離平方之和為最小，也就是說(shuō)，要求出k和b等于什么值時(shí)，各數(shù)據(jù)點(diǎn)到回歸直線的豎直距離平方之和取得極小值。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的限制，這里不介紹具體推導(dǎo)，只給出結(jié)論供使用：令那么斜率截距式中符號(hào)表示求和，如果共有n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么這個(gè)計(jì)算過(guò)程看起來(lái)比較復(fù)雜，但在職電腦使用日益普及的今天，用電腦來(lái)完成這樣的工作很方便。一些功能比較齊全的計(jì)算器具有二維統(tǒng)計(jì)功能，也能自動(dòng)完成這些計(jì)算。在統(tǒng)計(jì)理論中還給出一個(gè)叫做相關(guān)系數(shù)的量，它主要表征x、y兩個(gè)變量相關(guān)的程度。從圖線上看，如果x、y的相關(guān)程度高，那么數(shù)據(jù)點(diǎn)都比較靠近擬合出來(lái)的圖線；如果相關(guān)程度低，那么數(shù)據(jù)點(diǎn)就比較分散。相關(guān)系數(shù)當(dāng)x與y完全不相關(guān)時(shí)，r=0；當(dāng)x與y正相關(guān)，即回歸直線的斜率為正時(shí)，r>0;當(dāng)x與y負(fù)相關(guān)，即回歸直線的斜率為負(fù)時(shí)，r<0；當(dāng)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在回歸直線上時(shí)，。所以，r的數(shù)值只能在（-1）和（+1）之間。圖11-10說(shuō)明了數(shù)據(jù)點(diǎn)分布情況不同時(shí)的相關(guān)系數(shù)。（2）線性回歸法的誤差由于線性回歸法是建立在嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)上的，因此可以計(jì)算回歸直線方程的系數(shù)k和b的誤差，同樣由于數(shù)學(xué)方面的原因，這里只給出計(jì)算結(jié)果：k的相對(duì)誤差：k的絕對(duì)誤差：b的絕對(duì)誤差：b的相對(duì)誤差：有了k和b的誤差，便可以確定k和b的有效位數(shù)了：使k和b只保留一位存疑數(shù)，即讓誤差的位數(shù)和k、b的最末一位數(shù)相同。3、線性關(guān)系顯著的標(biāo)準(zhǔn)由對(duì)相關(guān)系數(shù)r的討論可知，對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，只有當(dāng)相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大到一定程度時(shí)，才可以用回歸直線來(lái)近似地表示變量x和y之間的關(guān)系，即可以認(rèn)為x與y成線性關(guān)系。因此，要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之上，就可以認(rèn)為x與y線性關(guān)系顯著。線性關(guān)系顯著的標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，下面我們給出兩個(gè)變量達(dá)到線性關(guān)系顯著標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)系數(shù)的最小值（此值還與顯著性水平有關(guān)，這里列出的是顯著性水平a=0.01時(shí)的相關(guān)系數(shù)的最小值）。下表中n為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，r為相關(guān)系數(shù)的最小值。n34567891011r1.0000.9900.9590.9170.8740.8340.7980.7650.735n121314151617181920r0.7080.6840.6610.6410.6230.6060.5900.5750.561下面用一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明線性回歸法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的具體做法。在研究導(dǎo)體上的電流I和導(dǎo)體兩端的電壓U的關(guān)系時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：U（伏）0.400.600.800.951.101.301.602.00I（毫安）2.784.105.146.107.458.8610.8213.10(1)對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸處理 （2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)及誤差（3）根據(jù)以上計(jì)算，可以得到下列結(jié)論①電流I和電壓U的相關(guān)系數(shù)為0.9988,因?yàn)?.9988>0.834,因此是顯著相關(guān)，說(shuō)明I和U成線性關(guān)系。②回歸直線的截距b=0.06953,而，因此可以認(rèn)為回歸直線過(guò)原點(diǎn)，說(shuō)明I和U成正比。③導(dǎo)體的電阻

因此溫度和氣體分子運(yùn)動(dòng)論§1。1溫度1．1．1、平衡態(tài)、狀態(tài)參量溫度是表示物體冷熱程度的物理量。凡是跟溫度有關(guān)的現(xiàn)象均稱(chēng)為熱現(xiàn)象。熱現(xiàn)象是自然界中的一種普遍現(xiàn)象。熱學(xué)是研究熱現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)。熱學(xué)研究的對(duì)象都是由大量分子組成的宏觀物體，稱(chēng)為熱力學(xué)系統(tǒng)或簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)。在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不再隨時(shí)間變化的狀態(tài)稱(chēng)為平衡態(tài)，否則就稱(chēng)為非平衡態(tài)。可見(jiàn)系統(tǒng)平衡態(tài)的改變依賴(lài)于外界影響(作功、傳熱)。系統(tǒng)處于平衡態(tài)，所有宏觀物理都具有確定的值，我們就可以選擇其中幾個(gè)物理量來(lái)描述平衡態(tài)，這幾個(gè)量稱(chēng)為狀態(tài)參量。P、V、T就是氣體的狀態(tài)參量。氣體的體積V是指盛放氣體的容器的容積，國(guó)際單位制中，體積的單位是m。1m=103L=10cm氣體的壓強(qiáng)P是氣體作用在容器的單位面積器壁上的平均壓力，單位是p。1atm=76cmHg=1.01310p1mmHg=133.3p1．1．2、溫標(biāo)溫度的數(shù)值表示法稱(chēng)為溫標(biāo)。建立溫標(biāo)的三要素是：1、選擇某種物質(zhì)的一個(gè)隨溫度改變發(fā)生單調(diào)顯著變化的屬性來(lái)標(biāo)志溫度，制作溫度計(jì)。例如液體溫度計(jì)T(V)、電阻溫度計(jì)T(R)、氣體溫度計(jì)T(P)、T(V)等等。這種選用某種測(cè)溫物質(zhì)的某一測(cè)溫屬性建立的溫標(biāo)稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)。2、規(guī)定固定點(diǎn)，即選定某一易于復(fù)現(xiàn)的特定平衡態(tài)指定其溫度值。1954年以前，規(guī)定冰點(diǎn)為0℃，汽點(diǎn)為100℃，其間等分100份，從而構(gòu)成舊攝氏溫標(biāo)。1954年以后，國(guó)際上選定水的三相點(diǎn)為基本固定點(diǎn)，溫度值規(guī)定為273.16K。這樣0℃與冰點(diǎn)，100℃與汽點(diǎn)不再?lài)?yán)格相等，百分溫標(biāo)的概念已被廢棄。3、規(guī)定測(cè)溫屬性隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系。如果某種溫標(biāo)(例如氣體溫度計(jì))選定為線性關(guān)系，由于不同物質(zhì)的同一屬性或者同一物質(zhì)的不同屬性隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系不會(huì)相同，因而其它的溫標(biāo)就會(huì)出現(xiàn)非線性的函數(shù)關(guān)系。1．1．3、理想氣體溫標(biāo)定容氣體溫度計(jì)是利用其測(cè)溫泡內(nèi)氣體壓強(qiáng)的大小來(lái)標(biāo)志溫度的高低的。T(P)=P是比例系數(shù)，對(duì)水的三相點(diǎn)有T=P=273.16KP是273.16K時(shí)定容測(cè)溫泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)。于是T(P)=273.16K(1)同樣，對(duì)于定壓氣體溫度計(jì)有T(V)=273.16K(2)是273.16K時(shí)定壓測(cè)溫泡內(nèi)氣體的體積。用不同溫度計(jì)測(cè)量同一物體的溫度，除固定點(diǎn)外，其值并不相等。對(duì)于氣體溫度計(jì)也有。但是當(dāng)測(cè)溫泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)趨于零時(shí)，所有氣體溫度計(jì)，無(wú)論用什么氣體，無(wú)論是定容式的還是定壓式的，所測(cè)溫度值的差別消失而趨于一個(gè)共同的極限值，這個(gè)極限值就是理想氣體溫標(biāo)的值，單位為K，定義式為T(mén)=T(V)=T(P)=273.16K=273.16K(3)1．1．4、熱力學(xué)溫標(biāo)理想氣體溫標(biāo)雖與氣體個(gè)性無(wú)關(guān)，但它依賴(lài)于氣體共性即理想氣體的性質(zhì)。利用氣體溫度計(jì)通過(guò)實(shí)驗(yàn)與外推相結(jié)合的方法可以實(shí)現(xiàn)理想氣體溫標(biāo)。但其測(cè)溫范圍有限(1K～1000℃)，T＜1K，氣體早都已液化，理想氣體溫標(biāo)也就失去意義。國(guó)際上規(guī)定熱力學(xué)溫標(biāo)為基本溫標(biāo)，它完全不依賴(lài)于任何測(cè)溫物質(zhì)的性質(zhì)，能在整個(gè)測(cè)溫范圍內(nèi)采用，具有“絕對(duì)”的意義，有時(shí)稱(chēng)它為絕對(duì)溫度。在理想氣體溫標(biāo)適用的范圍內(nèi)，熱力學(xué)溫標(biāo)與理想氣體溫標(biāo)是一致的，因而可以不去區(qū)分它們，統(tǒng)一用T(K)表示。國(guó)際上還規(guī)定攝氏溫標(biāo)由熱力學(xué)溫標(biāo)導(dǎo)出。其關(guān)系式是：t=T-273.15(4)這樣，新攝氏溫標(biāo)也與測(cè)溫物質(zhì)性質(zhì)無(wú)關(guān)，能在整個(gè)測(cè)溫范圍內(nèi)使用。目前已達(dá)到的最低溫度為510K，但是絕對(duì)零度是不可能達(dá)到的。例1、定義溫標(biāo)t與測(cè)溫參量X之間的關(guān)系式為t=ln(kX),k為常數(shù)試求：(1)設(shè)X為定容稀薄氣體的壓強(qiáng)，并假定水的三相點(diǎn)，試確定t與熱力學(xué)溫標(biāo)之間的關(guān)系。(2)在溫標(biāo)t中，冰點(diǎn)和汽點(diǎn)各為多少度；(3)在溫標(biāo)t中，是否存在零度？解：(1)設(shè)在水三相點(diǎn)時(shí)，X之值是，則有273．16=In(kX)將K值代入溫標(biāo)t定義式，有(2)熱力學(xué)溫標(biāo)可采用理想氣體溫標(biāo)定義式，X是定容氣體溫度計(jì)測(cè)溫泡中稀薄氣體壓強(qiáng)。故有(3)因測(cè)溫物質(zhì)是定容稀薄氣體，故滿(mǎn)足X→0的要求，因而(2)式可寫(xiě)成(4)這是溫標(biāo)與溫標(biāo)T之間關(guān)系式。(2)在熱力學(xué)溫標(biāo)中，冰點(diǎn)，汽點(diǎn)。在溫標(biāo)中其值分別為(3)在溫標(biāo)中是否存在零度？令=0，有低于1K任何氣體都早已液化了，這種溫標(biāo)中=0的溫度是沒(méi)有物理意義的?！?-2氣體實(shí)驗(yàn)定律1．2．1、玻意耳定律一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度保持不變時(shí)，它的壓強(qiáng)和體積的乘積是一個(gè)常數(shù)，式中常數(shù)C由氣體的種類(lèi)、質(zhì)量和溫度決定。PV貯氣筒PV貯氣筒b圖1-2-1簡(jiǎn)單抽氣機(jī)的構(gòu)造由圖1-2-1示意，它由一個(gè)活塞和兩個(gè)閥門(mén)組成。當(dāng)活塞向上提升時(shí)，a閥門(mén)打開(kāi)，貯氣筒與抽氣機(jī)相通，氣體膨脹減壓，此時(shí)b閥門(mén)被關(guān)閉。當(dāng)活塞向下壓縮時(shí)，b閥門(mén)打開(kāi)，a閥門(mén)關(guān)閉，抽氣機(jī)內(nèi)的氣體被壓出抽氣機(jī)，完成一次抽氣。貯氣筒被抽氣的過(guò)程，貯氣筒內(nèi)氣體質(zhì)量不斷在減小，氣體壓強(qiáng)也不斷減小。設(shè)第一次抽氣后貯氣筒內(nèi)氣壓，第n次抽氣后貯氣筒內(nèi)氣壓，則有：整理得PV貯氣筒b圖PV貯氣筒b圖1-2-2塞上提時(shí)，a閥門(mén)打開(kāi)，b閥門(mén)關(guān)閉，外界空氣進(jìn)入壓氣機(jī)中，活塞下壓時(shí)，壓氣機(jī)內(nèi)空氣被壓入貯氣筒，而此時(shí)閥門(mén)a是關(guān)閉的，這就完成了一次壓氣過(guò)程。每次壓氣機(jī)壓入貯氣筒的氣體是，故1．2．2、蓋—呂薩克定律一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時(shí)，溫度每升高1℃，其體積的增加量等于0℃時(shí)體積的。若用表示0℃時(shí)氣體的體積，V表示t℃的體積，則。若采用熱力學(xué)溫標(biāo)，則273+t為攝氏溫度t℃。所對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)溫度T，273為0℃所對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)溫度。于是，蓋—呂薩克定律可寫(xiě)成。若溫度為T(mén)時(shí)，體積為；溫度為時(shí)，體積為，則有或。故蓋—呂薩克定律也可表達(dá)為：一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時(shí)，它的體積與熱力學(xué)溫標(biāo)成正比。1．2．3、查理定律一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)體積保持不變時(shí)，它的壓強(qiáng)與熱力學(xué)溫度成正比式中常數(shù)C由氣體的種類(lèi)、質(zhì)量和體積決定。汞柱移動(dòng)問(wèn)題的討論：一根兩端封閉、粗細(xì)均勻的石英管，豎直放置。內(nèi)有一段水銀柱，將管隔成上下兩部分。下方為空氣，上方為一種可分解的雙原子分子氣體。該雙原子分子氣體的性質(zhì)為：當(dāng)＞時(shí)，其分子開(kāi)始分解為單原子分子(仍為氣體)。用表示時(shí)的雙原子分子數(shù)，表示時(shí)分解了的雙原子分子數(shù)，其分解規(guī)律為當(dāng)△T很小時(shí)，有如下關(guān)系：。已知初始溫度為，此時(shí)下方的氣柱長(zhǎng)度為，上方氣柱長(zhǎng)度為，水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)為下方氣壓的倍。試討論當(dāng)溫度由開(kāi)始緩慢上升時(shí)，水銀柱將上升還是下降。假設(shè)水銀柱不動(dòng)。當(dāng)溫度為時(shí)，下方氣體壓強(qiáng)為，溫度升至，氣體壓強(qiáng)。水銀柱壓強(qiáng)為，故當(dāng)T=時(shí)，上方氣體壓強(qiáng)為，當(dāng)溫度升至，有個(gè)雙原子氣體分子分解為個(gè)單原子氣體分子，故氣體分子數(shù)由增至個(gè)。令此時(shí)壓強(qiáng)為，管橫截面積為S，則有：解得，因△T很小，故項(xiàng)起主導(dǎo)作用，而項(xiàng)的影響較之第一項(xiàng)要小得多，故從分析如下：①當(dāng)＞時(shí)，＜0時(shí)，水銀柱上升，②當(dāng)＜時(shí)，＞0水銀柱下降。③當(dāng)=時(shí)，＞0水銀柱下降。以上三個(gè)實(shí)驗(yàn)定律只能反映實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)的客觀事實(shí)，它們都具有一定的近似性和局限性。對(duì)于一般的氣體，只有當(dāng)壓強(qiáng)不太大，溫度不太低時(shí)，用三個(gè)定律求出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)才符合得很好。如果壓強(qiáng)很大或溫度很低時(shí)，用這三個(gè)定律求出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果就會(huì)有很大的偏差。1．2．4、理想氣體它是能夠準(zhǔn)確遵守氣體實(shí)驗(yàn)定律的一個(gè)氣體的理論模型。對(duì)查理得律，設(shè)P和分別表示和時(shí)氣體壓強(qiáng)，則有，對(duì)蓋—呂薩拉定律，設(shè)和分別表示和時(shí)氣體的體積，則有，PoLo圖1-2-3PoLo圖1-2-3n0例1、一個(gè)質(zhì)量m=200.0kg、長(zhǎng)=2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬曠的水池底部(圖1-2-3)桶內(nèi)的橫截面積(桶的容積為)，桶本身(桶壁與桶底)的體積，桶內(nèi)封有高度的空氣，池深，大氣壓強(qiáng)水柱高，水的密度，重力加速度g取。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底能到達(dá)水面處，則繩拉力所需做的功有一最小值，試求從開(kāi)始到繩拉力剛完成此功的過(guò)程中，桶和水(包括池水和桶內(nèi)水)的機(jī)械能改變了多少(結(jié)果要保留三位有效數(shù)字)。不計(jì)水阻力，設(shè)水溫很低，不計(jì)其飽和蒸氣壓的影響，并設(shè)水溫上下均勻且保持不變。解：在上提過(guò)程中，桶內(nèi)空氣壓強(qiáng)減小，體積將增大，從而對(duì)桶和桶內(nèi)空氣(空氣質(zhì)量不計(jì))這一整體的浮力將增大。本題若存在桶所受浮力等于重力的位置，則此位置是桶的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，再稍上提，浮力將大于重力，桶就會(huì)上浮。從這時(shí)起，繩不必再拉桶，桶會(huì)在浮力作用下，上浮到桶底到達(dá)水面并冒出。因此繩對(duì)桶的拉力所需做的最小功的過(guò)程，就是緩慢地將桶由池底提高到浮力等于重力的位置所歷的過(guò)程。HL`圖1-2-4下面先看這一位置是否存在。如果存在的話(huà)，如圖1-2-4HL`圖1-2-4(1)代入已知數(shù)據(jù)可得(2)設(shè)此時(shí)桶的下邊緣距池底的高度H，由?！R定律可知(3)由(2)、(3)式得到H=12.24m(4)因?yàn)镠＜，即整個(gè)桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置?，F(xiàn)在要求將桶由池底緩慢地提高到H處桶及水的機(jī)械能的增量△E?！鱁包括三部分：(1)桶勢(shì)能的增量；(2)在H高時(shí)桶本身排開(kāi)的水可看作下降去填充在池底時(shí)桶本身所占空間而引起水勢(shì)能的增量；(3)在H高度時(shí)桶內(nèi)空氣所排開(kāi)的水，可看作一部分下降去填充在池底時(shí)空氣所占的空間，由于空氣膨脹的那部分上升到水池表面，由此引起水勢(shì)的增量。則；；。

§1-3理想氣體狀態(tài)方程1．3．1、理想氣體狀態(tài)方程反映氣體在平衡態(tài)下?tīng)顟B(tài)參量之間規(guī)律性聯(lián)系的關(guān)系式稱(chēng)為氣態(tài)方程。我們知道，理想氣體狀態(tài)方程可在氣體實(shí)驗(yàn)定律的基礎(chǔ)上得到，一定質(zhì)量的理想氣體的兩平衡參量之間的關(guān)系式為（5）在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，，1mol任何氣體的體積m3mol-1。因此vmol氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的體積為，由(5)式可以得出：由此得到理想氣體狀態(tài)方程或稱(chēng)克拉珀龍方程：式中R稱(chēng)為摩爾氣體恒量，它表示1mol氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀況的的值，其值為推論：1、1mol的任何物質(zhì)含有的粒子數(shù)，這稱(chēng)為阿伏伽德羅常數(shù)。設(shè)質(zhì)量為m、摩爾質(zhì)量為M的氣體，其分子數(shù)為N，則此氣體的摩爾數(shù)為(6)同時(shí)引用玻耳茲曼常數(shù)k的物理意義：1個(gè)分子在標(biāo)況下的。將(6)式代入(5)式，可以得到(7)或者 (8)2、氣體密度：由(5)式可以得到(9)例如空氣的平均摩爾質(zhì)量，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣密度為由(5)式可知，對(duì)于理想氣體，可應(yīng)用氣態(tài)方程的另一形式，為(10)3、氣體的分合關(guān)系：無(wú)論是同種還是異種理想氣體，將質(zhì)量為m，狀態(tài)為PVT的理想氣體被分成若干部分()時(shí)，則有(11)1．3．2、混合理想氣體狀態(tài)方程1、道爾頓分壓定律指出：混合氣體的壓強(qiáng)等于各組分的分壓強(qiáng)之和。這條實(shí)驗(yàn)定律也只適用于理想氣體。即(12)其中每一部分的氣態(tài)方程為(13)混合理想體氣狀態(tài)方程與單一成分的理想氣體狀態(tài)方程形式相同，但M為平均摩爾質(zhì)量。(14)由于混合氣體的摩爾數(shù)應(yīng)是各組分的摩爾數(shù)之和。因此混合氣體的平均摩爾質(zhì)量M有(15)由(1-20)式和(1-19)式可得混合氣體的分壓強(qiáng)：(16)1．3．3、混合氣體的狀態(tài)方程如果有n種理想氣體，分開(kāi)時(shí)的狀態(tài)分別為(、、)，(、、)，…，(、、)，將它們混合起來(lái)后的狀態(tài)為P、V、T，那么，有如果是兩部分氣體混合后再分成的部分，則有例1、一根一端封閉的玻璃管長(zhǎng)96cm，內(nèi)有一段20cm的水銀柱。當(dāng)溫度為27C且開(kāi)口端向上時(shí)，被封閉的氣柱長(zhǎng)60cm。試問(wèn)溫度至少為多少度，水銀柱才可從管中全部溢出。解：設(shè)氣體溫度為T(mén)時(shí)，管內(nèi)的水銀柱高度為x，x＜20cm，大氣壓強(qiáng)。(1)得到(2)其中P以cmHg為單位，長(zhǎng)度以cm為單位。要求x有實(shí)數(shù)解的條件400+4×(76×96-)≥0可見(jiàn)≤，≥時(shí)，管內(nèi)氣體可以形成平衡狀態(tài)。反之，T＞因而x＜時(shí)，管內(nèi)氣體壓強(qiáng)總是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡態(tài)無(wú)法建立而導(dǎo)致非平衡狀態(tài)，水銀柱將全部溢出。例2、設(shè)在恒溫0℃下，測(cè)得三甲胺的密度隨壓強(qiáng)變化的數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)要求三甲胺的摩爾質(zhì)量。0.20.40.60.80.53361.07901.63632.2054解：為了準(zhǔn)確測(cè)定氣體的摩爾質(zhì)量，必須把實(shí)際氣體的壓強(qiáng)外推到零(P→0)時(shí)應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程，即由(1-15)式有(1)為了求出P→0時(shí)()的極限值，可將上述數(shù)據(jù)作如下變換：0.20.40.60.82.66802.69752.72722.7568現(xiàn)以為縱坐標(biāo)，P為橫作標(biāo)，作出-P圖形(圖1-3-1)，將圖中曲線外推到P→0得到2.752.702.652.602.752.702.652.600.80.60.40.20P(atm)圖1-3-1即三甲胺的分子量為59.14?！?.4氣體分子運(yùn)動(dòng)論1.4.1、分子運(yùn)動(dòng)論的基本點(diǎn)1、宏觀物體由大量分子組成。分子直徑的數(shù)量級(jí)一般為，分子質(zhì)量為。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氣體分子的數(shù)密度為2、物體內(nèi)的分子永不停息地作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。這是根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)和擴(kuò)散現(xiàn)象得出的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)表明擴(kuò)散的快慢和布朗運(yùn)動(dòng)的激烈程度與溫度的高低有明顯的關(guān)系。由此常把大量子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為熱運(yùn)動(dòng)，熱運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的一種基本形式，熱現(xiàn)象是它的宏觀表現(xiàn)。氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速率與溫度的關(guān)系為常溫下，。3、分子之間存在的相互作用力。分子之間同時(shí)存在引力和斥力，它們都隨距離的增大而減小。其合力具體表現(xiàn)為相吸引還是相排斥，取決于分子間的距離。當(dāng)時(shí)，合力為零，分子間的距離的位置稱(chēng)為平衡位置；當(dāng)r＞時(shí)，分子力表現(xiàn)引力；當(dāng)r＜時(shí)，分子力表現(xiàn)為斥力；當(dāng)r＞時(shí)，分子力可忽略不計(jì)。分子力是保守力，存在著由分子和分子間相對(duì)位置所決定的勢(shì)能稱(chēng)為分子力勢(shì)能。分子力和熱運(yùn)動(dòng)是決定物體宏觀性質(zhì)的基本因素。分子力作用傾向于使分子聚集一起，在空間形成某種有序排列；熱運(yùn)動(dòng)卻力圖造成混亂存在向外擴(kuò)散的趨勢(shì)。1．4．2、理想氣體的微觀模型先來(lái)作個(gè)估算：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1mol氣體體積，分子數(shù)，若分子直徑，則分子間的平均間距，相鄰分子間的平均間距與分子直徑相比。由此可知，氣體分子間的距離比較大，在處理某些問(wèn)題時(shí)，可以把氣體分子視為沒(méi)有大小的質(zhì)點(diǎn)；同時(shí)可以認(rèn)為氣體分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不計(jì)，分子在空間自由移動(dòng)，也沒(méi)有分子勢(shì)能。因此理想氣體是指分子間沒(méi)有相互作用和分子可以看作質(zhì)點(diǎn)的氣體。這一微觀模型與氣體愈稀薄愈接近于理想氣體的宏觀概念是一致的。1．4．3、理想氣體的壓強(qiáng)宏觀上測(cè)量的氣體施給容器壁的壓強(qiáng)，是大量氣體分子對(duì)器壁不斷碰撞的結(jié)果。在通常情況下，氣體每秒碰撞的器壁的分子數(shù)可達(dá)。在數(shù)值上，氣體的壓強(qiáng)等于單位時(shí)間內(nèi)大量分子施給單位面積器壁的平均沖量。其表達(dá)式為式中n是分子數(shù)密度，是分子的平均平動(dòng)動(dòng)能，n和增大，意味著單位時(shí)間內(nèi)碰撞單位面積器壁的分子數(shù)增多，分子碰撞器壁一次給予器壁的平均沖量增大，因而氣體的壓強(qiáng)增加。1．4．4、溫度的微觀意義將式代入式后，可以得到氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為這被稱(chēng)為氣體溫度公式，溫度升高，分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能增大，分子熱運(yùn)動(dòng)加劇。因此，氣體的溫度是氣體分子平均平動(dòng)能的標(biāo)志，是分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的量度。圖1-4-1例1、質(zhì)量為的圓筒水平地放置在真空中。質(zhì)量、厚度可忽略的活塞將圓筒分為體積相同的兩部分(圖1-4-1)，圓筒的封閉部分充有n摩爾的單原子理想氣體，氣體的摩爾質(zhì)量為M，溫度為，突然放開(kāi)活塞，氣體逸出。試問(wèn)圓筒的最后速度是多少？設(shè)摩擦力、圓筒和活塞的熱交換以及氣體重心的運(yùn)動(dòng)均忽略不計(jì)。(，，，氦的摩爾質(zhì)量為，，)圖1-4-1解：過(guò)程的第一階段是絕熱膨脹，膨脹到兩倍體積后(圖1-4-2)溫度將是T。根據(jù)絕熱方程，有因此：圓筒和活塞的總動(dòng)能等于氣體內(nèi)能的損失，即根據(jù)動(dòng)量守恒定律，解上述方程，得過(guò)程第一階段結(jié)束時(shí)的圓筒速度：。m1m2m1m2圖1-4-2我們把坐標(biāo)系設(shè)置在圓筒上。所給的是一個(gè)在真空中開(kāi)口的圓筒，筒內(nèi)貯有質(zhì)量為、溫度為T(mén)的氣體。顯然，氣體將向左上方流動(dòng)，并推動(dòng)圓筒向右以速度運(yùn)動(dòng)。氣體分子的動(dòng)能由下式給出：