2024-2025高中物理奧賽解題方法：十一.圖象法含答案

2024-2025高中物理奧賽解題方法：十一.圖象法十一、圖象法方法簡(jiǎn)介圖象法是根據(jù)題意把抽象復(fù)雜的物理過(guò)程有針對(duì)性地表示成物理圖象，將物理量間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀侮P(guān)系，運(yùn)用圖象直觀、形象、簡(jiǎn)明的特點(diǎn)，來(lái)分析解決物理問(wèn)題，由此達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的，圖象法在處理某些運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，變力做功問(wèn)題時(shí)是一種非常有效的方法。賽題精講圖11—1例1：一火車(chē)沿直線軌道從靜止發(fā)出由A地駛向B地，并停止在B地。A、B兩地相距s，火車(chē)做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度最大為a1，做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度的絕對(duì)值最大為a2，由此可可以判斷出該火車(chē)由A到B所需的最短時(shí)間為。解析：整個(gè)過(guò)程中火車(chē)先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度最大時(shí)，所用時(shí)間最短，分段運(yùn)動(dòng)可用圖象法來(lái)解。根據(jù)題意作v—t圖，如圖11—1所示。由圖可得：a1=①a2=②s=v(t1+t2)=vt③由①、②、③解得：t=圖11—2例2：兩輛完全相同的汽車(chē)，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度為v0，若前車(chē)突然以恒定的加速度剎車(chē)，在它剛停住時(shí)，后車(chē)以前車(chē)剎車(chē)時(shí)的加速度開(kāi)始剎車(chē)。已知前車(chē)在剎車(chē)過(guò)程中所行的距離為s，若要保證兩輛車(chē)在上述情況中不相碰，則兩車(chē)在做勻速行駛時(shí)保持的距離至少為（）A、sB、2sC、3sD、4s解析：物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位移可用速度—時(shí)間圖象中的面積來(lái)表示，故可用圖象法做。作兩物體運(yùn)動(dòng)的v—t圖象如圖11—2所示，前車(chē)發(fā)生的位移s為三角形v0Ot的面積，由于前后兩車(chē)的剎車(chē)加速度相同，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，后車(chē)發(fā)生的位移為梯形的面積S′=3S，兩車(chē)的位移之差應(yīng)為不相碰時(shí)，兩車(chē)勻速行駛時(shí)保持的最小車(chē)距2s。所以應(yīng)選B。例3：一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1=1m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為v1=20cm/s，問(wèn)當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點(diǎn)時(shí)，其速度大小v2=?老鼠從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用圖11—3的時(shí)間t=?解析：因?yàn)槔鲜髲睦鲜蠖囱刂本€爬出，已知爬出的速度與通過(guò)的距離成反比，則不能通過(guò)勻速運(yùn)動(dòng)、勻變速運(yùn)動(dòng)公式直接求解，但可以通過(guò)圖象法求解，因?yàn)樵凇猻圖象中，所圍面積即為所求的時(shí)間。以距離s為橫軸，為縱軸建立直角坐標(biāo)系，則s與成正比，作—s圖象如圖11—3所示，由圖可得s=2m時(shí)，老鼠的速度為10cm/s。在1m到2m之間圖象與橫軸包圍的面積即為所求的時(shí)間，所以老鼠從A到B爬行的時(shí)間為：t=(+)×=7.5s。圖11—4例4：在一汽缸的活塞下面封閉有μ摩爾理想氣，由于受到驟然加熱，氣體迅速膨脹，且膨脹過(guò)程中其熱力學(xué)溫度與其體積的平方成正比，即T=KV2。在其體積由V1膨脹至V2的過(guò)程中，氣體從外界吸收的熱量為Q1，試求此過(guò)程中氣體的內(nèi)能增加了多少？解析：求此過(guò)程中氣體的內(nèi)能增加了多少，要用熱力學(xué)第一定律，由已知條件可知，關(guān)鍵是要求出氣體對(duì)外做了多少功，而功可用p—V圖象中所圍的面積來(lái)計(jì)算。以缸內(nèi)氣體為研究對(duì)象，根據(jù)克拉珀龍方程：pV=μRt①又由已知條件有：T=KV2②①、②兩式可得：p=μRKV可見(jiàn)氣體膨脹時(shí)，其壓強(qiáng)p與體積V成正比例。因此作p—V圖，如圖11—4所示，圖中陰影區(qū)的面積表示氣體在此過(guò)程中，對(duì)外所做的功W。W=(V2－V1)=μRK(－)再由熱力學(xué)第一定律，可知此過(guò)程中氣體內(nèi)能的增加量為：圖11—5ΔE=Q1－W=Q1－μRK(－)例5：如圖11—5所示，在一個(gè)開(kāi)有小孔的原來(lái)不帶電的導(dǎo)體球殼中心O點(diǎn)，有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，球殼的內(nèi)外表面半徑分別為a和b，欲將電荷Q通過(guò)小孔緩慢地從O點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處，應(yīng)當(dāng)做功多少？解析：球內(nèi)、外表面上的感應(yīng)電荷的電量隨著放在球心的電荷電量的改變而改變，感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電勢(shì)U=KQ感(－)，也與感應(yīng)電荷的電量Q感成正比，利用U—Q感的圖象也可以求出外力做的功。感應(yīng)電荷在球心O處產(chǎn)生的電勢(shì)為U0，則：圖11—5甲U0=KQ感(－)作出U—Q感的圖象如圖11—5甲所示，假設(shè)電量Q是一份一份地從無(wú)窮遠(yuǎn)處移到球心，而球內(nèi)外表面上的感應(yīng)電荷Q感隨球心處的電荷增加而增加，在此過(guò)程中移動(dòng)電荷所做的功就應(yīng)等于U1—Q感圖象中陰影部分所示的三角形的面積，則有：W=Q感U當(dāng)Q感=Q時(shí)，U=U0=KQ(－)那么移走Q時(shí)所做的功應(yīng)為(－)，所以：W=(－)例6：電源電動(dòng)勢(shì)為ε，內(nèi)電阻為r，試求其外電阻為何值時(shí)，電源的輸出功率最大？圖11—6解析：根據(jù)全電路歐姆定律得ε=U+Ir，由此可知當(dāng)ε、r不變時(shí)，U隨I線性變化，作U—I圖，圖中所圍面積為功率。設(shè)電源的輸出電流為I，路端電壓為U，由于U=ε－Ir，故作U—I圖如圖11—6所示，以AB線上任意一點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)為相對(duì)頂點(diǎn)所圍成的矩形的面積為：S=IU顯然S表示此時(shí)電源對(duì)應(yīng)的輸出功率，要使電源的輸出功率最大，即要此矩形的面積最大，由幾何知識(shí)得，當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)位于AB線段中點(diǎn)C處的矩形面積最大，從圖中可得：U=ε①根據(jù)歐姆定律有：U=R②圖11—7圖11—7甲由①、②解得：R=r即當(dāng)外電阻R+r時(shí)，電源的輸出功率最大，其最大值為：例7：在11—7圖中，安培表的讀數(shù)為I1=20mA。如果電池εx反向聯(lián)結(jié)，電流增加到I2=35mA。如果電燈發(fā)生短路時(shí)，電路中的電流I等于多少？燈泡的伏安特性曲線如圖11—7甲所示。解析：題目中給出ε1的數(shù)值為9V，εx的大小不確定。當(dāng)εx從正向變?yōu)榉聪蚵?lián)結(jié)時(shí)，回路的總電動(dòng)勢(shì)增大，在εx＜ε1和εx＞ε1的兩種情況下，I2都有可能增加。所以要分兩種情況討論。由燈泡的伏安特性曲線可知：當(dāng)I1=20mA時(shí)，有U燈1=3V，I2=35mA時(shí)，U燈2=9V。設(shè)兩個(gè)電源的內(nèi)阻與電流表內(nèi)阻總和為R內(nèi)，根據(jù)回路電壓方程有：（1）當(dāng)ε1＞εx時(shí)，有：ε1－εx－U燈1=I1R內(nèi)①εx反向時(shí)，有：ε1+εx－U燈2=I2R內(nèi)②由①+②得：2ε1－U燈1－U燈2=(I1+I2)R內(nèi)所以：R內(nèi)=Ω將③式代入①式得：εx=3.8V③短路瞬間，可視電燈兩端電壓為零，所以原電路中的電流：=0.048A（2）當(dāng)ε1＜εx時(shí)，有：εx－ε1－U燈1=I1R內(nèi)④εx反向時(shí)，有：εx+ε1－U燈2=I2R內(nèi)⑤⑤—④得：2ε1－2U燈2+U燈1=(I2－I1)R內(nèi)所以：R內(nèi)=Ω⑥將⑥式代入④式得：εx=28V當(dāng)回路短路時(shí)，電流為：==0.024A例8：如圖11—8所示，電源ε=12.0V，內(nèi)電阻r=0.6Ω，滑動(dòng)變阻器與定值電阻R0（R0=2.4Ω）串聯(lián)，當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑片P滑到適當(dāng)位置時(shí)，滑動(dòng)變阻器的發(fā)熱功率為9.0W，求這時(shí)滑動(dòng)變阻器aP部分的阻值Rx。圖11—8圖11—8甲解析：由閉合電路歐姆定律作aP兩端的Uap—I圖象，因圖上任意一點(diǎn)的Uap與I所對(duì)應(yīng)的矩形面積是外電路電阻Rx的輸出功率，從而由已知Rx的功率求出對(duì)應(yīng)的Rx值。根據(jù)閉合電路歐姆定律U=ε－Ir得：Uap=12－(0.6+2.4)I=12－3I，作Uap—I圖象如圖11—8甲所示，由圖可分析找到滑動(dòng)變阻器的發(fā)熱功率為9W的A點(diǎn)和B點(diǎn)，所以Rx有兩個(gè)值：圖11—9Rx1=90Ω，Rx1=90Ω例9：如圖11—9所示，一寬40cm的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。一邊長(zhǎng)為20cm的正方形導(dǎo)線框位于紙面內(nèi)，以垂直于磁場(chǎng)邊界的恒定速度v=20cm/s通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線框有一邊始終與磁場(chǎng)區(qū)域的邊界平行。取它剛進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)刻t=0，在下列圖線中，正確反映感應(yīng)電流隨時(shí)間變化規(guī)律的是圖11—9甲中的哪一個(gè)（）圖11—9甲解析：可將切割磁感應(yīng)線的導(dǎo)體等效為電源按閉合電路來(lái)考慮，也可以直接用法拉第電磁感應(yīng)定律按閉合電路來(lái)考慮。半導(dǎo)線框部分進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，有恒定的感應(yīng)電流，當(dāng)整體全部進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，無(wú)感應(yīng)電流，當(dāng)導(dǎo)線框部分離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，又能產(chǎn)生相反方向的感應(yīng)電流。所以應(yīng)選C。圖11—10例10：LC振蕩回路中電容器兩端的電壓U隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖11—10所示，則（）A、在時(shí)刻t1，電路中的電流最大B、在時(shí)刻t2，電路中磁場(chǎng)能最大C、從時(shí)刻t2至t3，電路中的電場(chǎng)能不斷增大D、從時(shí)刻t3至t4，電容的帶電量不斷增大解析：在電磁振蕩中，電路中的電流、磁場(chǎng)能、電容器的帶電量、電場(chǎng)能都隨時(shí)間做周期性的變化，但步調(diào)不同。電流和磁場(chǎng)能總是同步調(diào)變化，電壓、電量和電場(chǎng)能也是同步調(diào)變化的。但電流和電容器的帶電量步調(diào)不同。電流為零時(shí)電量最大，故BC正確。針對(duì)訓(xùn)練1．汽車(chē)甲沿著平直的公路以速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)它路過(guò)某處的同時(shí)，該處有一輛汽車(chē)乙開(kāi)始做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)去追趕甲車(chē)。根據(jù)上述的已知條件（）A、可求出乙車(chē)追上甲車(chē)時(shí)乙車(chē)的速度B、可求出乙車(chē)追上甲車(chē)時(shí)乙車(chē)所走的路程C、可求出乙車(chē)從開(kāi)始起動(dòng)到追上甲車(chē)時(shí)所用的時(shí)間D、不能求出上述三者中任何一個(gè)2．一物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻速度的大小為4米/秒，1秒鐘后速度的大小變?yōu)?0米/秒。在這1秒鐘內(nèi)該物體的（）A、位移的大小可能小于4米 B、位移的大小可能大于10米C、加速度的大小可能小于4米/秒2 D、加速度的大小可能大于10米/秒23．在有空氣阻力的情況下，以初速v1豎直上拋一個(gè)物體，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1到達(dá)最高點(diǎn)。又經(jīng)過(guò)時(shí)間t2，物體由最高點(diǎn)落回到拋出點(diǎn)，這時(shí)物體的速度為v2，則（）A、v2=v1，t2=t1 B、v2＞v1，t2＞t1C、v2＜v1，t2＞t1 D、v2＜v1，t2＜t14．（）圖11—11（1）表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度a隨時(shí)間t變化關(guān)紗的a—t圖；（2）表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移x隨時(shí)間t變化關(guān)系的x—t圖。5．物體從某一高度由靜止開(kāi)始滑下，第一次經(jīng)光滑斜面滑至底端時(shí)間為t1，第二次經(jīng)過(guò)光滑曲面ACD滑至底端時(shí)間為t2，如圖11—12所示，設(shè)兩次通過(guò)的路程相等，試比較t1與t2的大小關(guān)系。圖11—12圖11—136．兩光滑斜面高度相等，乙斜面的總長(zhǎng)度和甲斜面的總長(zhǎng)度相等，只是由兩部分接成，如圖11—13所示。將兩個(gè)相同的小球從斜面的頂端同時(shí)釋放，不計(jì)在接頭處的能量損失，問(wèn)哪個(gè)先滑到底端。7．A、B兩點(diǎn)相距s，將s平分為n等份。今讓一物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始向B做加速運(yùn)動(dòng)，但每過(guò)一個(gè)等分點(diǎn)，加速度都增加，試求該物體到達(dá)B點(diǎn)的速度。8．質(zhì)量m=1kg的物體A開(kāi)始時(shí)靜止在光滑水平地面上，在第1、3、5、…奇數(shù)秒內(nèi)，給A施加同向的2N的水平推力F，在2、4、6、…偶數(shù)秒內(nèi)，不給施加力的作用，問(wèn)經(jīng)多少時(shí)間，A可完成s=100m的位移。9．沿光滑水平面在同一條直線上運(yùn)動(dòng)的A、B兩物體相碰后共同運(yùn)動(dòng)，該過(guò)程的位移圖象如圖11—14所示。可以得出A、B的質(zhì)量比為。圖11—14圖11—1510．一均勻的直角三角形木板ABC，可繞垂直紙面通過(guò)C點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖11—15所示?，F(xiàn)用一始終沿直角邊AB的、作用于A點(diǎn)的力F使BC邊緩慢地由水平位置轉(zhuǎn)至豎直位置，在此過(guò)程中，力F的大小隨角α變化的圖線是圖11—15甲中的（）圖11—15甲11．火車(chē)重為G，恒定牽引力為F，阻力為f。當(dāng)它從靜止出發(fā)，由車(chē)站沿直線駛過(guò)s距離到另一站停止，如果途中不用剎車(chē)。（1）求車(chē)行駛的最少時(shí)間是多少？（2）途中最大速度是多少？參考答案1、A2、AD3、C4、如圖所示：5、t1＞t26、乙圖中小球先到底端7、vB==8、13.64s9、2∶110、D11、t=，vm=四、等效法方法簡(jiǎn)介在一些物理問(wèn)題中，一個(gè)過(guò)程的發(fā)展、一個(gè)狀態(tài)的確定，往往是由多個(gè)因素決定的，在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，而對(duì)過(guò)程的發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結(jié)果并不影響，這種以等效為前提而使某些因素互相代替來(lái)研究問(wèn)題的方法就是等效法。等效思維的實(shí)質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題變換為簡(jiǎn)單的熟悉問(wèn)題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律。因此應(yīng)用等效法時(shí)往往是用較簡(jiǎn)單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化而便于求解。賽題精講例1：如圖4—1所示，水平面上，有兩個(gè)豎直的光滑墻壁A和B，相距為d，一個(gè)小球以初速度v0從兩墻之間的O點(diǎn)斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次彈性碰撞后，正好落回拋出點(diǎn)，求小球的拋射角θ。解析：將彈性小球在兩墻之間的反彈運(yùn)動(dòng)，可等效為一個(gè)完整的斜拋運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖）。所以可用解斜拋運(yùn)動(dòng)的方法求解。由題意得：2d=v0cosθt=v0cosθ可解得拋射角：θ=arcsin例2：質(zhì)點(diǎn)由A向B做直線運(yùn)動(dòng)，A、B間的距離為L(zhǎng)，已知質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為v0，加速度為a，如果將L分成相等的n段，質(zhì)點(diǎn)每通過(guò)的距離加速度均增加，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B時(shí)的速度。解析：從A到B的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于加速度均勻增加，故此運(yùn)動(dòng)是非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，而非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，不能用勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式求解，但若能將此運(yùn)動(dòng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)等效代替，則此運(yùn)動(dòng)就可以求解。因加速度隨通過(guò)的距離均勻增加，則此運(yùn)動(dòng)中的平均加速度為：a平====由勻變速運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)出公式得：2a平L=－解得：vB=例3：一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1=1m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為v1=20cm/s，問(wèn)當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點(diǎn)時(shí)，其速度大小v2=？老鼠從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間t=？解析：我們知道當(dāng)汽車(chē)以恒定功率行駛時(shí)，其速度v與牽引力F成反比，即v=，由此可把老鼠的運(yùn)動(dòng)等效為在外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運(yùn)動(dòng)。由此分析，可寫(xiě)出：v==當(dāng)x=s1時(shí)，v=v1將其代入上式求解，得：k==所以老鼠到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度v2=v1=×20=10cm/s再根據(jù)外力做的功等于此等效彈簧彈性勢(shì)能的增加，Pt=k－k代入有關(guān)量可得：Pt=(－)圖4—2由此可解得：t===7.5s（此題也可以用圖像法、類(lèi)比法求解。）例4：如圖4—2所示，半徑為r的鉛球內(nèi)有一半徑為的球形空腔，其表面與球面相切，鉛球的質(zhì)量為M。在鉛球和空腔的中心連線上，距離鉛球中心L處有一質(zhì)量為m的小球（可以看成質(zhì)點(diǎn)），求鉛球?qū)π∏虻囊Α＝馕觯阂驗(yàn)殂U球內(nèi)部有一空腔，不能把它等效成位于球心的質(zhì)點(diǎn)。我們?cè)O(shè)想在鉛球的空腔內(nèi)填充一個(gè)密度與鉛球相同的小鉛球ΔM，然后在對(duì)于小球m對(duì)稱(chēng)的另一側(cè)位置放另一個(gè)相同的小鉛球ΔM，這樣加入的兩個(gè)小鉛球?qū)π∏騧的引力可以抵消，就這樣將空腔鉛球變成實(shí)心鉛球，而結(jié)果是等效的。帶空腔的鉛球?qū)的引力等效于實(shí)心鉛球與另一側(cè)ΔM對(duì)m的引力之和。設(shè)空腔鉛球?qū)的引力為F，實(shí)心鉛球與ΔM對(duì)m的引力分別為F1、F2。則F=F1－F2①經(jīng)計(jì)算可知：ΔM=M，所以：F1=G=②F2=G=③將②、③代入①式，解得空腔鉛球?qū)π∏虻囊椋篎=F1－F2=GmM［－］例5：如圖4-3所示，小球長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時(shí)與擋板碰撞并反向彈回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前速度大小的，求小球從開(kāi)始下滑到最終停止于斜面下端時(shí)，小球總共通過(guò)的路程。圖4—3解析：小球與擋板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，說(shuō)明碰撞過(guò)程中損失能量，每次反彈距離都不及上次大，小球一步一步接近擋板，最終停在擋板處。我們可以分別計(jì)算每次碰撞垢上升的距離L1、L2、…、Ln，則小球總共通過(guò)的路程為s=2(L1+L2+…+Ln)+L，然后用等比數(shù)列求和公式求出結(jié)果，但是這種解法很麻煩。我們假設(shè)小球與擋板碰撞不損失能量，其原來(lái)?yè)p失的能量看做小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服阻力做功而消耗掉，最終結(jié)果是相同的，而阻力在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程。設(shè)第一次碰撞前后小球的速度分別為v、v1，碰撞后反彈的距離為L(zhǎng)1，則：mv2=mgLsinθ，m=mgL1sinθ其中v1=v，所以：==()2碰撞中損失的動(dòng)能為：ΔEk=mv2－m=mv2(1－)根據(jù)等效性有：f(L1+L)=ΔEk，解得等效摩擦力f=mgsinθ通過(guò)這個(gè)結(jié)果可以看出等效摩擦力與下滑的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，所以在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等效摩擦力都相同。以整個(gè)運(yùn)動(dòng)為研究過(guò)程，有：fs=mgLsinθ圖4—4解出小球總共通過(guò)的總路程為：s=L（此題也可以通過(guò)遞推法求解，讀者可試試。）例6：如圖4—4所示，用兩根等長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線懸掛一個(gè)小球，設(shè)L和α已知，當(dāng)小球垂直于紙面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期為。解析：此題是一個(gè)雙線擺，而我們知道單擺的周期，若將又線擺擺長(zhǎng)等效為單擺擺長(zhǎng)，則雙線擺的周期就可以求出來(lái)了。將雙線擺擺長(zhǎng)等效為單擺擺長(zhǎng)L′=Lsinα，則此雙線擺的周期為：圖4—5T′=2π=2π例8：如圖4—5所示，由一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的剛性輕桿和桿端的小球組成的單擺做振幅很小的自由振動(dòng)。如果桿上的中點(diǎn)固定另一個(gè)相同的小球，使單擺變成一個(gè)異形復(fù)擺，求該復(fù)擺的振動(dòng)周期。解析：復(fù)擺這一物理模型屬于大學(xué)普通物理學(xué)的內(nèi)容，中學(xué)階段限于知識(shí)的局限，不能直接求解。如能進(jìn)行等效操作，將其轉(zhuǎn)化成中學(xué)生熟悉的單擺模型，則求解周期將變得簡(jiǎn)捷易行。設(shè)想有一擺長(zhǎng)為L(zhǎng)0的輔助單擺，與原復(fù)擺等周期，兩擺分別從擺角α處從靜止開(kāi)始擺動(dòng)，擺動(dòng)到與豎直方向夾角為β時(shí)，具有相同的角速度ω，對(duì)兩擺分別應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，于是得：mgl(cosβ－cosα)+mg(cosβ－cosα)=m(ωl)2+()2對(duì)單擺，得：mgl0(cosβ－cosα)=m(ωl0)2聯(lián)立兩式求解，得：l0=l故原復(fù)擺的周期為：T=2π=2π圖4—6例9：粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，開(kāi)始靜止在水平面上，如圖4—6所示，已知：L=10cm，當(dāng)此U形管以4m/s2的加速度水平向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差。（g=10m/s2）解析：當(dāng)U形管向右加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可把液體當(dāng)做放在等效重力場(chǎng)中，g′的方向是等效重力場(chǎng)的豎直方向，這時(shí)兩邊的液面應(yīng)與等效重力場(chǎng)的水平方向平行，即與g′方向垂直。設(shè)g′的方向與g的方向之間夾角為α，則：tanα==0.4由圖4—6可知液面與水平方向的夾角為α，所以，Δh=Ltanα=10×0.4=4cm=0.04m例10：光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R，在其最低點(diǎn)A處放一質(zhì)量為m的帶電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，使小球受到電場(chǎng)力的大小為mg，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度v0，使小球沿軌道向上運(yùn)動(dòng)，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求v0。解析：小球同時(shí)受到重力和電場(chǎng)力作用，這時(shí)也可以認(rèn)為小球處在等效重力場(chǎng)中。小球受到的等效重力為：G′==mg等效重力加速度：g′==g圖4—圖4—7甲圖4—7與豎直方向的夾角θ=30°，如圖4—7甲所示。所以B點(diǎn)為等效重力場(chǎng)中軌道的最高點(diǎn)，如圖4—7，由題意，小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度vB=在等效重力場(chǎng)中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律：m=mg′(R+Rcosθ)+m將g′、vB分別代入上式，解得給小球的初速度為：v0=例11：空間某一體積為V的區(qū)域內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度（E）的定義為：圖4—8E==如圖4—8所示，今有一半徑為a原來(lái)不帶電的金屬球，現(xiàn)使它處于電量為q的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，點(diǎn)電荷位于金屬球外，與球心的距離為R，試計(jì)算金屬球表面的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)在此球內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度。解析：金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的球內(nèi)電場(chǎng)，由靜電平衡知識(shí)可知等于電量為q的點(diǎn)電荷在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)，其大小相等，方向相反，因此求金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，相當(dāng)于求點(diǎn)電荷q在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)。由平均電場(chǎng)強(qiáng)度公式得：E====設(shè)金屬球均勻帶電，帶電量為q，其密度為ρ=，則有：E==為帶電球體在q所在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，因而有E=，方向從O指向q。例11：質(zhì)量為m的小球帶電量為Q，在場(chǎng)強(qiáng)為E的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)中獲得豎直向上的初速度為v0。若忽略空氣阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度。解析：若把電場(chǎng)力Eq和重力mg合成一個(gè)力，則小球相當(dāng)于只受一個(gè)力的作用，由于小球運(yùn)動(dòng)的初速度與其所受的合外力之間成一鈍角，因此可以把小球的運(yùn)動(dòng)看成在等效重力G′（即為合外力）作用下的斜拋運(yùn)動(dòng)，而做斜拋運(yùn)動(dòng)的物體在其速度方向與G′垂直時(shí)的速度為最小，也就是斜拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，由此可見(jiàn)用這種等效法可以較快求得結(jié)果。圖4—9電場(chǎng)力和重力的合力方向如圖4—9所示，由圖所示的幾何關(guān)系可知：tanθ=小球從O點(diǎn)拋出時(shí)，在y方向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)在y軸方向上的速度為零時(shí)，小球只具有x軸方向上的速度，此時(shí)小球的速度為最小值，所以：vmin=v0cosθ=（此題也可以用矢量三角形求極值的方法求解，讀者可自行解決。）圖4—10例12：如圖4—10所示，R1、R2、R3為定值電阻，但阻值未知，Rx為電阻箱。當(dāng)Rx為Rx1=10Ω時(shí)，通過(guò)它的電流Ix1=1.0A；當(dāng)Rx為Rx2=18Ω時(shí)，通過(guò)它的電流Ix2=0.6A。則當(dāng)Ix3=0.1A時(shí)，求電阻Rx3。解析：電源電動(dòng)勢(shì)ε、內(nèi)電阻r、電阻R1、R2、R3均未知，按題目給的電路模型列式求解，顯然方程數(shù)少于未知量數(shù)，于是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法。圖4—10甲將圖4—10所示的虛線框內(nèi)電路看成新的電源，則等效電路如圖4—10甲所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為ε′，內(nèi)電阻為r′。根據(jù)電學(xué)知識(shí)，新電路不改變Rx和Ix的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有：ε′=Ix1(Rx1+r′)①ε′=Ix2(Rx2+r′)②ε′=Ix3(Rx3+r′)③圖4—11由①、②兩式，得：ε′=12V，r′=2Ω代入③式，可得：Rx3=118Ω例13：如圖4—11所示的甲、乙兩個(gè)電阻電路具有這樣的特性：對(duì)于任意阻值的RAB、RBC和RCA，相應(yīng)的電阻Ra、Rb和Rc可確定。因此在對(duì)應(yīng)點(diǎn)A和a，B和b、C和c的電位是相同的，并且，流入對(duì)應(yīng)點(diǎn)（例如A和a）的電流也相同，利用這些條件證明：Ra=，并證明對(duì)Rb和Rc也有類(lèi)似的結(jié)果，利用上面的結(jié)果求圖4—11甲中P和Q兩點(diǎn)之間的電阻。解析：圖4—11中甲、乙兩種電路的接法分別叫三角形接法和星形接法，只有這兩種電路任意兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的總電阻部分都相等，兩個(gè)電路可以互相等效，對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、a、B、b和C、c將具有相同的電勢(shì)。由Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC，對(duì)ab間，有：Ra+Rb=(+)－1=①同樣，ac間和bc間，也有：Ra+Rc=(+)－1=②Rb+Rc=(+)－1=③將①+②－③得：Ra=再通過(guò)①－②＋③和③+②－①，并整理，就得到Rb和RC的表達(dá)式——Rb=，Rc=下面利用以上結(jié)果求圖4—12甲中P和Q兩點(diǎn)之間的電阻。4—12甲4—12乙4—12丙用星形接法代替三角形接法，可得圖4—12乙所示電路，PRQS回路是一個(gè)平衡的惠斯登電橋，所以在RS之間無(wú)電流，因此它與圖4—12丙所示電路是等效的。因此PQ之間的總電阻RPQ可通過(guò)這三個(gè)并聯(lián)電阻求和得到。所以：RPQ=(++)－1=4Ω圖4—13例14：如圖4—13所示，放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.6T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的長(zhǎng)方形金屬線框abcd，框平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，其中ab和bc各是一段粗細(xì)均勻的電阻絲Rab=5Ω，Rbc=3Ω，線框其余部分電阻忽略不計(jì)?，F(xiàn)讓導(dǎo)體EF擱置在ab、cd邊上，其有效長(zhǎng)度L=0.5m，且與ab垂直，阻值REF=1Ω，并使其從金屬框ad端以恒定的速度V=10m/s向右滑動(dòng)，當(dāng)EF滑過(guò)ab長(zhǎng)的距離時(shí)，問(wèn)流過(guò)aE端的電流多大？圖4—13甲解析：EF向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε，當(dāng)EF滑過(guò)ab長(zhǎng)的時(shí)，電路圖可等效為如圖4—13甲所示的電路。根據(jù)題設(shè)可以求出EF產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)εε=BLV=0.6×0.5×10=3.0VRaE=4Ω，REb=1Ω，Rbc=3Ω此時(shí)電源內(nèi)阻為導(dǎo)體EF的電阻，r=REF=1Ω，則電路中的總電阻為：R=r+=3Ω圖4—14電路中的總電流為：I==1.0A∴通過(guò)aE的電流為：IaE=0.5A例15：有一薄平凹透鏡，凹面半徑為0.5m，玻璃的折射率為1.5，且在平面上鍍一層反射層，如圖4—14所示，在此系統(tǒng)的左側(cè)主軸上放一物S，S距系統(tǒng)1.5m，問(wèn)S成像于何處？解析：本題可等效為物點(diǎn)S先經(jīng)薄平凹透鏡成像，其像為平面鏡的物，平面鏡對(duì)物成像又為薄平凹透鏡成像的物，根據(jù)成像規(guī)律，逐次求出最終像的位置。根據(jù)以上分析，首先考慮物S經(jīng)平凹透鏡的成像S′，根據(jù)公式+=其中=(n－1)(－)=(1.5－1)(－)=－1m－1故有：+=－1，=－0.6m成像在左側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S″后，其像距為：=－P2=－=0.6m成像在右側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像，有：+=，其中P3==0.6m，=－1m－1故：+=－1，解得：=－0.375m即成虛像于系統(tǒng)右側(cè)0.375m處。（此題還可用假設(shè)法求解。）圖4—15針對(duì)訓(xùn)練1．半徑為R的金屬球與大地相連，距球心L處有一帶電量為+q的點(diǎn)電荷如圖4—15所示。試求：（1）球上感應(yīng)電荷的總電量；（2）q受到的庫(kù)侖力。2．如圖4—16所示，設(shè)R1=40Ω，R2=80Ω，R3=5Ω，R4=10Ω，R5=40Ω，R6=99Ω，R7=101Ω，R8=20Ω，求AB之間的電阻。圖4—16圖4—17圖4—183．電路如圖4—17所示，R1=R3=R4=R5=3Ω時(shí)，R2=1Ω，求AB間的等效電阻。4．有9個(gè)電阻聯(lián)成如圖4—18電路，圖中數(shù)字的單位是Ω，求PQ兩點(diǎn)間的等效電阻。5．如圖4—19所示電路，求AB兩點(diǎn)間的等效電阻。圖4—19圖4—206．如圖4—20所示，由5個(gè)電阻聯(lián)成的網(wǎng)絡(luò)，試求AB兩點(diǎn)間的等效電阻。7．由7個(gè)阻值均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖4—21甲所示。由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無(wú)限梯形網(wǎng)絡(luò)如圖4—21乙所示。試求P、Q兩點(diǎn)之間的等效電阻。圖4—21甲圖4—21乙8．圖4—22表示一交流電的電流隨時(shí)間而變化的圖像，此交流電流有效值是（）A、5AB、5AC、3.5AD、3.5A圖4—22圖4—23圖4—249．磁流體發(fā)電機(jī)的示意圖如圖4—23所示，橫截面為距形的管道長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為a，高為b，上下兩個(gè)側(cè)面是絕緣體，相距為a的兩個(gè)側(cè)面是電阻可忽略的導(dǎo)體，此兩導(dǎo)體側(cè)面與負(fù)載電阻RL相連。整個(gè)管道放在一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于上下側(cè)面向上?，F(xiàn)有電離氣體（正、負(fù)帶電粒子