2024-2025高中物理競賽輔導(dǎo) 實驗理論含答案

2024-2025高中物理競賽輔導(dǎo)實驗理論含答案實驗理論物理學(xué)是一門實驗科學(xué)，幾乎所有的物理定律都來自于物理實驗并不斷地受到新的物理實驗的檢驗，因此研究物理實驗是每個對物理感興趣的同學(xué)必須做的工作，正因為如此，物理實驗在物理競賽中也占有重要的地位，不論是全國物理競賽，還是國際奧林匹克物理競賽，實驗內(nèi)容都要占30%—50%的比例。一、

有關(guān)實驗的基礎(chǔ)知識（一）實驗誤差的概念1、為什么要討論測量誤差任何物質(zhì)都有自身的各種各樣的特性，反映這些特征的量所具有的客觀真實數(shù)值，稱為真值。測量的目的就是力圖得到真值，但是由于測量的方法、儀器、環(huán)境和測量者本身都必然存在著某些不理想情況，所以測量不能無限精確，在絕大多數(shù)情況下，測量結(jié)果與客觀存在的真值之間總有一定的差異，這就是測量誤差，測量誤差的大小反映我們的測量偏離客觀真實數(shù)值的大小，反映測量結(jié)果的可信程度。從某種意義上說，不給出測量誤差的測量結(jié)果是沒有意義的，是無法使用的，例如我們測量出某種合金的密度是（3.2，即說明這種合金的密度不會小于，不會大于。如果用這種合金制造飛機(jī)，就可以估計出飛機(jī)的最大和最小質(zhì)量。相反，如果測出的密度沒有誤差范圍，是沒有實際使用意義的。測量誤差是反映測量結(jié)果好壞的物理量，它與實驗的各個方面都有密切的關(guān)系，例如，我們要根據(jù)測量誤差的限度制定實驗方案，即確定實驗原理和步驟，并選用器材，在實驗操作過程中，要千方百計減小誤差，最后，通過對實驗數(shù)據(jù)的處理，確定實驗結(jié)果的誤差，由此可見，考慮實驗誤差是貫穿于實驗全過程的事。2、實驗誤差的分類（1）絕對誤差和相對誤差誤差按其表達(dá)形式可分為絕對誤差和相對誤差。1）絕對誤差：測量值與真值之差的絕對值叫絕對誤差，定義為：絕對誤差（）=絕對誤差反映了測量值偏離真值的大小。2）相對誤差：絕對誤差無法表示測量質(zhì)量的高低，例如在測量上海到北京的距離時，如果絕對誤差是1米，測量質(zhì)量已很高；但是如果測量百米跑道時產(chǎn)生1米的誤差，則測量質(zhì)量就不好了，為了說明測量質(zhì)量的高低，我們還要引入相對誤差的概念，其定義為：相對誤差（E）=絕對誤差（）真值（A）相對誤差常用百分?jǐn)?shù)的形式來表示：（2）系統(tǒng)誤差和偶然誤差誤差按其性質(zhì)及其產(chǎn)生的原因，又可以分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。1）系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差的特征是帶有確定的方向性，在相同的條件下，對同一量進(jìn)行多次測量，誤差的正負(fù)保持不變，如果測量值偏大，則總是偏大；如果測量值偏小，則總是偏小，系統(tǒng)誤差的來源主要有以下幾個方面：原理誤差：由于測量所依據(jù)的理論公式的近似性（不完善性）而造成的誤差，例如，單擺的周期公式，它成立的條件是擺角趨近于零，否則就是一個近似公式；又如用伏安法測電阻時，因忽略了電流表的分壓作用或電壓表的分流作用，測得的結(jié)果只能是近似值。儀器誤差：由于測量儀器本身的缺陷而造成的誤差，例如尺子過長或過短、秒表零點不準(zhǔn)、天平不等臂、砝碼不夠標(biāo)準(zhǔn)等等。環(huán)境誤差：由于測量時周圍的環(huán)境（溫度、壓力、濕度等）不理想而造成的誤差。例如在20℃時定標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)電阻在30℃的環(huán)境中使用等。很明顯，由于系統(tǒng)誤差有固定的偏向性，所以用多次測量求平均值不能減小系統(tǒng)誤差，但如果我們找到了某個系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，就可以采取一定的方法去減小它的影響，或者對測量結(jié)果進(jìn)行修正。2）偶然誤差：偶然誤差的特征是帶有隨機(jī)性（因此偶然誤差也叫隨機(jī)誤差）。在測量中，如果已經(jīng)基本消除了引起系統(tǒng)誤差的一切因素，而測量結(jié)果仍然無規(guī)則地彌散在一定的范圍內(nèi)，這種誤差叫偶然誤差。偶然誤差的可能來源是：測量者自身感官（如聽覺、視覺、觸覺）的分辨能力不盡相同，外界環(huán)境的干擾等等。偶然誤差是無法控制的，但它的出現(xiàn)卻服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。常見的一種規(guī)律是：大于真值和小于真值的測量值了現(xiàn)的機(jī)會相等；而且誤差較小的測量值比誤差較大的測量值出現(xiàn)的機(jī)會多；偏離真值很大的測量值出現(xiàn)的機(jī)會趨于零。因此，用增加測量次數(shù)求平均值的方法，可以減小偶然誤差。關(guān)于因儀器損壞，設(shè)計錯誤，操作不當(dāng)而造成的測量錯誤，則不是測量誤差。（二）偶然誤差1、直接測量中偶然誤差的估算所謂直接測量，就是直接用測量儀器進(jìn)行測量得到結(jié)果。（1）單次測量的誤差估算在物理實驗中，有時由于對測量的精度要求不高，或由于測量對象的不可重復(fù)性，對一個物理量的直接測量只進(jìn)行一次，這種測量方法叫做單次測量。單次測量結(jié)果的誤差因測量工具的不同常有以下幾種確定方法：1）取測量儀器最小刻度的1/5或1/2作為測量誤差，例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm作為測量誤差,一般溫度計取0.2℃或0.5℃作為測量誤差等等.2)天平取其感量作為測量誤差,例如物理天平可取0.02g,托盤天平可取0.1g作為測量誤差.3)機(jī)械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操縱表的人難免按之過早或過遲,因此可取0.1s或0.2s作為測量誤差.手動的電子秒表盡管可以顯示0.01s,但由于同樣的原因也只能取0.1s或0.2s作為測量誤差,0.01s位上的數(shù)字是沒有實際意義的.4)電表(電壓表、電流表)的測量誤差有特定的確定方法：每個電表都有一個準(zhǔn)確度級別（0.2級、0.5級、1級、2.5級、4級），電表的測量誤差不會大于其量程和它的級別的百分階段之一的乘積.例如有一個0.5級的電流表,量程為3A,那么其測量誤差5)電阻箱同樣也用級別表示誤差的大小，但電阻箱級別和電表的級別略有不同。n級電阻箱的測量誤差為其當(dāng)時阻值與n%的乘積。（2）多次測量結(jié)果和誤差估算測量某一個物理量時，為了減小偶然誤差，在可能的情況下，應(yīng)多次重復(fù)測量。如果在相同的條件下對某一物理量進(jìn)行了n次測量，各次測量分別為，那么其平均值）根據(jù)誤差統(tǒng)計誤差，可證明在一組測量n次的數(shù)據(jù)中，其算術(shù)平均值最接近于真值，此算術(shù)平均值稱為測量的最佳值。當(dāng)測量次數(shù)n無限增加時，最佳值將無限接近于真值。一般就將最佳值為多次測量的結(jié)果。嚴(yán)格地說，誤差是測量值和真值的差，但由于真值不可能得到，而且當(dāng)測量次數(shù)多時，最佳值很接近于真值，因此可以用最佳值代替真值來估算誤差。仍以上例來說明誤差的估算方法。…（3）測量結(jié)果的表示測量結(jié)果應(yīng)該包括數(shù)值、誤差和單位三個部分。通常將測量的結(jié)果寫成單位。其中是測量值，可以是一次測量值，也可以是多次測量的最佳值，是絕對誤差。為了更清楚地表示測量質(zhì)量的好壞，還應(yīng)同時寫出其相對誤差.這里要說明兩點：①在誤差運(yùn)算的過程中，一般只取一到二位有效數(shù)字，最后表示絕對誤差的值一般只取一位而且應(yīng)該和測量最佳值的最末一位對齊，為了確保誤差范圍的有效性，一般是只入不舍。②測量結(jié)果為并不表示x為兩個值，而是表示x一般在這個范圍之內(nèi)。2、間接測量中偶然誤差的估算所謂間接測量，就是應(yīng)用直接測量得到的值，經(jīng)過計算得到自己所需要的結(jié)果。例如測一塊圓柱體金屬的密度，可以先通過直接測量得到它的直徑D、高h(yuǎn)和質(zhì)量m，然后用公式計算出密度。因為計算中所用的直接測量值都是有誤差的，所以算出來的間接測量值當(dāng)然也是有誤差的。下面就討論在不同類型的計算中，怎樣由直接測量的誤差得到間接測量的誤差。設(shè)x為間接測量的量，而A、B、C…為直接測量的量，它們之間滿足一定的關(guān)系，即x=f(A,B,C…).如果各直接測得量表示為將這些量代入f(A,B,C…)中，便可以求得其中為間接測得量的最佳值，是間接測得量的絕對誤差。（1）加法運(yùn)算中的誤差若x=A+B+C+…則其中最佳值絕對誤差由于A、B、C都是互相獨立的，它們的絕對誤差可能為正，也可能為負(fù)。在最不利的情況下，可能出現(xiàn)的最大誤差是。我們規(guī)定此可能的最大誤差為x的誤差。（2）減法運(yùn)算中的誤差若x=A-B-C-…則其中最佳值絕對誤差按前面所講，在最不利情況下，取由此可見，加減運(yùn)算結(jié)果的絕對誤差等于各直接測得量的絕對誤差之和。（3）乘法運(yùn)算中的誤差若則其中最佳值絕對誤差由于(即比或更小的小量),可以忽略不計,所以,.在最不利的情況下,取,于是相對誤差為(4)除法運(yùn)算中的誤差若則)其中最佳值絕對誤差,在最不利的情況下,取.相對誤差為=由此可見,乘除運(yùn)算結(jié)果的相對誤差等于各直接測得量的相對誤差之和.這個討論雖然是從兩個因子乘除的運(yùn)算中推導(dǎo)出來的,但可以推廣到任意多個因子乘除的運(yùn)算中去,如果加、減、乘、除運(yùn)算中有的因子是公認(rèn)的理論值或測量值，那么可以不考慮它的誤差。（5）乘方和開方運(yùn)算中的誤差若。如果n是整數(shù)就是乘方運(yùn)算，如果n是分?jǐn)?shù)就是開方運(yùn)算。（6）三角函數(shù)運(yùn)算的誤差若若若若若若上列式中分別表示x和A的絕對誤差。限于數(shù)學(xué)工具，以上公式我們不作推導(dǎo)。掌握了間接測量的誤差傳遞公式，不但可以在實驗結(jié)束后估算出實驗結(jié)果可能的誤差，還可以在實驗前幫助我們確定實驗方案和改進(jìn)實驗操作。請看下面一例：試用單擺測量某地的重力加速度，可提供的工具除了單擺之外還有米尺、秒表等，要求測得的g的相對誤差小于1%。根據(jù)單擺的周期公式根據(jù)誤差傳遞公式可知因為要求，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆峙?，可確定操作目標(biāo)為：，擺長是用米尺測量的，一般取，因考慮到擺線可能有一定的伸縮性，取較妥（已留有相當(dāng)?shù)挠嗟兀?。因此擺長周期是用秒表測量的，以開、停表都有0.2秒的誤差計,,因此總計時圖5-1圖5-1這樣我們在實驗中用擺長為1m左右的單擺,用秒表測出它擺動100次左右的時間,即可達(dá)到題設(shè)的要求.如圖11-1所示的比重瓶是一種有準(zhǔn)確的固定體積的容器(瓶中裝滿液體,然后將塞子蓋上,多余的液體會從塞子中央的細(xì)管中溢出,這樣便保持了瓶中液體一定的體積),要求用此瓶測定一種小金屬粒的密度,可提供的儀器還有天平、砝碼和蒸餾水。這個實驗的原理不復(fù)雜，先測了金屬粒的質(zhì)量，再測出裝滿水的比重瓶的質(zhì)量最后將金屬粒放進(jìn)裝滿水的比重瓶中，測出帶金屬粒和水的比重瓶的質(zhì)量。這樣，被金屬粒排出的水的質(zhì)量便是，這部分水的體積是，這也就是金屬粒的體積，于是金屬粒的密度便是實驗操作中一個有待決定的問題是：金屬粒是多放一些好還是少放一些好？因為的相對誤差其中有公認(rèn)值，故可以忽略。對同一架天平來說,是確定的,不難看出,當(dāng)金屬粒放得比較多時,上面兩式的分母都比較大,相對誤差就比較小.因此盡量多放些金屬粒,能減小實驗結(jié)果的誤差.(三)有效數(shù)字及其運(yùn)算1、有效數(shù)字如上所述，用實驗儀器直接測量的數(shù)值都含有一定的誤差，因此測得的數(shù)據(jù)都只能是近似數(shù)，由這些近似數(shù)通過計算而求得的間接測量值也是近似數(shù)。為了使間接測量結(jié)果合理些，對近似數(shù)的表示和計算都有一些規(guī)則，以便確切地表示測量和運(yùn)算結(jié)果的近似性。從儀器上讀出來的數(shù)值，經(jīng)常有一位數(shù)是估計出來的，或多或少存在著誤差。例如米尺的最小刻度是mm(0.001m)，那么用米尺測量長度可讀到十分之一毫米(0.0001m).0.001m這一位可以從米尺上讀出來，是可靠的，0.001m位前面的數(shù)都是可靠數(shù)，0.0001m這一位是測量者估讀出來的，估讀的數(shù)字因人而異，因此是有疑問的，稱為存疑數(shù)。由于0.0001m位已存疑，在它以后各位數(shù)的估讀已無必要。我們把可靠數(shù)加上最后一位存疑數(shù)，一起記錄下來，統(tǒng)稱為有效數(shù)字。在應(yīng)用有效數(shù)字進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時應(yīng)注意以下幾點：（1）自然數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9如出現(xiàn)在測量中，均為有效數(shù)字?！?”出現(xiàn)在其它數(shù)字之后或之間為有效數(shù)字，如出現(xiàn)在其它數(shù)字之前就不是有效數(shù)字了，它們只起定位作用。例如0.08020，前面兩個零不是有效數(shù)字，后面四個數(shù)都是有效數(shù)字，因此它有四位有效數(shù)字。（2）讀數(shù)時，必須按照儀器要求讀出測量值，即使末位是“0”，也不能任意舍去。在數(shù)學(xué)中我們認(rèn)為2.10cm、2.100cm、2.1000cm是相同的，而在物理中卻表示了用三種不同的測量工具所測量的結(jié)果，其估讀的可疑數(shù)分別在0.01cm、0.001cm、0.0001cm這些位上，所以我們決不能在測量結(jié)果后面任意加上或丟掉“0”。（3）有效數(shù)字是由測量對象和測量儀器所決定的，單位的換算不能改變有效數(shù)字的位數(shù)，因而必須注意單位換算時的正確表示法。例如將3.70m化成毫米單位，不能寫成3700mm而應(yīng)該用指數(shù)表示法寫成,仍表示三位有效數(shù)字；將280mm換成以米作單位，不能寫成2.8m,而要寫成2.80m。2、有效數(shù)字的運(yùn)算法則在有效數(shù)字運(yùn)算過程中，為了做到不因運(yùn)算而引進(jìn)“誤差”或損失有效位數(shù)，以不影響測量結(jié)果的精確度為原則，人們對有效數(shù)字的近似運(yùn)算法則作了統(tǒng)一規(guī)定。（1）有效數(shù)字的加減我們通過下面兩個例子的運(yùn)算，了解一下加、減運(yùn)算中有效數(shù)字的取法。

計算時，我們在存疑數(shù)下面加橫線，以使之與可靠數(shù)字相區(qū)別，在相加結(jié)果35.37中，由于第三位數(shù)“3”已為存疑數(shù)字，后面的一位便毫無意義，按四舍五入的原是處理，本例應(yīng)向前進(jìn)位，與成35.4，有效數(shù)字為3位。同理，相減的結(jié)果應(yīng)該為22.72，舍去了尾數(shù)“4”，有效數(shù)字為4位。在上面的例子中，如果我們按照位數(shù)對齊相加或相減諸數(shù)，并以其中存疑位數(shù)最靠前的量為基準(zhǔn)，事先進(jìn)行四舍五入，取齊諸量的尾數(shù)，則可簡化運(yùn)算過程，而結(jié)果仍然相同。仍用上面兩個算式為例，具體算法如下：

這個結(jié)論可以推廣到多個量相加或相減的運(yùn)算中去。（2）有效數(shù)字的乘除我們通過下面兩個例子的運(yùn)算，了解一下乘、除運(yùn)算中有效數(shù)字的取法

計算過程中，凡是有存疑數(shù)字參于運(yùn)算而得到的量都是不可靠的。在運(yùn)算結(jié)果中，存疑數(shù)字只保留一位，其后面的存疑數(shù)字是沒有意義的。因此上面兩個例子的結(jié)果分別為110和173，有效數(shù)字都是三位。從以上兩個例子中可以看到，兩個量相乘（或除）的積（或商）其有效數(shù)字與諸因子中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。這個結(jié)論可以推廣到我個量相乘除的運(yùn)算中去。（3）有效數(shù)字的乘方、開方按照確定乘法運(yùn)算結(jié)果有效位數(shù)的方法，可知乘方運(yùn)算的結(jié)果，x的有效位數(shù)應(yīng)與其底數(shù)A的有效位數(shù)相同。當(dāng)n是分?jǐn)?shù)時，就是開方運(yùn)算，也可看作是乘方的逆運(yùn)算，根的有效位數(shù)與被開方數(shù)的有效位數(shù)相同。以上這些結(jié)論，在一般情況下是成立的，但也有例外/只要我們掌握了有效數(shù)字的意義和存疑數(shù)了取舍的原則，是不難處理的。還應(yīng)該指出，有效數(shù)字講的是實驗數(shù)據(jù)記錄和運(yùn)算的規(guī)則，它不能代替絕對誤差和相對誤差的計算。在實驗中，如果兩者發(fā)生矛盾，以誤差計算法則為準(zhǔn)。如果因為各項誤差的積累，使間接測量的絕對誤差較大，這樣就便得根據(jù)有效數(shù)字運(yùn)算法則算出來的本來應(yīng)該可靠的位數(shù)也產(chǎn)生了誤差，那么就將這一位數(shù)作為存疑數(shù)，后面多余的存疑數(shù)全部舍去。（四）系統(tǒng)誤差圖5-2圖5-21、由實驗原理的不完善帶來的系統(tǒng)誤差以伏安法電阻為例，不論是圖11-2（a）所示的電流表外接，還是圖11-2（b）所示的電流表內(nèi)接，都舊有系統(tǒng)誤差的，對此系統(tǒng)誤差，有兩種辦法處理，一種是對實驗結(jié)果進(jìn)行修正，另一種是地實驗線路進(jìn)行補(bǔ)償。圖5-4以圖5-2（a）線路為例，如果事先已知電壓表的內(nèi)阻，即可對實驗結(jié)果進(jìn)行修正，如果電壓表和電流表的讀數(shù)分別為U和I圖5-4如果電壓表的內(nèi)阻未知，則可改進(jìn)實驗線路，進(jìn)行電流補(bǔ)償（圖5-3（a））或電壓補(bǔ)償（圖5-3（b））。仔細(xì)地調(diào)節(jié)滑動變阻器R，使電流表的讀數(shù)為零。此時因為a、b兩點等勢，所以電壓表的讀數(shù)就是的電流，這樣就消除了由于電流表分壓及電壓表分流而帶來的系統(tǒng)誤差。注意，圖5-3只是電流補(bǔ)償和電壓補(bǔ)償?shù)脑韴D，在實際操作中，還須有一些附加部件。例如在電流計上必須串一個滑動變阻器以保護(hù)電流計，電路未調(diào)平衡時將滑動變阻器置于阻值最大處，隨著逐漸調(diào)平衡慢慢減小滑動變阻器的阻值直至零。2、由于測量儀表不準(zhǔn)確帶來的系統(tǒng)誤差圖5-3所示的補(bǔ)償電路解決了由于實驗原理不完善帶來的系統(tǒng)誤差。但電壓表和電流表的準(zhǔn)確度是很有限的（一般中學(xué)里用的電表都是2.5級的，即使大學(xué)專業(yè)實驗室中的電表也只有0.5級），這會給測量結(jié)果帶來較大的誤差。為了用準(zhǔn)確程度要高得多的電阻代替電表來測量，我們可以這樣來分析一下圖5-3（a）的電路，將R分畫成兩個電阻（圖5-4）。我們假定有四個電阻‖，，根據(jù)歐姆定律這樣，如果三個電阻都已知，也就測得了。將圖5-4改畫成圖5-5，都用電阻箱。這就是我們熟知的惠斯通電橋。電阻箱的準(zhǔn)確度要比電表高得多，中學(xué)里用的多數(shù)為0.2級，稍好一些的即可達(dá)0.02級。3、由外界環(huán)境帶來的系統(tǒng)誤差用量熱器做熱學(xué)實驗時，實驗系統(tǒng)和外界的熱交換是一個比較難解決的問題，此時我們可以用“異號抵消”的思想來減小這一系統(tǒng)誤差。在用混合法測定冰的熔解熱的實驗中，將量熱器假定成一個完美的絕熱系統(tǒng)，但這在職實驗中是無法做到的，我們采用“異號抵消”法來盡量減小量熱器和周圍環(huán)境之間的熱傳遞給實驗結(jié)果帶來的系統(tǒng)誤差。在實驗過程中，環(huán)境溫度可以認(rèn)為是不變的。適當(dāng)選取量熱器內(nèi)水的初溫和水、冰的質(zhì)量，使量熱器在實驗的前一部分時間內(nèi)向周圍環(huán)境放熱，在實驗的后一部分時間內(nèi)從周t1tθt1tθt2T1TθT2圖5-6S1S2怎樣才能使量熱器的放、吸熱基本相同呢？我們以時間t為橫軸，以量熱器溫度T為縱軸，可得如圖11-6所示的圖線。AB是冰塊投入前的自散熱線，BCD是冰的熔解線，DE是自然吸熱線，從這段時間內(nèi)，量熱器的溫度高于室溫，量熱器向周圍環(huán)境放出來的熱量可用BFC這個曲邊三角形的面積來表示（暫不作證明）。從這段時間內(nèi)，量熱器的溫度低于室溫，量熱器從周圍環(huán)境吸收的熱量可用曲邊三角形CGD的面積來表示，適當(dāng)?shù)乜刂扑某鯗睾退⒈馁|(zhì)量，使相差不多，即可認(rèn)為量熱器與外界基本沒有熱交換。（五）圖線法處理實驗數(shù)據(jù)1、圖線法的作用和優(yōu)點物理實驗中的圖線法，是用作圖來得到實驗結(jié)果，它是一種應(yīng)用得很廣泛的處理實驗數(shù)據(jù)的方法。特別是在有些科學(xué)實驗的規(guī)律和結(jié)果還沒有完全掌握或還沒有找到明確的函數(shù)表達(dá)式時，采用作出的圖線來表示實驗結(jié)果，能形象、直觀地顯示出物理量變化的規(guī)律。圖線法有取平均的效果。一般的圖線是根據(jù)許多組數(shù)據(jù)擬全出來的平滑曲線或直線，這樣的圖線就有多次測量取平均的作用。圖線法還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)某些錯誤。如果在描圖過程中發(fā)現(xiàn)某個點偏離得特別遠(yuǎn)，則提示測量或數(shù)據(jù)計算中可能有錯誤，應(yīng)重新測量或進(jìn)行校對。2、作圖線的規(guī)則（1）作圖線必須用坐標(biāo)紙，我們一般采用毫米方格紙坐標(biāo)紙的大小根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的有效位數(shù)來確定，一般的原則是：測量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖線中也應(yīng)該是可靠的，測量數(shù)據(jù)中的存疑數(shù)字在圖線中應(yīng)該是估畫的，即坐標(biāo)中的最小格對應(yīng)于測量值的有效數(shù)字中可靠數(shù)字的最后一位。（2）坐標(biāo)軸的坐標(biāo)與比例通常以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量。在坐標(biāo)軸的末端近旁標(biāo)明所代表的物理量及單位。作圖線時，根據(jù)需要橫軸和縱軸的標(biāo)度可以不同，兩軸的交點也不一定要從零開始。要力求整個圖線比較對稱地占據(jù)整個圖紙，不要偏在一角或一邊。（3）圖線的標(biāo)點與連線根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，用削尖的鉛筆在坐標(biāo)圖紙上對應(yīng)地以“⊙”標(biāo)出各數(shù)據(jù)的點。同一坐標(biāo)紙上如有不同的圖線，應(yīng)當(dāng)用不同的符號，如“+”，“△”等來標(biāo)點。當(dāng)數(shù)據(jù)點標(biāo)好后，用直尺或曲線板等作圖工具，把它們連成直線或光滑曲線。除特殊情況（如校準(zhǔn)曲線）外，絕不允許連成折線，也不允許連成“蛇線”。圖線不一定通過每個數(shù)據(jù)點，但要求數(shù)據(jù)點在圖線兩旁有較均勻的分布。（4）在坐標(biāo)紙上應(yīng)標(biāo)明圖的名稱，一般要求在圖紙上部附近的空曠位置寫出簡要完整的圖名，文字要用仿宋體。3、用圖解法求直線的斜率和截距如果圖線為直線，其函數(shù)式為y=kx+b，那么可以從圖線上解出其斜率k和截距b。具體求法是在直線上任意取兩點兩點不能靠得太近，一般取在靠近直線兩端的地方。在直線上確定這兩點的坐標(biāo)之后，即可列出方程組解方程組，得直線斜率 如果x坐標(biāo)的起點為零，則可直接從圖線上讀取直線與y軸的交點的y的坐標(biāo)，就是直線的截距b。如果x坐標(biāo)軸的起點不為零，則要在圖線上再取一點有要注意的是都要由圖線上取得，不可用原來的實驗數(shù)據(jù)點。為了減少誤差，這三個點的確良x坐標(biāo)可取整數(shù)，讀坐標(biāo)值時，只要讀取它們的y坐標(biāo)即可。4、曲線化直在實驗中，會遇到各種各樣的函數(shù)形式，其中一次函數(shù)的圖線最容易精確繪制，并且可以根據(jù)圖線求出所需要的數(shù)據(jù)（一般是求出圖線的斜率k和截距b，然后再根據(jù)k和b求出所需實驗結(jié)果）。所以，我們常通過一些變換，將曲線函數(shù)化成直線函數(shù)，這一工作可稱為“化直”。物理實驗中常遇到下列函數(shù)圖線類型函數(shù)式例子物理公式直線勻變速運(yùn)動拋物線單擺雙曲線玻意耳定律平方反比庫侖定律指數(shù)曲線阻尼振動下面具體說明怎樣將上述函數(shù)“化直”：（1）拋物線，設(shè)y=Y,（2）雙曲線，設(shè)y=Y,（3）平方反比，設(shè)y=Y,（4）指數(shù)曲線，設(shè)作了上列變換后，再作~X圖線，便可得到直線。5、圖線法求實驗結(jié)果圖線法求實驗結(jié)果的一般步驟是：（1）改變實驗條件多次重復(fù)測量，得到一系列實驗數(shù)據(jù)；（2）進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，得到直線形函數(shù)（3）擬合出圖線（直線）；（4）求出圖線的斜率k和截距b；（5）從k和b中間求出所需要的實驗結(jié)果。6、圖線法探索物理規(guī)律在已知物理規(guī)律（如上例中已知）時，可以用圖線法來求實驗結(jié)果；如果物理規(guī)律尚不清楚，也可以用圖線法來探索物理規(guī)律。先看一個物理學(xué)史上的事例：歐姆當(dāng)年研究電壓、電流和電阻三者之間的關(guān)系時，非但沒有測量電壓、電流、電阻的電表，連電壓、電流、電阻的概念都沒有。他以導(dǎo)線的長度L代表電阻，以放在通電導(dǎo)線旁邊的小磁針的偏轉(zhuǎn)角度代表電流強(qiáng)度，得到如下實驗數(shù)據(jù)：L（英寸）24610183466134（度）30528125922417812579440.3280.3560.3860.4460.5610.8001.272.27

我們可以通過以下步驟來探索當(dāng)電壓一定時，電流（）和電阻（L）的關(guān)系。20406080100120140（英寸）20406080100120140（英寸）1/θ度3

2

1圖5-920406080100120140（英寸）θ度300

200

100圖5-8（1）以縱軸代表，橫軸代表L，作出~L圖線（圖11-8）（2）根據(jù)圖11-8初步判斷與L成反比關(guān)系，因此再算出一系列值，并試作圖線（圖11-9），得到一條不過原點的直線。這說明與L不成反比關(guān)系，但和L卻成線性關(guān)系。（3）設(shè),其中k為圖線的斜率，b為圖線在縱軸上的截距，上式可化成（4）在圖線上取兩點：求出圖線的斜率從圖11-9中可直接看出圖線的截距，所以這個式子和我們今天常用的全電路歐姆定律已完全一樣了，式中6600代表電動勢，20代表內(nèi)阻。7、圖線法的局限性由于圖線一般都是靠目視而擬合出來的（這種方法叫直覺擬合），因此在擬合過程中人的因素難免要起作用。同一組數(shù)據(jù)，兩個人通過直覺擬合得到的結(jié)果一般不可又紅又專完全一樣，這就說明圖線法處理數(shù)據(jù)的過程又會給實驗結(jié)果帶來一些新的“誤差”。因此，直覺擬合作圖法是一種比較粗略的數(shù)據(jù)處理方法，一般不討論結(jié)果的誤差。（六）線性回歸法直覺擬合法最大的缺陷就是無法克服連線時的主觀隨意性，也就是說，直接擬合很難找到一條離各個數(shù)據(jù)點最近的圖線。那么是否可以通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法找到這條最佳的圖線呢？這就是下面要討論的問題。1、線性回歸法（最小二乘法）假定變量x和y的關(guān)系是線性的y=kx+b其圖線是一條直線。在實驗中測得n組數(shù)據(jù)現(xiàn)在的問題是怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定上面線性方程中的k和b。為了理論上計算的需要，假定中只有是有誤差的。在實際處理實驗數(shù)據(jù)據(jù)時，可以把兩個變量中相對業(yè)說誤差較小的變量作為x。我們對回歸直線提了的標(biāo)準(zhǔn)是：要求從各數(shù)據(jù)點到回歸直線的豎直距離平方之和為最小，也就是說，要求出k和b等于什么值時，各數(shù)據(jù)點到回歸直線的豎直距離平方之和取得極小值。由于數(shù)學(xué)知識的限制，這里不介紹具體推導(dǎo)，只給出結(jié)論供使用：令那么斜率截距式中符號表示求和，如果共有n個數(shù)據(jù)點，那么這個計算過程看起來比較復(fù)雜，但在職電腦使用日益普及的今天，用電腦來完成這樣的工作很方便。一些功能比較齊全的計算器具有二維統(tǒng)計功能，也能自動完成這些計算。在統(tǒng)計理論中還給出一個叫做相關(guān)系數(shù)的量，它主要表征x、y兩個變量相關(guān)的程度。從圖線上看，如果x、y的相關(guān)程度高，那么數(shù)據(jù)點都比較靠近擬合出來的圖線；如果相關(guān)程度低，那么數(shù)據(jù)點就比較分散。相關(guān)系數(shù)當(dāng)x與y完全不相關(guān)時，r=0；當(dāng)x與y正相關(guān)，即回歸直線的斜率為正時，r>0;當(dāng)x與y負(fù)相關(guān)，即回歸直線的斜率為負(fù)時，r<0；當(dāng)所有數(shù)據(jù)點都在回歸直線上時，。所以，r的數(shù)值只能在（-1）和（+1）之間。圖11-10說明了數(shù)據(jù)點分布情況不同時的相關(guān)系數(shù)。（2）線性回歸法的誤差由于線性回歸法是建立在嚴(yán)格的統(tǒng)計理論基礎(chǔ)上的，因此可以計算回歸直線方程的系數(shù)k和b的誤差，同樣由于數(shù)學(xué)方面的原因，這里只給出計算結(jié)果：k的相對誤差：k的絕對誤差：b的絕對誤差：b的相對誤差：有了k和b的誤差，便可以確定k和b的有效位數(shù)了：使k和b只保留一位存疑數(shù)，即讓誤差的位數(shù)和k、b的最末一位數(shù)相同。3、線性關(guān)系顯著的標(biāo)準(zhǔn)由對相關(guān)系數(shù)r的討論可知，對一個實際問題，只有當(dāng)相關(guān)系數(shù)r的絕對值大到一定程度時，才可以用回歸直線來近似地表示變量x和y之間的關(guān)系，即可以認(rèn)為x與y成線性關(guān)系。因此，要有一個標(biāo)準(zhǔn)，在這個標(biāo)準(zhǔn)之上，就可以認(rèn)為x與y線性關(guān)系顯著。線性關(guān)系顯著的標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)據(jù)點的個數(shù)有關(guān)，下面我們給出兩個變量達(dá)到線性關(guān)系顯著標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)系數(shù)的最小值（此值還與顯著性水平有關(guān)，這里列出的是顯著性水平a=0.01時的相關(guān)系數(shù)的最小值）。下表中n為數(shù)據(jù)點個數(shù)，r為相關(guān)系數(shù)的最小值。n34567891011r1.0000.9900.9590.9170.8740.8340.7980.7650.735n121314151617181920r0.7080.6840.6610.6410.6230.6060.5900.5750.561下面用一個很簡單的例子來說明線性回歸法處理實驗數(shù)據(jù)的具體做法。在研究導(dǎo)體上的電流I和導(dǎo)體兩端的電壓U的關(guān)系時，得到如下數(shù)據(jù)：U（伏）0.400.600.800.951.101.301.602.00I（毫安）2.784.105.146.107.458.8610.8213.10(1)對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸處理 （2）計算相關(guān)系數(shù)及誤差（3）根據(jù)以上計算，可以得到下列結(jié)論①電流I和電壓U的相關(guān)系數(shù)為0.9988,因為0.9988>0.834,因此是顯著相關(guān)，說明I和U成線性關(guān)系。②回歸直線的截距b=0.06953,而，因此可以認(rèn)為回歸直線過原點，說明I和U成正比。③導(dǎo)體的電阻

因此溫度和氣體分子運(yùn)動論§1。1溫度1．1．1、平衡態(tài)、狀態(tài)參量溫度是表示物體冷熱程度的物理量。凡是跟溫度有關(guān)的現(xiàn)象均稱為熱現(xiàn)象。熱現(xiàn)象是自然界中的一種普遍現(xiàn)象。熱學(xué)是研究熱現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)。熱學(xué)研究的對象都是由大量分子組成的宏觀物體，稱為熱力學(xué)系統(tǒng)或簡稱系統(tǒng)。在不受外界影響的條件下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不再隨時間變化的狀態(tài)稱為平衡態(tài)，否則就稱為非平衡態(tài)?？梢娤到y(tǒng)平衡態(tài)的改變依賴于外界影響(作功、傳熱)。系統(tǒng)處于平衡態(tài)，所有宏觀物理都具有確定的值，我們就可以選擇其中幾個物理量來描述平衡態(tài)，這幾個量稱為狀態(tài)參量。P、V、T就是氣體的狀態(tài)參量。氣體的體積V是指盛放氣體的容器的容積，國際單位制中，體積的單位是m。1m=103L=10cm氣體的壓強(qiáng)P是氣體作用在容器的單位面積器壁上的平均壓力，單位是p。1atm=76cmHg=1.01310p1mmHg=133.3p1．1．2、溫標(biāo)溫度的數(shù)值表示法稱為溫標(biāo)。建立溫標(biāo)的三要素是：1、選擇某種物質(zhì)的一個隨溫度改變發(fā)生單調(diào)顯著變化的屬性來標(biāo)志溫度，制作溫度計。例如液體溫度計T(V)、電阻溫度計T(R)、氣體溫度計T(P)、T(V)等等。這種選用某種測溫物質(zhì)的某一測溫屬性建立的溫標(biāo)稱為經(jīng)驗溫標(biāo)。2、規(guī)定固定點，即選定某一易于復(fù)現(xiàn)的特定平衡態(tài)指定其溫度值。1954年以前，規(guī)定冰點為0℃，汽點為100℃，其間等分100份，從而構(gòu)成舊攝氏溫標(biāo)。1954年以后，國際上選定水的三相點為基本固定點，溫度值規(guī)定為273.16K。這樣0℃與冰點，100℃與汽點不再嚴(yán)格相等，百分溫標(biāo)的概念已被廢棄。3、規(guī)定測溫屬性隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系。如果某種溫標(biāo)(例如氣體溫度計)選定為線性關(guān)系，由于不同物質(zhì)的同一屬性或者同一物質(zhì)的不同屬性隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系不會相同，因而其它的溫標(biāo)就會出現(xiàn)非線性的函數(shù)關(guān)系。1．1．3、理想氣體溫標(biāo)定容氣體溫度計是利用其測溫泡內(nèi)氣體壓強(qiáng)的大小來標(biāo)志溫度的高低的。T(P)=P是比例系數(shù)，對水的三相點有T=P=273.16KP是273.16K時定容測溫泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)。于是T(P)=273.16K(1)同樣，對于定壓氣體溫度計有T(V)=273.16K(2)是273.16K時定壓測溫泡內(nèi)氣體的體積。用不同溫度計測量同一物體的溫度，除固定點外，其值并不相等。對于氣體溫度計也有。但是當(dāng)測溫泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)趨于零時，所有氣體溫度計，無論用什么氣體，無論是定容式的還是定壓式的，所測溫度值的差別消失而趨于一個共同的極限值，這個極限值就是理想氣體溫標(biāo)的值，單位為K，定義式為T=T(V)=T(P)=273.16K=273.16K(3)1．1．4、熱力學(xué)溫標(biāo)理想氣體溫標(biāo)雖與氣體個性無關(guān)，但它依賴于氣體共性即理想氣體的性質(zhì)。利用氣體溫度計通過實驗與外推相結(jié)合的方法可以實現(xiàn)理想氣體溫標(biāo)。但其測溫范圍有限(1K～1000℃)，T＜1K，氣體早都已液化，理想氣體溫標(biāo)也就失去意義。國際上規(guī)定熱力學(xué)溫標(biāo)為基本溫標(biāo)，它完全不依賴于任何測溫物質(zhì)的性質(zhì)，能在整個測溫范圍內(nèi)采用，具有“絕對”的意義，有時稱它為絕對溫度。在理想氣體溫標(biāo)適用的范圍內(nèi)，熱力學(xué)溫標(biāo)與理想氣體溫標(biāo)是一致的，因而可以不去區(qū)分它們，統(tǒng)一用T(K)表示。國際上還規(guī)定攝氏溫標(biāo)由熱力學(xué)溫標(biāo)導(dǎo)出。其關(guān)系式是：t=T-273.15(4)這樣，新攝氏溫標(biāo)也與測溫物質(zhì)性質(zhì)無關(guān)，能在整個測溫范圍內(nèi)使用。目前已達(dá)到的最低溫度為510K，但是絕對零度是不可能達(dá)到的。例1、定義溫標(biāo)t與測溫參量X之間的關(guān)系式為t=ln(kX),k為常數(shù)試求：(1)設(shè)X為定容稀薄氣體的壓強(qiáng)，并假定水的三相點，試確定t與熱力學(xué)溫標(biāo)之間的關(guān)系。(2)在溫標(biāo)t中，冰點和汽點各為多少度；(3)在溫標(biāo)t中，是否存在零度？解：(1)設(shè)在水三相點時，X之值是，則有273．16=In(kX)將K值代入溫標(biāo)t定義式，有(2)熱力學(xué)溫標(biāo)可采用理想氣體溫標(biāo)定義式，X是定容氣體溫度計測溫泡中稀薄氣體壓強(qiáng)。故有(3)因測溫物質(zhì)是定容稀薄氣體，故滿足X→0的要求，因而(2)式可寫成(4)這是溫標(biāo)與溫標(biāo)T之間關(guān)系式。(2)在熱力學(xué)溫標(biāo)中，冰點，汽點。在溫標(biāo)中其值分別為(3)在溫標(biāo)中是否存在零度？令=0，有低于1K任何氣體都早已液化了，這種溫標(biāo)中=0的溫度是沒有物理意義的?！?-2氣體實驗定律1．2．1、玻意耳定律一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度保持不變時，它的壓強(qiáng)和體積的乘積是一個常數(shù)，式中常數(shù)C由氣體的種類、質(zhì)量和溫度決定。PV貯氣筒PV貯氣筒b圖1-2-1簡單抽氣機(jī)的構(gòu)造由圖1-2-1示意，它由一個活塞和兩個閥門組成。當(dāng)活塞向上提升時，a閥門打開，貯氣筒與抽氣機(jī)相通，氣體膨脹減壓，此時b閥門被關(guān)閉。當(dāng)活塞向下壓縮時，b閥門打開，a閥門關(guān)閉，抽氣機(jī)內(nèi)的氣體被壓出抽氣機(jī)，完成一次抽氣。貯氣筒被抽氣的過程，貯氣筒內(nèi)氣體質(zhì)量不斷在減小，氣體壓強(qiáng)也不斷減小。設(shè)第一次抽氣后貯氣筒內(nèi)氣壓，第n次抽氣后貯氣筒內(nèi)氣壓，則有：整理得PV貯氣筒b圖PV貯氣筒b圖1-2-2塞上提時，a閥門打開，b閥門關(guān)閉，外界空氣進(jìn)入壓氣機(jī)中，活塞下壓時，壓氣機(jī)內(nèi)空氣被壓入貯氣筒，而此時閥門a是關(guān)閉的，這就完成了一次壓氣過程。每次壓氣機(jī)壓入貯氣筒的氣體是，故1．2．2、蓋—呂薩克定律一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時，溫度每升高1℃，其體積的增加量等于0℃時體積的。若用表示0℃時氣體的體積，V表示t℃的體積，則。若采用熱力學(xué)溫標(biāo)，則273+t為攝氏溫度t℃。所對應(yīng)的熱力學(xué)溫度T，273為0℃所對應(yīng)的熱力學(xué)溫度。于是，蓋—呂薩克定律可寫成。若溫度為T時，體積為；溫度為時，體積為，則有或。故蓋—呂薩克定律也可表達(dá)為：一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)壓強(qiáng)保持不變時，它的體積與熱力學(xué)溫標(biāo)成正比。1．2．3、查理定律一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)體積保持不變時，它的壓強(qiáng)與熱力學(xué)溫度成正比式中常數(shù)C由氣體的種類、質(zhì)量和體積決定。汞柱移動問題的討論：一根兩端封閉、粗細(xì)均勻的石英管，豎直放置。內(nèi)有一段水銀柱，將管隔成上下兩部分。下方為空氣，上方為一種可分解的雙原子分子氣體。該雙原子分子氣體的性質(zhì)為：當(dāng)＞時，其分子開始分解為單原子分子(仍為氣體)。用表示時的雙原子分子數(shù)，表示時分解了的雙原子分子數(shù)，其分解規(guī)律為當(dāng)△T很小時，有如下關(guān)系：。已知初始溫度為，此時下方的氣柱長度為，上方氣柱長度為，水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)為下方氣壓的倍。試討論當(dāng)溫度由開始緩慢上升時，水銀柱將上升還是下降。假設(shè)水銀柱不動。當(dāng)溫度為時，下方氣體壓強(qiáng)為，溫度升至，氣體壓強(qiáng)。水銀柱壓強(qiáng)為，故當(dāng)T=時，上方氣體壓強(qiáng)為，當(dāng)溫度升至，有個雙原子氣體分子分解為個單原子氣體分子，故氣體分子數(shù)由增至個。令此時壓強(qiáng)為，管橫截面積為S，則有：解得，因△T很小，故項起主導(dǎo)作用，而項的影響較之第一項要小得多，故從分析如下：①當(dāng)＞時，＜0時，水銀柱上升，②當(dāng)＜時，＞0水銀柱下降。③當(dāng)=時，＞0水銀柱下降。以上三個實驗定律只能反映實驗范圍內(nèi)的客觀事實，它們都具有一定的近似性和局限性。對于一般的氣體，只有當(dāng)壓強(qiáng)不太大，溫度不太低時，用三個定律求出的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)才符合得很好。如果壓強(qiáng)很大或溫度很低時，用這三個定律求出的結(jié)果與實驗結(jié)果就會有很大的偏差。1．2．4、理想氣體它是能夠準(zhǔn)確遵守氣體實驗定律的一個氣體的理論模型。對查理得律，設(shè)P和分別表示和時氣體壓強(qiáng)，則有，對蓋—呂薩拉定律，設(shè)和分別表示和時氣體的體積，則有，PoLo圖1-2-3PoLo圖1-2-3n0例1、一個質(zhì)量m=200.0kg、長=2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬曠的水池底部(圖1-2-3)桶內(nèi)的橫截面積(桶的容積為)，桶本身(桶壁與桶底)的體積，桶內(nèi)封有高度的空氣，池深，大氣壓強(qiáng)水柱高，水的密度，重力加速度g取。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底能到達(dá)水面處，則繩拉力所需做的功有一最小值，試求從開始到繩拉力剛完成此功的過程中，桶和水(包括池水和桶內(nèi)水)的機(jī)械能改變了多少(結(jié)果要保留三位有效數(shù)字)。不計水阻力，設(shè)水溫很低，不計其飽和蒸氣壓的影響，并設(shè)水溫上下均勻且保持不變。解：在上提過程中，桶內(nèi)空氣壓強(qiáng)減小，體積將增大，從而對桶和桶內(nèi)空氣(空氣質(zhì)量不計)這一整體的浮力將增大。本題若存在桶所受浮力等于重力的位置，則此位置是桶的不穩(wěn)定平衡點，再稍上提，浮力將大于重力，桶就會上浮。從這時起，繩不必再拉桶，桶會在浮力作用下，上浮到桶底到達(dá)水面并冒出。因此繩對桶的拉力所需做的最小功的過程，就是緩慢地將桶由池底提高到浮力等于重力的位置所歷的過程。HL`圖1-2-4下面先看這一位置是否存在。如果存在的話，如圖1-2-4HL`圖1-2-4(1)代入已知數(shù)據(jù)可得(2)設(shè)此時桶的下邊緣距池底的高度H，由?！R定律可知(3)由(2)、(3)式得到H=12.24m(4)因為H＜，即整個桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置?，F(xiàn)在要求將桶由池底緩慢地提高到H處桶及水的機(jī)械能的增量△E?！鱁包括三部分：(1)桶勢能的增量；(2)在H高時桶本身排開的水可看作下降去填充在池底時桶本身所占空間而引起水勢能的增量；(3)在H高度時桶內(nèi)空氣所排開的水，可看作一部分下降去填充在池底時空氣所占的空間，由于空氣膨脹的那部分上升到水池表面，由此引起水勢的增量。則；；。

§1-3理想氣體狀態(tài)方程1．3．1、理想氣體狀態(tài)方程反映氣體在平衡態(tài)下狀態(tài)參量之間規(guī)律性聯(lián)系的關(guān)系式稱為氣態(tài)方程。我們知道，理想氣體狀態(tài)方程可在氣體實驗定律的基礎(chǔ)上得到，一定質(zhì)量的理想氣體的兩平衡參量之間的關(guān)系式為（5）在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，，1mol任何氣體的體積m3mol-1。因此vmol氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的體積為，由(5)式可以得出：由此得到理想氣體狀態(tài)方程或稱克拉珀龍方程：式中R稱為摩爾氣體恒量，它表示1mol氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀況的的值，其值為推論：1、1mol的任何物質(zhì)含有的粒子數(shù)，這稱為阿伏伽德羅常數(shù)。設(shè)質(zhì)量為m、摩爾質(zhì)量為M的氣體，其分子數(shù)為N，則此氣體的摩爾數(shù)為(6)同時引用玻耳茲曼常數(shù)k的物理意義：1個分子在標(biāo)況下的。將(6)式代入(5)式，可以得到(7)或者 (8)2、氣體密度：由(5)式可以得到(9)例如空氣的平均摩爾質(zhì)量，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣密度為由(5)式可知，對于理想氣體，可應(yīng)用氣態(tài)方程的另一形式，為(10)3、氣體的分合關(guān)系：無論是同種還是異種理想氣體，將質(zhì)量為m，狀態(tài)為PVT的理想氣體被分成若干部分()時，則有(11)1．3．2、混合理想氣體狀態(tài)方程1、道爾頓分壓定律指出：混合氣體的壓強(qiáng)等于各組分的分壓強(qiáng)之和。這條實驗定律也只適用于理想氣體。即(12)其中每一部分的氣態(tài)方程為(13)混合理想體氣狀態(tài)方程與單一成分的理想氣體狀態(tài)方程形式相同，但M為平均摩爾質(zhì)量。(14)由于混合氣體的摩爾數(shù)應(yīng)是各組分的摩爾數(shù)之和。因此混合氣體的平均摩爾質(zhì)量M有(15)由(1-20)式和(1-19)式可得混合氣體的分壓強(qiáng)：(16)1．3．3、混合氣體的狀態(tài)方程如果有n種理想氣體，分開時的狀態(tài)分別為(、、)，(、、)，…，(、、)，將它們混合起來后的狀態(tài)為P、V、T，那么，有如果是兩部分氣體混合后再分成的部分，則有例1、一根一端封閉的玻璃管長96cm，內(nèi)有一段20cm的水銀柱。當(dāng)溫度為27C且開口端向上時，被封閉的氣柱長60cm。試問溫度至少為多少度，水銀柱才可從管中全部溢出。解：設(shè)氣體溫度為T時，管內(nèi)的水銀柱高度為x，x＜20cm，大氣壓強(qiáng)。(1)得到(2)其中P以cmHg為單位，長度以cm為單位。要求x有實數(shù)解的條件400+4×(76×96-)≥0可見≤，≥時，管內(nèi)氣體可以形成平衡狀態(tài)。反之，T＞因而x＜時，管內(nèi)氣體壓強(qiáng)總是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡態(tài)無法建立而導(dǎo)致非平衡狀態(tài)，水銀柱將全部溢出。例2、設(shè)在恒溫0℃下，測得三甲胺的密度隨壓強(qiáng)變化的數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)要求三甲胺的摩爾質(zhì)量。0.20.40.60.80.53361.07901.63632.2054解：為了準(zhǔn)確測定氣體的摩爾質(zhì)量，必須把實際氣體的壓強(qiáng)外推到零(P→0)時應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程，即由(1-15)式有(1)為了求出P→0時()的極限值，可將上述數(shù)據(jù)作如下變換：0.20.40.60.82.66802.69752.72722.7568現(xiàn)以為縱坐標(biāo)，P為橫作標(biāo)，作出-P圖形(圖1-3-1)，將圖中曲線外推到P→0得到2.752.702.652.602.752.702.652.600.80.60.40.20P(atm)圖1-3-1即三甲胺的分子量為59.14。§1.4氣體分子運(yùn)動論1.4.1、分子運(yùn)動論的基本點1、宏觀物體由大量分子組成。分子直徑的數(shù)量級一般為，分子質(zhì)量為。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氣體分子的數(shù)密度為2、物體內(nèi)的分子永不停息地作無規(guī)則運(yùn)動。這是根據(jù)布朗運(yùn)動和擴(kuò)散現(xiàn)象得出的結(jié)論。實驗表明擴(kuò)散的快慢和布朗運(yùn)動的激烈程度與溫度的高低有明顯的關(guān)系。由此常把大量子的無規(guī)則運(yùn)動稱為熱運(yùn)動，熱運(yùn)動是物質(zhì)運(yùn)動的一種基本形式，熱現(xiàn)象是它的宏觀表現(xiàn)。氣體分子熱運(yùn)動的平均速率與溫度的關(guān)系為常溫下，。3、分子之間存在的相互作用力。分子之間同時存在引力和斥力，它們都隨距離的增大而減小。其合力具體表現(xiàn)為相吸引還是相排斥，取決于分子間的距離。當(dāng)時，合力為零，分子間的距離的位置稱為平衡位置；當(dāng)r＞時，分子力表現(xiàn)引力；當(dāng)r＜時，分子力表現(xiàn)為斥力；當(dāng)r＞時，分子力可忽略不計。分子力是保守力，存在著由分子和分子間相對位置所決定的勢能稱為分子力勢能。分子力和熱運(yùn)動是決定物體宏觀性質(zhì)的基本因素。分子力作用傾向于使分子聚集一起，在空間形成某種有序排列；熱運(yùn)動卻力圖造成混亂存在向外擴(kuò)散的趨勢。1．4．2、理想氣體的微觀模型先來作個估算：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1mol氣體體積，分子數(shù)，若分子直徑，則分子間的平均間距，相鄰分子間的平均間距與分子直徑相比。由此可知，氣體分子間的距離比較大，在處理某些問題時，可以把氣體分子視為沒有大小的質(zhì)點；同時可以認(rèn)為氣體分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不計，分子在空間自由移動，也沒有分子勢能。因此理想氣體是指分子間沒有相互作用和分子可以看作質(zhì)點的氣體。這一微觀模型與氣體愈稀薄愈接近于理想氣體的宏觀概念是一致的。1．4．3、理想氣體的壓強(qiáng)宏觀上測量的氣體施給容器壁的壓強(qiáng)，是大量氣體分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果。在通常情況下，氣體每秒碰撞的器壁的分子數(shù)可達(dá)。在數(shù)值上，氣體的壓強(qiáng)等于單位時間內(nèi)大量分子施給單位面積器壁的平均沖量。其表達(dá)式為式中n是分子數(shù)密度，是分子的平均平動動能，n和增大，意味著單位時間內(nèi)碰撞單位面積器壁的分子數(shù)增多，分子碰撞器壁一次給予器壁的平均沖量增大，因而氣體的壓強(qiáng)增加。1．4．4、溫度的微觀意義將式代入式后，可以得到氣體分子的平均平動動能為這被稱為氣體溫度公式，溫度升高，分子熱運(yùn)動的平均平動動能增大，分子熱運(yùn)動加劇。因此，氣體的溫度是氣體分子平均平動能的標(biāo)志，是分子熱運(yùn)動劇烈程度的量度。圖1-4-1例1、質(zhì)量為的圓筒水平地放置在真空中。質(zhì)量、厚度可忽略的活塞將圓筒分為體積相同的兩部分(圖1-4-1)，圓筒的封閉部分充有n摩爾的單原子理想氣體，氣體的摩爾質(zhì)量為M，溫度為，突然放開活塞，氣體逸出。試問圓筒的最后速度是多少？設(shè)摩擦力、圓筒和活塞的熱交換以及氣體重心的運(yùn)動均忽略不計。(，，，氦的摩爾質(zhì)量為，，)圖1-4-1解：過程的第一階段是絕熱膨脹，膨脹到兩倍體積后(圖1-4-2)溫度將是T。根據(jù)絕熱方程，有因此：圓筒和活塞的總動能等于氣體內(nèi)能的損失，即根據(jù)動量守恒定律，解上述方程，得過程第一階段結(jié)束時的圓筒速度：。m1m2m1m2圖1-4-2我們把坐標(biāo)系設(shè)置在圓筒上。所給的是一個在真空中開口的圓筒，筒內(nèi)貯有質(zhì)量為、溫度為T的氣體。顯然，氣體將向左上方流動，并推動圓筒向右以速度運(yùn)動。氣體分子的動能由下式給出：